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正弦函数、余弦函数的图像和性质


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授课班级:高一( 授课班级:高一(2)班

数形本是相倚依, 数形本是相倚依,焉能分作两边飞 数缺形时少直觉, 数缺形时少直觉,形少数时难入微 数形结合百般好,隔离分家万事休 数形结合百般好, 几何代数统一体, 几何代数统一体,永远联系莫分离
华罗庚

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教学目标
了解三角函数线作图的方法和意义; 会用“五点法”画正弦函数和余弦函数的图 像; 熟记正、余弦函数图像的五个关键点; 明确正弦函数与余弦函数图像之间的关系。

复习提问
1.用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的? 用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的?

(1) 列表

y = sin x , x ∈ [0 , 2π ]
π
6
1 2

x
y

0

π
3
3 2

π
2

2π 3
3 2

5π 6
1 2

π
0

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

11π 6



0

1

?1 2

? 23

?1 ? 23

?1 2

0

(2) 描点

y 10

代数描 点
π
2

π

-

-

-

-

3π 2



x

(3) 连线

?1 -

想一想? 想一想

2. sinα、cosα、tanα的几何意义 (三角函数线) 的几何意义. 、 、 的几何意义 三角函数线)

y
1
P
T

正弦线MP 正弦线 余弦线OM 余弦线OM

o

M

1

A

正切线AT 正切线 把三角问题转化为几何 问题 ,初步建立数与形 的结合。 的结合。

x

三角问题 三角问题

几何问题 几何问题

问题讨论
π π 如何用几何方法在直角坐标系中作出点 C( ,sin ) ? 3 3
思考(2): 能否借助上面作点 的方法, 能否借助上面作点C的方法 的方法, 思考 在直角坐标系中作出正弦函数 思考(1): 思考 :

问题讨论
π π 如何用几何方法在直角坐标系中作出点 C( ,sin ) ? 3 3
Y P
π 3

思考(1): 思考 :

.
O

π π C( ,sin ) 3 3
2π 3

O1

M

π 3

π

X

作正弦函数的图象

思考(2): 能否借助上面作点 的方法, 能否借助上面作点C的方法 的方法, 思考 在直角坐标系中作出正弦函数 的图象呢? y = sinx, x ∈ R 的图象呢?
x

y
1

o1
-1

o

π 6

π 3

π 2

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

11π 6



y=sinx, x ∈ [ 0, 2 π ]

作正弦函数的图象 y
1

x o1
-1

o

π
6

π
3

π
2

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

11π 6



y=sinx, x ∈ [ 0, 2 π ]

作正弦函数的图象 y
1

x o1
-1

o

π
6

π
3

π
2

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

11π 6



y=sinx, x ∈ [ 0, 2 π ]

正弦函数、余弦函数的图象 正弦函数、
函数 y = sin x, x ∈ 0, 2π 图象的几何作法
y

[

]

作法: 作法 (1) 等分 (2) 作正弦线
p 1/
-

1P
π
6

1

(3) 平移 (4) 连线
π
3
π
2

-

-

-

o1

M -1 1

A

o
-1 -

π
6

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

11 π 6



x

正弦函数、余弦函数的图象 正弦函数、
正弦曲线
y
1-

? 6π
-

? 4π
-

? 2π
-

o-1


-


-

-


-

x

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以 的图象在……, 因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=sinx的图象在 的图象在 , 与 ∈ 的图象相同 [? 4π ,?2π ] , [? 2π ,0 ], [0 , 2 π ], [2 π , 4 π ], …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同

正弦、 正弦、余弦函数的图象
y
1 -4π -3π -2π -π

o
-1

π











x

正弦函数的图象 正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), x∈R
2

π

正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同

余弦函数的图象 余弦函数的图象

y
(0,1) 1
3π ( ,0) 2

( 2π ,1) 2π 3π 4π

余弦曲 线
5π 6π

-4π

-3π

-2π



π o ,0) (

-1

2

π

( π ,-1)

x

正弦函数、余弦函数的图象和性质 正弦函数、
y
1-

(五点作图法 五点作图法) 五点作图法

图象的最高点 π 图象的最高点 ( ,1) 与x轴的交点 2 轴的交点
( 0 , 0 ) (π , 0 ) (2π ,0)
5π 3 11 π 6

-

-1

o
-1 -

π
6

π
3

π
2

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2



图象的最低点 (32 ,?1 图象的最低点 π )

x

简图作法 (1) 列表 列出对图象形状起关键作用的五点坐标) 列表( (2) 描点 定出五个关键点) 描点( y (3) 连线 用光滑的曲线顺次连结五个点) 连线(
-

图象的最高点 图象的最高点

1-

( 0 ,1 ) (2π ,1)
与x轴的交点 轴的交点
x

-1

o
-1 -

π
6

π
3

π
2

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

11 π 6

π ( π ,0 ) (32 ,0) 2π 2 图象的最低点 (π ,?1) 图象的最低点

-

终边相同角的三角函数值相等 即: sin(x+2kπ)=sinx, k∈Z

y=sinx x∈[0,2π]
f ( x + 2 kπ ) = f ( x ) 利用图象平移

y=sinx x∈R

y
1 -4π -3π -2π -π

正弦曲 线
π 2π 3π 4π 5π

o
-1



x

正弦函数、余弦函数的图象和性质 正弦函数、
例1.画出下列函数的简图 .
(1)y=sinx+1, x∈[0,2π] ) (2)y=-cosx , x∈[0,2π] ) - 解: 2) )列表 ( (1) )
xx
sin cos xx ?sin x x 1 cos +
0 0
π π 2 2

描点作图
ππ 0 -1 11
3π 3π 2 2

2π 2π

yy
2-

10 1 -1

01 02

? 01 00

1 0 1 -1

1- 1
? ?1 - 1

y = 1 + sin x, x ∈ [0,2π ] y = cos x, x ∈ [0,2π ]
π
2

oo

π
2

ππ

3π 3π 2

y = sin x, x ∈ [0,2π ]

2

2π π 2

xx

y = ?cosx, x∈[0,2π]

思 考

函数y=1+sinx, x∈[0, 2π]与函数 y=sinx, 函数 ∈ 与函数 x∈ 2π]的图象之间有何联系 x∈[0, 2π]的图象之间有何联系? 的图象之间有何联系? 函数y=-cosx,与函数 函数 与函数y=cosx, x∈[0,2π] 的 ∈ 与函数 图象有何联系? 图象有何联系?

练习:( ) 练习:(1)作函数 y=1+3cosx,x∈[0,2π]的简图 :( , ∈ 的简图 (2)作函数 y=2sinx-1,x∈[0,2π]的简图 2 作函数 , ∈ 的简图
(1) y

x

归纳小结
1.代数描点法(误差大) 代数描点法(误差大) 代数描点法 正弦曲线 的作法 2.几何描点法(精确但步骤繁) 几何描点法(精确但步骤繁) 几何描点法 3.五点法(重点掌握) 五点法(重点掌握) 五点法 其中五点法最常用, 其中五点法最常用,要牢记五个关 键点的坐标。 键点的坐标。

作业:
(1)作函数 y=1+3cosx,x∈[0,2π]的简图 ) , ∈ 的简图 (2)作函数 y=2sinx-1,x∈[0,2π]的简图 2 作函数 , ∈ 的简图

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