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宜春市2014-2015学年第一学期期末统考高一数学试卷


宜春市 2014-2015 学年第一学期期末统考高一数学试卷 一、选择题: 1.集合 U= ? 1,2,3,4,5,6?,A= ? 1,3,5?,B= ?2,4,5?,则 A ? ?CU B ? 等于 A. ?1,3,6? B ? 1,3? C. ? 1? D. ?2,4,5? 2.已知集合 A= ?0,6? ,集合 B= ?0,3? ,则下列对应关系中,不能看作从 A 到 B 的映射的是( ) A. f: x ?y=

1 x 6 1 x 2

B. f: x ?y=

1 x 3

C. f: x ?y=

D. f: x ?y=x

3.已知 A(2,0,1),B(1,-3,1),点 M 在 x 轴上,且到 A、B 两点间的距离相等,则 M 的坐标为( ) A.(-3,0,0)
2

B.(0,-3,0)

C.(0,0,-3)

D.(0,0,3)

4.函数 y=x +2(m-1)x+3 在区间 ?? ?,?2? 上是单调递减的,则 m 的取值范围是( ) A. m ? 3 B. m ? 3 C. m ? -3 ) D. m ? -3

5.函数 f(x)=log 2 x+2x-1 的零点必落在区间( A.(

1 1 , ) 8 4

B. (

1 1 1 , ) C.( ,1) D.(1,2) 4 2 2

6.一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,其中主视图和左视图均为等腰三角形,俯 视图是一个正方形,则这个四棱锥的体积是( A.1 B. 2
2

)

C.3

D.4
1 1 主视图 1

10
1 左视图

7.已知二次函数 f(x)=x -x+a(a>0),若 f(m)<0,则 f(m-1)的值是( ) A.正数 B.负数 C.零
2 2

D.符号与 a 有关 )

8.直线 x+y+ 6 =0 截圆 x +y =4 得劣弧所对圆心角为( A.

? 6

B.

? 3

C.

? 2

D.

2? 3

9.如图,在正四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,E、F 分别是 AB 1 、BC 1 的中点,则以下结论中不 C1 D1 成立的是 A1 B1 A.EF 与 BB 1 垂直 B. EF 与 A 1 C 1 异面 F E 1 D C.EF 与 CD 异面 D.EF 与 BD 垂直 C A B 4 0.6 10.已知偶函数 f(x)在 ?0,2? 单调递减,若 a=f(0.5 ),b=f(log 1 4),c=f(2 ),则 a, b, c 的大小关系是
2

2 俯视图

(

) B. c>a>b C. a>c>b D .b>c>a

A. a>b>c

11.已知圆 C 与直线 3x-4y=0 及 3x-4y=10 都相切, 圆心在直线 4x+3y=0 上, 则圆 C 的方程为( ) A. (x-

3 2 4 2 ) +(y+ ) =1 5 5 3 2 4 2 ) +(y- ) =1 5 5

B. (x+

3 2 4 2 ) +(y+ ) =1 5 5

C.(x+

D. (x-

3 2 4 2 ) +(y- ) =1 5 5

12.对于函数 f(x),若任给实数 a,b,c, f(a),f(b),f(c)为某一三角形的三边长, 则称 f(x)为 “可构造三 角形函数”。已知函数 f(x)=

2x ? t 是 “可构造三角形函数”,则实数 t 的取值范围是( 2x ?1
D. ?0,???

)

A. ? ,2? 2 二.填空题

?1 ? ? ?

B. ?0,1?

C. ?1,2?

13.幂函数 y=f(x)的图象经过点(2,

1 ) ,则 f(-3)值为 4

.

14.直线 l 1 :x+my+

2 =0 与直线 l 2 :(m-2)x+3y+2m=0 互相平行,则 m 的值为 3
x

.

15.已知指数函数 y=2 的图像与 y 轴交于点 A,对数函数 y=lnx 的图象与 X 轴交于点 B,点 P 在 直线 AB 上移动,点 M(0,-3),则 MP 的最小值为 .

16.有 6 根木棒,已知其中有两根的长度为 3 cm 和 2 cm,其余四根的长度均为 1cm,用这 6 根木棒围成一个三棱锥,则这样的三棱锥体积为 三、解答题 cm
3

5 17. ⑴计算:2log 5 2+log 5 +ln e +3 2 ? 4
2

1

3 ? 21?log2 3 4

⑵已知二次函数 f(x)满足 f(x+1) +f(x-1)=x -4x;试求 f(x)的解析式

18.如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M(4,0),AB 边所在直线的方程为 x-3y-12=0,点 T(-2,2)在 AD 边所在直线上 ⑴求 AD 边所在直线的方程; ⑵求矩形 ABCD 外接圆的方程;

y T D OM A C B x

19.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,侧棱 PA ? 面 ABCD,BD 交 AC 于点 E,F 是 PC 中点,G 为 AC 上一动点. ⑴求证:BD ? FG ⑵在线段 AC 上是否存在一点 G 使 FG//平面 PBD,并说明理由. A B P
P

F E G C D

20.现今社会,有些物品价格时效性强,某购物网店在销售一种圣诞礼品的一个月(30 天)中, 圣诞前 15 天价格呈直线上升,而圣诞过后 15 天其价格呈直线下降,现统计出其中 4 天的价 格如下表: 时间 价格(元) 第4天 23 第8天 24 第 16 天 22 第 24 天 18

⑴写出价格 f(x)关于时间 x 的函数关系式(x 表示投放市场的第 x(x ? N)天) ⑵销售量 g(x)与时间 x 的函数关系可近似为:g(x)=销售该礼品时,第几天销售额最高?最高为多少元?

1 x+38(1 ? x ? 30,x ? N),则该网店在这个月 3

21.已知圆 C 的半径为 2,圆心在 X 轴的正半轴上,直线 3x-4y+4=0 与圆 C 相切. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 Q(0,-3)的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A(x 1 ,y 1 )、B(x 2 ,y 2 ),当 x 1 x 2 + y 1 y 2 =3 时, 求 ?AOB 的面积

22.设函数 f(x)=a -(k-1)a ⑴求 k 值

x

?x

(a>0,a ? 1 )是定义域为 R 的奇函数

⑵若 f(1)>0,试判断函数单调性并求使不等式 f x ? tx +f ?2 x ? 1? >0 在定义域上恒成立的 t 的
2

?

?

取值范围 ⑶若 f(1)=

8 2x ?2 x ,且 g(x)=a +a -2mf(x)在 ?1,??? 上的最小值为-2,求 m 的值. 3

宜春市 2014—2015 学年第一学期期末统考 高一数学参考答案 一、选择题 1.B; 2.D; 3.A 12. A 4.A 5.C 6.B 7.A 8.B 9.B 10.C 11.A 由题意可得 f (a) ? f (b) ? f (c) 对于任意实数 a,b,c 都恒成立,由于

2 x ? 1 ? (t ? 1) t ?1 ? 1? x f ( x) = x 2 ?1 2 ?1
①当 t﹣1=0, f ( x ) =1,此时, f (a), f (b), f (c) 都为 1,构成一个等边三角形的三边长,满 足条件. ②当 t﹣1>0, f ( x ) 在 R 上是减函数, ? ? f (a) ? ?? t ? t ? t ,同理 ? ? f (b) ? t ,

? ? f (c) ? t ,
由 f (a) ? f (b) ? f (c) ,可得 2≥t,解得 1<t≤2. ③当 t﹣1<0, f ( x ) 在 R 上是增函数, t ? f (a) ? ? ,同理 t ? f (b) ? ? , t ? f (c) ?? , 由 f (a) ? f (b) ? f (c) ,可得 ?t ? ? ,解得 二、填空题 13.

? ? ? t ? ? . 综上可得, ? t ? ? ,故选:A. ? ?

1 9

14.3 15、 2 2 .

16.

2 . 12

由题意知该几何体如图所示, SA=SB=SC=BC=1,AB ?

2 , AC ? 3 , 1 则 ?ABC ? Rt ? ,取 AC 中点 O,连接 SO、OB,由已知可解得 SO ? 2,
3 ,又 SB=1,所以 ?SOB ? Rt ? ,所以 SO ? 底面 ABC, 所以 2 1 2 1 2 V ? ? ? ? . 3 2 2 12 OB ?
三、解答题
2 17. (1)解:原式= log 5 2 ? log 5 1 1 5 3 1 ? ln e 2 ? 32 ? ( ) 2 ? (2 ? 2log2 3 ) 4 4

= log 5 (4 ? ) ?

5 4

1 3 1 5 ? ? (2 ? 3) =1+ +1= 2 2 2 2
2

………(5 分)

(2)设二次函数f(x)=ax +bx+c, 由

f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2x2 ? 4x 得

a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? c ? a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? c ? 2ax 2 ? 2bx ? 2a ? 2c ? x 2 ? 4 x 1 ? a? ? ? 2a ? 1 2 ? 1 1 ? ? f ( x) ? x2 ? 2 x ? ? ? 2b ? ?4 ? ? b ? ?2 …… 2 2 ? 2a ? 2c ? 0 ? 1 ? ?c ? ? 2 ?
(10分) 18.解: (I)因为 AB 边所在直线的方程为 x﹣3y﹣12=0,且 AD 与 AB 垂直,所以直线 AD 的斜 率为﹣3;又因为点 T(﹣2,2)在直线 AD 上,所以 AD 边所在直线的方程为 y﹣2=﹣3(x+2) 即:3x+y+4=0. (II)由 ? ………(5 分)

? x ? 3 y ? 12 ? 0 解得点 A 的坐标为(0,﹣4) ,因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 ?3x ? y ? 4 ? 0

M(4,0) . 所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心.又 AM ?
2 2

(4 ? 0) 2 ? (0 ? 4) 2 ? 4 2 .
………(12 分)

从而矩形 ABCD 外接圆的方程为 ( x ? 4) ? y ? 32

19. (1)证明:∵PA⊥面 ABCD,四边形 ABCD 是正方形,其对角线 BD、AC 交于点 E, ∴PA⊥BD,AC⊥BD.∴BD⊥平面 APC, (2)解:当 G 为 EC 中点,即 AG ? ∵FG? 平面 PAC, 时,FG∥平面 PBD. ∴BD⊥FG…(6 分)

3 AC 4

理由如下:连结 PE,由 F 为 PC 中点,G 为 EC 中点,知 FG∥PE 而 FG?平面 PBD,PB? 平面 PBD, 故 FG∥平面 PBD. …(12 分)

?1 x ? 22 ? ?4 20.解:(1) f ( x) ? ? ?? 1 x ? 30 ? ? 2
(2)设第 x 天销售额为 y 元

1 ? x ? 15且x ? N
………(5 分)

16 ? x ? 30且x ? N

当 1 ? x ? 15且x ? N 时, y ? ( x ? 22) ? (? x ? 38) ? 所以当 x ? 13 时, ymax ? 822 元

1 4

1 3

1 (? x2 ? 26 x ? 10032) 12

………(8 分)

当 16 ? x ? 30且x ? N 时, y ? (? x ? 30) ? (? x ? 38) ? ( x2 ? 174x ? 6840) 函数在[16,30]上是减函数,所以,当 x ? 16 时, ymax ? 715 元 于是,第 13 天时,销售额最高约为 822 元。 答:该产品在圣诞节前第 13 天销售额最高,最高约为 822 千元 21.解: (I)设圆心为 C(a,0)(a ? 0),则圆C的方程为 ( x ? a) ? y ? 4 ,
2 2

1 2

1 3

1 6

………(10 分)

………(12 分)

因为圆 C 与 3x ? 4 y ? 4 ? 0 相切,所以 解得 a ? 2或a ? ?

| 3a ? 4 | 32 ? 4 2

? 2,即 | 3a ? 4 |? 10 ,

14 (舍去) ,所以圆 C 的方程为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4. ………(4 分) 3 (II)显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 3 ,
由?

? y ? kx ? 3
2

得(1 ? k 2 ) x 2 ? (4 ? 6k ) x ? 9 ? 0 , ?( x ? 2) ? y ? 4
2

2 2 ∵直线 l 与圆相交于不同两点? ? ? (4 ? 6k ) ? 4(1 ? k ) ? 9 ? 0, 解得 k ?

5 , …… (6 12

分) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ?

4 ? 6k 9 , x1 x 2 ? , 2 1? k 1? k 2



y1 y2 ? (kx1 ? 3)(kx2 ? 3) ? k 2 x1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 9 ,
2 已知 x1 x2 ? y1 y2 ? 3 ,即: (1 ? k ) x1x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 6 ? 0 2 将①代入并整理得 k ? 4k ? 5 ? 0 , 解得 k = 1 或 k =-5 (舍去) , 所以直线 l 的方程为 y ? x ? 3. … (10 分)

圆心 C 到 l 的距离 d ?

| 2?3| 2

?

2 1 ,在 ?ACB 中, AB ? 2 22 ? ? 14 , 2 2
3 3 2 ? 2 2

原点 O 到直线 l 的距离,即 ?AOB 底边 AB 上的高 h ?

? S ?AOB ?

1 1 3 2 3 7 | AB | ?h ? ? 14 ? ? . 2 2 2 2

………(12 分)

22. (1)∵f(x)是定义域为 R 的奇函数,∴f(0)=0,∴1﹣(k﹣1)=0,∴k=2. (2 分)

(2)∵函数 f ( x) ? a x ? a? x (a>0 且 a≠1) ,∵f(1)>0,∴a﹣ >0,又 a>0,∴a>1. 由于 y= a 单调递增,y= a
x
?x

单调递减,故 f ( x ) 在 R 上单调递增.
2 2

不等式化为: f ( x? ? tx) ? f (?? x ??) .∴x +tx>-2x﹣1,即 x +(t+2)x+1>0 恒 成立, ∴△=(t+2) ﹣4<0,解得﹣4<t<0.…(7 分) (3)∵f(1)= , a ? ∴g(x)= ? + ?
x
2

8 3

1 8 ? a 3
x

,即 3a ﹣8a﹣3=0,∴a=3,或 a=﹣ (舍去) .
?x
x ?x

2

1 3

?x

?? x

﹣2m( ? ﹣ ? )= (?x ? ?? x )? ﹣2m( ? ? ? )+2.
x ?x

令 t= f ( x ) = ? ? ? ,由(1)可知 k=2,故 f ( x ) = ? ? ? ∵ x ? 1 ,∴ t ? f (?) = ,

?x

,显然是增函数.

8 3

令 h(t ) ? t 2 ? 2mt ? 2 ? (t ? m)2 ? 2 ? m2 ( t ? )

8 3

若m?

8 ,当 t=m 时, h(t )min ? h(m) ? 2 ? m2 ? ?2 ,∴m=2 3

舍去

若m?

8 8 8 16 8 25 8 ,当 t= 时, h(t )min ? h( ) ? ( )2 ? m ? 2 ? ?2 ,解得 m= < , 3 3 3 3 3 12 3

综上可知 m= 25 .…(12 分) 12


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