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6.2算术平均数与几何平均数1


6.2.1 算术平均数与几何平均数
● 教学目标 1. 学会推导并掌握两个正数的算术平均数与几何平均数定理; 2. 理解定理的几何意义; 3. 能够简单应用定理证明不等式. ● 教学重点 均值定理证明 ● 教学难点 等号成立条件 ● 教学方法 引导式 ● 教具准备 幻灯片 ● 教学过程 Ⅰ.复习回顾 师:上一节,我们完成了对不等式性质的学习,首先我们来作一下回顾. 生: (答略) 师:由上述性质,我们可以推导出下列重要的不等式. Ⅱ.讲授新课 1. 重要不等式: 如果 a, b ∈ R, 那么a 2 + b 2 ≥ 2ab(当且仅当a = b时取" =" 号) 证明: a 2 + b 2 ? 2ab = ( a ? b) 2 当 a ≠ b时, ( a ? b) 2 f 0, 当a = b时, ( a ? b) 2 = 0, 所以, ( a ? b) 2 ≥ 0 即 ( a 2 + b 2 ) ≥ 2ab. 由上面的结论,我们又可得到 2. 定理:如果 a,b 是正数,那么

a+b ≥ ab (当且仅当a = b时取" =" 号). 2

证明:∵ ( a ) 2 + ( b ) 2 ≥ 2 ab ,

∴ a + b ≥ 2 ab


a+b ≥ ab 2

显然,当且仅当 a = b时, 说明:ⅰ)我们称

a+b 为a, b 的算术平均数,称 ab为a, b 的几何平均数,因而,此 2

a+b = ab 2

定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. ⅱ) a
2

+ b 2 ≥ 2ab和

a+b 2

≥ ab 成立的条件是不同的:前者只要求 a,b 都是实数,

而后者要求 a,b 都是正数. ⅲ) “当且仅当”的含义是充要条件. 3.均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”. 以长为 a+b 的线段为直径作圆,在直径 AB 上取点 C,使 AC=a,CB=b.过点 C 作垂直于 直径 AB 的弦 DD′,那么 CD = CA ? CB
2

即 CD =

ab

这个圆的半径为

a+b a+b , 显然, 它不小于 CD, 即 ≥ ab , 2 2

其中当且仅当点 C 与圆心重合;即 a=b 时,等号成立. 师:在定理证明之后,我们来看一下它的具体应用. 4. 题讲解: 例 1 已知 x,y 都是正数,求证: (1) 如果积 xy 是定值 P,那么当 x=y 时, x+y 有最小值 2 P ; 和 (2)如果和 x+y 是定值 S,那么当 x=y 时,积 xy 有最大值 数,所以

1 2 S . 证明:因为 x,y 都是正 4

x+ y ≥ xy 2
(1)积 xy 为定值 P 时,有

x+ y ≥ P 2

∴x+ y ≥ 2 P
上式当 x = y 时,取“=”号,因此,当 x = y 时,和 x + y 有最小值 2 P . (2)和 x+y 为定值 S 时,有

S , 2 1 ∴ xy ≤ S 2 4 xy ≤
上式当 x=y 时取“=”号,因此,当 x=y 时,积 xy 有最大值

1 2 S . 4

说明:此例题反映的是利用均值定理求最值的方法,但应注意三个条件: ⅰ)函数式中各项必须都是正数; ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数; ⅲ)等号成立条件必须存在. 师:接下来,我们通过练习来进一步熟悉均值定理的应用.

Ⅲ.课堂练习 课本 P11 练习 2,3 要求:学生板演,老师讲评. ● 课堂小结 师: 通过本节学习, 要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定 理,并会应用它证明一些不等式,但是在应用时,应注意定理的适用条件. ● 课后作业 习题 6.2 1,2,3,4 ● 板书设计 §6.2.1 …… 1.重要不等式 说明ⅰ) 4.例题…… 学生 …… ⅱ) …… 练习 ⅲ) …… 2.均值定理 3.几何意义 …… …… ● 教学后记


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