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人教版八年级数学上册 第十二章 轴对称教案及试卷1


集体备课教案 §13.1.1 轴对称(一)
教学目标 一、知识与技能 1、在生活实例中认识轴对称图. 2、轴对称图形和两个图形成轴对称的联系和区别。 二、过程与方法 分析轴对称图形,理解轴对称的概念. 三、情感态度价值观 让学生体会数学的对称美在生活中的广泛应用和体现。 教学重点 轴对称图形的概念. 教学难点 能够识别轴对称图形并找出它的对称轴. 教学方法:探究、实践操作练习 预习导航 1、分析轴对称图形,理解轴对称的概念. 2、两个图形成轴对称即对称点的概念 3、轴对称图形和两个图形成轴对称的联系和区别。 教学过程 一、图片展示,引入新课 轴对称是对称中重要的一种,从这节课开始,我们来学习第十三章:轴 对称.今天我们来研究第一节,认识什么是轴对称图形,什么是对称轴. 二、新知探究 1、轴对称图形及对称轴的概念形成 (1)出示课本的图片,观察它们都有些什么共同特征. 这些图形都是对称的.这些图形从中间分开后,左右两部分能够完全重合. (2)概念形成 如果一个图形沿一直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫 做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.这时,我们也说这个图形关于这条直 线(成轴)?对称. (3)学生举例 (4)制作学具,强化概念 取一张质地较硬的纸,将纸对折,并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案, ?将纸打开后铺平,你得到两个成轴对称的图案了吗?与同伴进行交流. 结论:位于折痕两侧的图案是对称的,它们可以互相重合. 由此可以得到轴对称图形的特征:一个图形沿一条直线折叠后,折痕两侧的 图形完全重合. 接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题.有些轴对称图形的对称轴只有一
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条,但有的轴对称图形的对称轴却不止一条,有的轴对称图形的对称轴甚至有无 数条。 (5)例题讲解 下列各图,你能找出它们的对称轴吗?

结果:图(1)有四条对称轴;图(2)有四条对称轴;图(3)有无数条对称轴; 图(4)有两条对称轴;图(5)有七条对称轴.

(1) (2) (3) (4) 2、两个图形关于某条直线对称概念形成 (1)展示挂图,大家想一想,你发现了什么?

(5)

(2)制作学具,交流讨论总结定义 像这样,?把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合, 那么就说这两个图形关于这条直线对称,?这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点 是对应点,叫做对称点. (3)两个图形成轴对称与全等图形的关系(课本 P59 思考) . 结论:成轴对称的两个图形全等.如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个 图形,这两个图形全等,并且也是成轴对称的. 轴对称是说两个图形的位置关系,而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图 形. 3、两个图形成轴对称与轴对称图形的联系与区别 轴对称的两个图形和轴对称图形,都要沿某一条直线折叠后重合;如果把轴 对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线成轴对称;反过 来,?如果把两个成轴对称的图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形. 三、巩固练习
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A 组:课本 P60 练习 B 组:1、找出英文 26 个大写字母中哪些是轴对称图形? 2、你能举出三个是轴对称图形的汉字吗 3、练习册习题 C 组:1、用两个圆、两个三角形、两条平行线构造轴对称图形,别忘了要加上一 两句贴切、诙谐的解说词。 四、课时小结 这节课我们主要认识了轴对称图形,了解了轴对称图形及有关概念,进一步 探讨了轴对称的特点,区分了轴对称图形和两个图形成轴对称. 五、作业 课本习题 13.1 的 1、2 题. 六、板书设计 §13.1.1 轴对称(一) 一、轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够完 全重合,这个图形就叫轴对称图形,这条直线叫对称轴. 二、两个图形成轴对称:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另 一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称. 三、两个图形成轴对称与轴对称图形的联系与区别 教学反思:

§12.1.2 轴对称(二) ——轴对称的性质
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课型:新授 教学目标 一、知识与技能 了解两个图形成轴对称性的性质,了解轴对称图形的性质. 二、过程与方法 探究线段垂直平分线的定义. 三、情感态度价值观 经历探索轴对称图形性质的过程,进一步体验轴对称的特点,发展空间观察. 教学重点 1.轴对称的性质. 2.线段垂直平分线的定义. 教学难点 体验轴对称的特征. 教学方法:探究、引导 教具准备:直尺、铅笔 预习导航: 1.了解两个图形成轴对称性的性质,了解轴对称图形的性质. (1)如果两个图形关于某条直线对称,?那么对称轴是任何一对对称点所连 线段的垂直平分线. (2)关于某条直线对称的两个图形全等,对应线段对应角相等 2.探究线段垂直平分线的定义 教学过程 一. 回顾复习、引入新课 提问轴对称图形与两图形成轴对称的定义,今天继续来研究轴对称的性质. 二. 新知探究 1、探究轴对称的性质 如图,△ABC 和△A′B′C′关于直线 MN 对称,点 A′、B′、C′ 分别是点 A、?B、C 的对称点, (1) △ABC 和△A′B′C′有什么关系?对应线段、 对应角有 什么关系? (2) 线段 AA′、BB′、CC′与直线 MN 有什么关系? (3)延长对应线段,两条延长线相交吗?交点与对称轴有什 么关系? 教师引导学生讨论归纳 轴对称的性质: a、关于某条直线对称的两个图形全等,对应线段对应角相等 b、如果两个图形关于某条直线对称,?那么对称轴是任何一对对称点所连线 段的垂直平分线. c、成轴对称的两个图形,对应线段的延长线如果相交,交点一定在对称轴
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上。 2、探究线段垂直平分线的定义 (1)学生活动:自己动手画一个轴对称图形,并找出两对称点,看一下对称 轴和两对称点连线的关系。我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一 样,?对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这条线段. (2)归纳定义:对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这 条线段.我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直 平分线. 三、例题讲解 例 1 如图,若沿虚线对折,左边部分与右边部分重合,请找出图中 A、B、C 的对称点,并说出图中有哪些角相等?哪些线段相等?

例 2 如图,四边形 ABCD 与四边形 EFGH 关于 MN 对称。 (1)A、B、C、D 的对称点分别是 ,线段 AC、AB 的对应线段分 别是 ,CD= , ∠CBA= , ∠ADC= . (2)AE 与 BF 平行吗?为什么? (3)延长线段 AB、EF,两条延长线相交吗?交点与对称 轴有什么关系? 四、巩固练习 课本习题 12.1─3、4、10 题. 五.课时小结 这节课通过探索轴对称图形对称性的过程, ?了解了线段 的垂直平分线的定义 六、课后作业 数学小册子 七、板书设计 §12.1.2 轴对称(二) 一、图形轴对称的性质 二、线段垂直平分线的定义 课后反思:

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§12.1.2 轴对称(三) ——线段的垂直平分线的性质
课型:新授 教学目标 一、知识与技能 1.线段垂直平分线的性质 二、过程与方法 利用线段垂直平分线性质证明线段相等 三、情感态度价值观 经历探索线段垂直平分线性质的过程,进一步培养学生探究能力 教学重点 线段垂直平分线的性质. 教学难点 探究线段平分线性质 教学方法:探究、引导 教具准备:直尺、铅笔 预习导航: 1.线段垂直平分线的性质 2、利用线段垂直平分线性质证明线段相等 教学过程 一.复习回顾,引入新课 1、复习轴对称的性质 2、复习线段垂直平分线的定义 今天继续来研究线段垂直平分线的性质. 二.新知探究 1、探究线段垂直平分线的性质 [探究 1] 如下图.木条 L 与 AB 钉在一起,L 垂直平分 AB,P1,P2, P3,…是 L 上的点,?分别量一量点 P1,P2,P3,…到 A 与 B 的 距离,你有什么发现? (1)用平面图将上述问题进行转化,先作出线段 AB,过 AB 中点作 AB 的垂直平分线 L, L 上取 P1、 2、 3…, 在 P P 连结 AP1、 AP2、BP1、BP2、CP1、CP2… (2) 作好图后, 用刻度尺量出它的长度 AP1、 2、 1、 2、 AP BP BP CP1、CP2…讨论发现什么样的规律. (3)总结归纳性质: 线 段 垂 直 平 分线上 的 点 与 这 条 线 段 两个 端 点 的 距 离 相 等 . 即 AP1=BP1 , AP2=BP2,… 2、证明线段垂直平分线的性质
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引导学生画出图形,写出已知、求证。 (1)证法一:利用判定两个三角形全等. 如下图,在△APC 和△BPC 中, PC=PC ∠ PCA= ∠ PCB=90 ° ? AC=BC ? △APC≌△BPC ? PA=PB. (2) 证法二:利用轴对称性质. 由于点 C 是线段 AB 的中点,将线段 AB 沿直线 L 对折,线段 PA 与 PB 是重合 的,?因此它们也是相等的. 三、例题讲解 例 1 图 8 是某跨河大桥的斜拉索,图中 AO=BO,PO⊥AB,则必有 PA=PB, 为什么?

图8

例 2 如图,△ABC 中,AB=AC=18cm,BC= 10cm,AB 的垂直平分线 ED 交 AC 于 D 点,求:△BCD 的周长。 A

四.巩固练习 (一)课本 P34 练习 1、 (二)1、已知互不平行的两条线段 AB, A′B′关于直线 l 对称, AB, A′B′所在的直线交于点 P,判断下列正误。 1)AB=A′B′( ) 2)点 P 在直线 l 上( ) 3)若 A, A′是对称点,则 l 垂直平分线段 A A′( ) 4)若 B, B′是对称点,则 PB=P B′( ) (三)如右图所示,直线 MN 和 DE 分别是线段 AB、BC 的垂直平分线,它 们交于 P 点,请问 PA 和 PC 相等吗?为什么?

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五.课时小结 这节课通过探索轴对称图形对称性的过程,?了解了线段的垂直平分线的有关 性质,同学们应灵活运用这些性质来解决问题. 六、课后作业 (一)课本习题 12.1 的第 5 题. (二)复习题 12 第 5 题 七、板书设计 §12.1.2 轴对称(二) 一、复习线段垂直平分线的定义 二、线段垂直平分线的性质 课后反思:

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§12.1.2 轴对称(四) ——线段的垂直平分线的判定
课型:新授 教学目标 一、知识与技能 1.线段垂直平分线的判定 二、过程与方法 利用线段垂直平分线判定证明线段相等或垂直 三、情感态度价值观 经历探索线段垂直平分线判定的证明过程,进一步培养学生探究能力 教学重点 线段垂直平分线的判定. 教学难点 探究线段平分线判定 教学方法:探究、引导 教具准备:直尺、铅笔 预习导航: 1.线段垂直平分线的判定 2、利用线段平分线判定证明线段相等或垂直 3、 成轴对称的两个图形, 对应线段的延长线如果相交, 交点一定在对称轴上; 教学过程 一.创设情境,引入新课 如下图.用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋,做一个简易的“弓”“箭” , 通过木棒中央的孔射出去,怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢?为什么?

三. 新知探究 1、探究线段垂直平分线的判定 (1)活动:1.用平面图形将上述问题进行转化.作线段 AB,取其中点 P, 过 P 作 L,在 L 上取点 P1、P2,连结 AP1、AP2、BP1、BP2.会有以下两种可能.

2.讨论:要使 L 与 AB 垂直,AP1、AP2、BP1、BP2 应满足什么条件?
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(2) 探究过程: 1.如上图甲,若 AP1≠BP1,那么沿 L 将图形折叠后,A 与 B 不可能重合,也 就是∠APP1≠∠BPP1,即 L 与 AB 不垂直. 2.如上图乙,若 AP1=BP1,那么沿 L 将图形折叠后,A 与 B 恰好重合,就有∠ APP1=∠BPP1,即 L 与 A、B 重合.当 AP2=BP2 时,亦然. (教师引导学生写出证明过 程) (3)探究结论: 与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.也就是说 在[?探究 2]图中,只要使箭端到弓两端的端点的距离相等,就能保持射出箭的方 向与木棒垂直. (4)总结概括线段垂直平分线的判定,即:与一条线段两个端点距离相等的 点,在这条线段的垂直平分线上。 2、证明线段垂直平分线的判定 已知:线段 AB,点 P 是平面内一点且 PA=PB. 求证:P 点在 AB 的垂直平分线上. (分组讨论,鼓励学生多想证明方法,并派代表上黑板写写本组的证明过程) (1)证法一: 证明:过点 P 作已知线段 AB 的垂线 PC. ∵PA=PB,PC=PC, ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL 定理). ∴AC=BC, 即 P 点在 AB 的垂直平分线上. (2)证法二: 证明:取 AB 的中点 C,过 PC 作直线. ∵AP=BP,PC=PC,AC=CB, ∴△APC≌△BPC(SSS). ∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等). 又∵∠PCA+∠PCB=180°, ∴∠PCA=∠PCB=90°,即 PC⊥AB. ∴P 点在 AB 的垂直平分线上. (3)证法三:
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证明:过 P 点作∠APB 的角平分线. ∵AP=BP,∠1=∠2,PC=PC, ∴△APC≌△BPC(SAS). ∴AC=DC,∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等,对应边相等). 又∵∠PCA+∠PCB=180°,∴∠PCA=∠PCB=90°. ∴P 点在线段 AB 的垂直平分线上 3、概括线段垂直平分线的性质与判定的区别与联系 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来,与这条线 段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上.?所以线段的垂直平分线可以看 成是与线段两端点距离相等的所有点的集合. 三、例题解析 见课本 P38 页的 12 题 四.巩固练习 (一)课本 P34 练习 2. 五.课时小结 这节课通过探索?了解了线段的垂直平分线的判定,同学们应灵活运用这些判 定来解决问题. 六、课后作业 (一)课本习题 12.1─12 题. 七、板书设计 §12.1.2 轴对称(四) ——线段的垂直平分线的判定 一、复习 :线段垂直平分线的定义及图形轴对称的性质 二、线段垂直平分线的判定

课后反思:

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§12.1.2 轴对称(五) --利用轴对称的性质作图
课型:新授 教学目标 一、知识与技能 掌握用“连结对称点的线段被对称轴垂直平分” 二、过程与方法 熟练画出轴对称图形的对称轴。 三、情感态度价值观 培养良好的动手实践能力。 重点:验证一个图形是不是轴对称图形 难点:画轴对称图形的对称轴。 教学方法:动手操作,探究 预习导航: 1、尺规作图:线段垂直平分线的做法 2、根据轴对称的性质做轴对称图形的对称轴 3、利用线段垂直平分线的性质作图 4、利用线段垂直平分线的性质与角平分线的性质综合作图 教学过程 一、 提出问题 1、 2、 如果我们感觉两个图形是轴对称的,你准备用什么方法验证? 两个成轴对称的图形,不经过折叠,你用什么方法画出它的对称轴?

二、 学习新知 1、画一条线段的垂直平分线(尺规作图) 课本 P34 页 已知:线段 AB(如图). 求作:线段 AB 的垂直平分线. 作法:1.分别以点 A 和 B 为圆心,以大于 AB 的长为半径作弧,两弧相交于点 C 和 D.

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2.作直线 CD. 直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线. 2、问:这样所作的直线为什么是线段的垂直平分线? 三、例题解析 例 1、试着画出下边两个轴对称图形的对称轴。

例 2、下面是我们学过的一些几何图形,说出下面图形是不是轴对称 图形,并完成下表。 长方形 正方形 三角形 等腰三角形 等边三角形 平行四边形 任意梯形 等腰梯形 圆 长 正方 三角 等腰 等边 平行 图 方 任意 等腰 形 形 三角 三角 四边 圆 形 形 梯形 梯形 形 形 形 对称轴的条 数 四、随堂练习 A组 1:画出以下图形的对称轴

2 课本 P35 练习题 3 3、课本 P37 习题 5 B组 1:下面的虚线,哪些是图形的对称轴,哪些不是?

2、课本 P37 习题 7、11 四、小结 1、线段垂直平分线作法 2、画成轴对称的图形的对称轴的几种常见方法 (1)将图形对折
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(2)尺规作图 (3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点,然后画垂线 五、作业 习题 12.16、9、 六、板书设计

§12.1.2 轴对称(五) --利用轴对称的性质作图 一、情境导入 二、探究新知 三、例题解析

课后反思:

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§12.2

作轴对称图形

课型:新授 教学目标 一、知识与技能 1.通过实际操作,了解什么叫做轴对称变换. 二、过程与方法 作出一个图形关于一条直线的轴对称图形. 三、情感态度价值观 通过动手操作进一步培养学生实践操作能力 教学重点 1.轴对称变换的定义. 2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形. 教学难点 1.作出简单平面图形关于直线的轴对称图形. 2.利用轴对称进行一些图案设计. 教学方法:动手实践操作 预习导航: 1、利用轴对称性质作一个点、一条线段、一个三角形关于某条直线的对称点、 线段、三角形 2、作一个图形经轴对称变换后的图形 3、利用轴对称变换设计一些简单的图案 教学过程 一、创设情境,引入新课 1、 复习回顾轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质问题. 2、操作实践,引出课题 活动 1 将一张纸对折后,用针尖在纸上扎出一个图案,将纸打开后铺平,?得 到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形. 活动 2 准备一张质地较软,吸水性能好的纸或报纸,在纸的一侧上滴上一滴 墨水,将纸迅速对折,压平,并且手指压出清晰的折痕.再将纸打开后铺平,?位 于折痕两侧的墨迹图案也是对称的. ?这节课我们就是来作简单平面图形经过轴对称后的图形. 二、新知探究 ?由我们已经学过的知识知道,连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平 分. 类似地,我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形,重复这个过
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程,可以得到美丽的图案. 对称轴方向和位置发生变化时,得到的图形的方向和位置也会发生变化.大家 看大屏幕,从电脑演示的图案变化中找出对称轴的方向和位置,体会对称轴方向 和位置的变化在图案设计中的奇妙用途. 下面,同学们自己动手在一张纸上画一个图形,将这张纸折叠描图,?再打开看看, 得到了什么?改变折痕的位置并重复几次,又得到了什么?同学们互相交流一下.

结论: 1、由一个平面图形可以得到它关于一条直线 L 对称的图形,?这个图 形与原图形的形状、大小完全相同; 2、新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线 L 的对称点; 3、连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分. 4、两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交 点一定在对称轴上。 我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换. 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后 得到.一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础,经轴对称变换扩展而成 的. 三、例题讲解 1、如图,已知点 A 和直线 l,试画出点 A 关于直线 l 的对称点 A′。请说说你 的画法 A .

2、作△ABC 关于直线 l 的对称的图形△A′B′C′
l A

B

归纳:见 P41 三.随堂练习 1、已知△ABC,及点 A 的对称点 A′,请作出对称轴直线 l,并画出△ABC 关于 直线 l 的对称图形。 A . A′

C

B
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C
2.如图(1),请画出三角形关于直线 l 对称的图形。

3、为学校运动会设计一徽标,要求贴近学生生活,突出运动主题,是轴对称图案。 四.课时小结 本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形,? 并且利用轴对称变换来设计一些美丽的图案.在利用轴对称变换设计图案时,要 注意运用对称轴位置和方向的变化,使我们设计出更新疑独特的美丽图案. 五、作业 习题 12.2 板书设计 §12.2.做轴对称图形 一、轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换. 二、利用轴对称变换设计图案 课后反思: 1、5、10

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§14.2

作轴对称图形

——生活中的距离最短问题
课型:新授 教学目标: 一、知识与技能 利用轴对称变换解决实际问题 二、过程与方法 利用作图解决生活中的问题 三、情感态度价值观 通过动手操作进一步培养学生实践操作能力 重点:极值问题的解决 难点:极值问题的说理证明 教学方法:探究引导 预习导航: 极值问题的解决、说理及证明 教学过程: 一、情境导入: 复习回顾 1、轴对称概念的内容是什么? 2、轴对称具有什么性质? 二、讲解新课 今天,我们要应用上述性质来解决一个实际问题. [探究 1] 若 A、B 是直线 a 两侧的已知点,现要在 a 上作出一点 C,使 AC+CB 为最小, 怎么办呢?请同学们在白纸上作出点 C.

生:这个问题容易解决,连结 AB,设其交直线 a 于点 C,则点 C 即为所求. [探究 2] 如图(1) .要在燃气管道 L 上修建一个泵站,分别向 A、B 两镇供气.?泵站修在 管道的什么地方,可使所用的输气管线最短? 你可以在 L 上找几个点试一试,能发现什么规律吗?
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过程:把管道 L 近似地看成一条直线 如图(2) ,设 B′是 B 的对称点,?将问题 转化为在 L 上找一点 C 使 AC 与 CB′的和 最小, 由于在连结 AB′的线中, 线段 AB′ 最短.因此,线结 AB′与直线 L 的交点 C 的位置即为所求. 结果:作 B 关于直线 L 的对称点 B′,连结 AB′,交直线 L 于点 C,C 为所求. 三、例题讲解 为什么在点 C 的位置修建泵站,就能使所用的输管道最短? 过程:将实际问题转化为数学问题,该问题就是证明 AC+CB 最小. 结果:

如上图,在直线 L 上取不同于点 C 的任意一点 C′.由于 B′点是 B 点关于 L 的对称点,所以 BC′=B′C′,故 AC′+BC′=AC′+B′C′在△A′B′C′中 AC′ +BC′>AB′,?而 AB′=AC+CB′=AC+CB,则有 AC+CB<AC′+C′B.由于 C′点的任 意性,所以 C 点的位置修建泵站,可以使所用输气管线最短. 四、巩固练习 如图,A、B 是两个蓄水池,都在河流 a 的同侧,为了方便灌溉作物,?要在河边 建一个抽水站,将河水送到 A、B 两地,问该站建在河边什么地方,?可使所修 的渠道最短,试在图中确定该点(保留作图痕迹)
A a B

五、归纳小结 通过本节课的学习,同学们学会了解决生活中距离最短的问题。 六、作业布置 (1)习题 12.2 9 题 (2) .如图,已知牧马营地在 P 处,每天牧马人要赶着马群先到河边饮水,再带 到草地吃草,然后回到营地,请你替牧马人设计出最短的放牧路线.

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河流 P 营地 草地

七、板书设计
§14.2 作轴对称图形 ——生活中的距离最短问题 一、 复习回顾 二、 探究新知 三、 例题解析 四、 课堂练习

课后反思:

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12.2 .2

用坐标表示轴对称

课型:新授 教学目标 一、知识与技能 在平面直角坐标系中,确定轴对称变换前后两个图形中特殊点的位置关系,再利 用轴对称的性质作出成轴对称的图形 二、过程与方法 利用点的变化规律作轴对称图形 三、情感态度价值观 通过学习进一步培养学生利用数学解决实际问题的能力。 教学重点 用坐标表示轴对称 教学难点 利用转化的思想,确定能代表轴对称图形的关键点 教学方法:讨论交流、动手实践 预习导航: 1、 关于坐标轴对称点的特征(X 轴、Y 轴) 2、 关于原点对称点的特征 3、 利用点的变化规律作关于 X 轴、Y 轴对称的图形 教学过程: 一、创设情境,引入新课 引言:同学们,我们的首都北京是大家都向往的地方,你们去过北京吗?让我 们一起去北京逛一逛,好吗? 引出问题: 见 P43 页:老北京的地图中,其中西直门和东直门是关于中轴线对称的,如 果以天安门为原点,分别以长安街和中轴线为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系, 对应于课本如图所示的东直门的坐标,你能找到西直门的位置,说出西直门的坐 标吗? 学生指出西直门的位置,试着说出西直门的坐标.
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用坐标表示轴对称,可以很方便地确定一个地方的位置,实际上在我们日常 生活中应用非常广泛,如工程建设的绘图等. 这节课我们就来学习用点表示轴对称.引入课题:用坐标表示轴对称. 注:以学生熟悉、向往的北京城地图引出新课,可以激发学生的学习兴趣, 同时,使学生感受数学无处不在,数学就在身边. 二、合作探究,探索新知 (1)在直角坐标系中画出下列已知点. A(2,-3);B(-1,2);C(-6,-5);D(3,5);E(4,0);F(0,-3). (2)画出这些点分别关于 x 轴、y 轴对称的点.并填写表格. (3)请你仔细观察点的坐标,你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律 吗? (4)请你想办法检验你所发现的规律的正确性说说你是如何检验的. 已知点 关于 x 轴的对称点 关于 y 轴的对称点 注:问题的设计目的在于让学生经历动手操作、发现规律、检验正确性的过 程.并通过画图、观察点的坐标,使学生体验数形结合思想,即通过画图、观察 线段之间的关系得到对称点的坐标.已知给出的点分别位于四个象限以及 x 轴、y 轴,具有一定的代表性,便于学生运用一般——特殊----一般的思想去发现规律. 小组合作,总结规律:点(x,y)关于 z 轴对称的点的坐标为(x,-y),即横坐 标相等,纵坐标互为相反数;点(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标为(-x,y),即横 坐标互为相反数,纵坐标相等. 利用刚才发现的点关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标规律,我们可以很容易地在 平面直角坐标系中作出与一个图形关于 x 轴、y 轴对称的图形. 三、例题解析 如下图,四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(-5,1)、B(-2,1)、C(-2, 5)、D(-5,4),分别作出与四边形关于 x 轴和 y 轴对称的图形. A(2,-3) B(-1,2) C(-6,-5) D(3,5) E(4,0) F(0,-3)

四、分享成果,巩固新知 看谁脑子转得快! (1、2 抢答): 1.说出下列各点关于 X 轴、y 轴对称的点的坐标:
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(-2,6),(1,-2),(-1,3),(-4,-2),(1,0) 2.如下图,△ABC 关于 X 轴对称,点 A 的坐标为(1,-2),说出点 B 的坐标.

注:通过一定的练习使学生特别是学有困难的学生都能达到基本的学习目标, 即:能在直角坐标系中画出点关于坐标轴对称的点,能表示点关于坐标轴对称的 点的坐标. (P44 页书面练习) 变式探究,提升思维 1.分别作出△PQR 关于直线 x=1(记为 m)和直线 y=-1(记为 n)对称的图形. 2.你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗? 3.如果作关于直线 x=3(记为 m)和直线 y=-4(记为 n)对称的图形,你能发现 对应点的坐标之间的关系吗?

注:规律的发现要重视学生的分析、说理,希望学生能通过寻找线段之间的 关系来求点的坐标. 前面的学习是使学生画出点关于坐标轴对称的点,能表示点关于坐标轴对称 的点的坐标. 这个问题的设计把对称轴是坐标轴变成了直线 x=3 和 y=-4, 希望学生也能用同样的方法加以解决,即再次体验数形结合思想,并拓展到 直线 x=m 和 y=n,使学生学会通过寻找线段之间的关系来求点的坐标,而不是机械 地通过记忆规律来解决. 规律:点(x,y)关于直线 x=m 对称点的坐标是(2m-x,y),即若两点(x1,y1)、 x ?x (x2,y2)关于直线 x=m 对称,则 m= 1 2 ,y1=y2. 2 点(x,y)关于直线 y=n 对称点的坐标是(x,2n-y), y ? y2 即若两点(x1,y1)、(x2,y2)关于直线 y=n 对称,则 x1=x2,n= 1 2 注:通过总结规律使学生达到做一题、会一类的学习效果,也使学生形成善 于总结、归纳的良好学习习惯.
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五、总结归纳 1.点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段之间的关系来求。 2.点(x,y)关于 x 轴对称的点的坐标为(x,-y),即横坐标相等,纵坐标互为 相反数; 点(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标为(-x,y),即横坐标互为相反数,纵坐 标相等. 注:归纳本堂课解题方法,总结知识要点. 六、布置作业: 教科书习题 12.2 2、3、4、6. (7、8 在书本中完成)

七、板书设计 12.2 .2 用坐标表示轴对称 一、关于坐标轴对称的点的特征 二、关于原点对称点的特征 三、利用点的变化规律作关于 x 轴、y 轴对称的图形

课后反思:

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12.3.1 等腰三角形的性质
课型:新授课 教学目标 (一)知识与技能 1、理解掌握等腰三角形的性质。 2、运用等腰三角形的性质进行证明和计算 3、观察等腰三角形的对称性、发展形象思维。 (二)过程与方法 1、通过实践、观察、证明等腰三角形的性质,培养学生推理能力。 2、通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题,提高运用知识和技能解决问题 的能力。 (三)情感、态度与价值观 引导学生对图形的观察、发现、激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知 识解答问题的活动中获取成功的体验,建立学习的信心。 重点 等腰三角形的性质及应用 难点 等腰三角形的性质证明 教学方法:合作探究 教具准备:直尺 等腰三角形的纸片 预习导航: 1、 等腰三角形的定义及腰、底边、顶角、底角的概念。 2、 等腰三角形是轴对称图形。 3、 等腰三角形“等边对等角”的性质证明。 4、 等腰三角形“三线合一”的性质证明。 教学过程:
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一.提出问题,创设情境 在前面的学习中,我们认识了轴对称图形,探究了轴对称的性质,?并且能够 作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形,?还能够通过轴对称变换来设 计一些美丽的图案.这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何 图形.来研究:①三角形是轴对称图形吗?②什么样的三角形是轴对称图形? 有的三角形是轴对称图形,有的三角形不是. 问题:那什么样的三角形是轴对称图形? 满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形,?也就是将三角形沿某一条直线 对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形. 我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形. 二.新知探究 要求学生通过自己的思考来做一个等腰三角形.
A A

作一条直线 L,在 L 上取点 A,在 L 外取点 B,作出点 B 关于直线 L 的对称点 C,连结 AB、BC、CA,则可得到一个等腰三角形. B B C 等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫 I I 做腰,另一边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫底角.同学 们在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底边、顶角和底角. 活动一:探索等腰三角形的性质: 1、小组活动: (1)自己画一个等腰三角形△ABC 并将其对折,使两腰 AB、AC 重叠,折痕为 AD。 (2)观察、思考,你能发现哪些相等线段和角?请把小组交流的结论填入下 面的表格: 等腰三角形的性质: 图形 性质
A


B C


B

A C

2、思考: (1) .等腰三角形是轴对称图形吗?请找出它的对称轴. (2) .等腰三角形的两底角有什么关系? (3) .顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗? (4) .底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗??底边上的高所在 的直线呢? 3、结论:1、等腰三角形的两个底角 。 (简写成 ) 2、等腰三角形的顶角 、底边上的 、底边上
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互相



即:等腰三角形的性质:
1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”. ) 2.等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线、?底边上的高互相重合(通常 称作“三线合一”. ) A 由上面的过程获得启发, 我们可以通过作出等腰三角形的对称轴, 得 到两个全等的三角形,从而利用三角形的全等来证明这些性质.同学 们现在就动手来写出这些证明过程) . B D C 四、例题讲解 [例 1]如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D 在 AC 上,且 BD=BC=AD, 求:△ABC 各角的度数. A 分析: 根据等边对等角的性质,我们可以得到 D ∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC,? 再由∠BDC=∠A+∠ABD,就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A. C B 再由三角形内角和为 180°,?就可求出△ABC 的三个内角. 把∠A 设为 x 的话,那么∠ABC、∠C 都可以用 x 来表示,这样过程就更简捷. 五.巩固练习 基础练习:课本 P51 练习 1、2、3. 综合练习:选择 1.如果△ABC 是轴对称图形,则它的对称轴一定是( ) A.某一条边上的高; B.某一条边上的中线 C.平分顶角和这个角对边的高、中线所在的直线; D.某一个角的平分线 2.等腰三角形的一个外角是 100°,它的顶角的度数是( ) A.80° B.20° C.80°和 20° D.80°或 50° 3、等腰三角形的两条边分别是 3、7,周长是多少? 4、等腰三角形的两条边分别是 4、7,周长是多少? 六.归纳小结 这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简单的应用.等腰 三角形是轴对称图形,它的两个底角相等(等边对等角) ,等腰三角形的对称轴是 它顶角的平分线,并且它的顶角平分线既是底边上的中线,又是底边上的高. 我们通过这节课的学习,首先就是要理解并掌握这些性质,并且能够灵活应 用它们. 七.作业 (一)习题 12.3 的 4、6、8 题. 八、 板书设计 12.3.1.1 一、设计方案作出一个等腰三角形 等腰三角形(一)

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二、等腰三角形性质 1.等边对等角 2.三线合一 九、课后反思

§12.3.1.3 等腰三角形的判定
课型:新授课 教学目标 (一)知识与技能 会阐述、推证等腰三角形的判定定理. (二)过程与方法 探索等腰三角形的判定定理,进一步体验轴对称的特征,发展空间观念. (三)情感态度与价值观 通过对等腰三角形的判定定理的探索,让学生体会探索学习的乐趣,并通过 等腰三角形的判定定理的简单应用,加深对定理的理解.从而培养学生利用已有 知识解决实际问题的能力. 教学重点 等腰三角形的判定定理的探索和应用. 教学难点 等腰三角形的判定与性质的区别. 教学方法 指导—自主教学法 教具准备 多媒体课件、圆规、三角尺. 预习导航: 1、等腰三角形判定方法有哪些? 2、判定方法的综合运用,证明两条线段相等。 3、等腰三角形三线合一的变式训练。 教学过程
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一.提出问题,创设情境 [师]上节课我们学习了等腰三角形的性质,现在大家来回忆一下,等腰三角 形有些什么性质呢? [师]我们已经知道了等腰三角形的性质,那么满足了什么样的条件就能说一 个三角形是等腰三角形呢?这就是我们这节课要研究的问题. 二.新知探究 [师]同学们看下面的问题并讨论: 0 思考:如图,位于在海上 A、B 两处的两艘救生船接到 O 处遇险船只的报警, 当时测得∠A=∠B. 如果这两艘救生 船以同样的速度同时出发,?能不能大约同时赶到出事地 A B 点(不考虑风浪因素)? 在一般的三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边有什么关系? 让学生猜想(它们所对的边相等) [师]现在我们把这个问题一般化,在一般的三角形中,如果有两个角相等,? 那么它们所对的边有什么关系? [师]为什么它们所对的边相等呢?同学们思考一下,给出一个简单的证明. 学生根据命题画出图形,并写出已知、求证。 三、例题讲解 A 12 [例 1]已知:在△ABC 中,∠B=∠C(如图) . 求证:AB=AC.
C D 分析思路:引导学生类比等腰三角形性质的证明,添 B 加辅助线,构造以 AB,AC 为边的两三角形,并证明它们全 等. 等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对 的边也相等(简写成“等角对等边”. ) 注意:(1)要弄清判定定理的条件和结论,不要与性质定理混淆.

(2)不能说“一个三角形两底角相等,那么两腰边相等”,因为还未 判定它是一个等腰三角形. (3)判定定理得到的结论是三角形是等腰三角形,性质定理是已知三角 形是等腰三角形,得到边边和角角关系. [师]下面我们通过几个例题来初步学习等腰三角形判定定理的简单运用. [例 2]求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么 这个三角形是等腰三角形. [师]这个题是文字叙述的证明题, ?我们首先根据题意画出相应的几何图 形,再写出已知、求证,然后再证明。 已知:∠CAE 是△ABC 的外角,∠1=∠2,AD∥BC(如图) .
- 29 B C

E

A

1 2

D

求证:AB=AC. [例 3]如图(1) ,标杆 AB 的高为 5 米,为了将它固定,需要由它的中点 C?向 地面上与点 B 距离相等的 D、E 两点拉两条绳子,使得 D、B、E 在一条直线上,量 得 DE=4 米,?绳子 CD 和 CE 要多长?
A C

D

B (1)

E

[师]这是一个与实际生活相关的问题,解决这类型问题,需要将实际问题抽象为 数学模型.本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高,求腰长 的问题. [师]同学们按以上步骤来做一做,看结果是多少. 四.随堂练习 A 1.如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,分别计算∠1、∠2 的度 数,?并说明图中有哪些等腰三角形.
D
1

答案:∠1=72°,∠2=36°. 等腰三角形有:△ABC、△ABD、△BCD. 2.如图,把一张矩形的纸沿对角线折叠.重合部分是一个等腰三 角形吗?为什么? 答案:是等腰三角形.因为,如图可证∠1=∠2. 3.如图,AC 和 BD 相交于点 O,且 AB∥DC,OA=OB,求证:OC=OD. 答案: 五.课堂小结 通过这节课的学习,大家有什么收获呢?
A

2

B

C

2

1

D 0

C

B

六.课后作业 (一)课本 P56─必做题 2、5、选做题 9。 (二)预习 七、板书设计 §14.3.1.2 等腰三角形(二) 一、等腰三角形的判定定理──等角对等边 二、等腰三角形判定定理的应用 三、随堂练习
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八、课后反馈:

§12.3.1.3 等腰三角形的判定
课型:练习课 教学过程 复习提问: 师:等腰三角形的判定定理有哪些? ①有两边相等的三角形叫做等腰三角形。(其定义是重要的判定) ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。 引例 1 已知:如图,AD∥BC,BD 平分∠ABC。 求证:AB=AD

师:要证明 AB=AD,转化先证明∠ABD=∠ADB 即可。我们要证明的两条线段 若在两个三角形中,则思考的一个方向是去证明三角形全等。若这两条线段是在 同一 变式一: 变式二:

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刚才我听到有的同学说很简单,我也这样认为这两个引例并不难,但难题来 至于简单的组合,奥秘隐藏于简单之中,还要仔细分析,这两题能够给我们带来 怎样的收获。 ①小题:出现: ②小题:出现: 师:今后我们在解题时,就要有意识的向这个方向去想,要充分的利用好我 们总结的规律,能运用规律来解题,某种情况上说我们已经掌握了这个规律。 例 1 已知:CE、CF 分别平分∠ACB 和它的外角,EF∥BC,EF 交 AC 于点 D,E 是 CE 与 AB 的交点。 求证:DE=DF 由出现了角平分线,和平行线,我们很容易得到ΔDEC 和 ΔDFC 是等腰三角形,可得:ED=DC,DF=DC。 例 2 已知: 如图, D 是∠ABC 的角平分线与∠ACB 的外角平分线的交点, 点 DE∥BC, DE 交 AB 于点 E,交 AC 于点 F。 求证:EF=BE-CF。

例 3 已知:如图,B、D 分别在 AC、CE 上,AD 是∠CAD 的平分线,BD∥AE,AB= BC。求证:AC=AE。

练习: (l)如图 6,在△ABC 中,AB=AC,∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点 F,过 F 作 DE//BC,交 AB 于点 D,交 AC 于 E.问图中哪些三角形是等腰三角形? (2)上题中,若去掉条件 AB=AC,其他条件不变,图 6 中还有等腰三角形吗?

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§12.3.2.1 等边三角形的性质
课型:新授课 教学目标 (一)教学知识点 经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程. (二)能力训练要求 1.经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符号 感,发展抽象思维. 2.经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程,发展合情推理能力和初步 的演绎推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点. (三)情感与价值观要求 1.积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲. 2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心. 教学重点 等边三角形性质的发现与证明. 教学难点 1.等边三角形性质的发现与证明. 2.引导学生全面、周到地思考问题. 教学方法
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探索发现法. 教具准备 多媒体课件,投影仪. 预习导航: 1、等边三角形的定义。 2、等边三角形的性质。 3、综合运用等边三角形的性质证三角形全等。 教学过程 一、 情境引入。 师:在等腰三角形中,如果底边也等于腰长,会得到哪些结论呢? 二、新知探究 1、等边三角形的定义 底边和腰相等的等腰三角形叫做等边三角形。 2、思考:等边三角形有哪些性质? 边:三条边相等 角:三个角都相等,并且每一个角都等于 60 度。 3、在 ABC 中,∠A=∠B=∠C,你能得到 AB=AC=BC 吗?为什么? 你从中能得到什么结论? 三个角都相等的三角形是等边三角形。 三、例题解析: 例:已知:如图等边△ABC,D、E、F 分别是各边上的一点,且 AD=BE=CF. 求证:△DEF 是等边三角形。

四、巩固练习: 1.等边三角形是轴对称图形吗?它有几条对称轴?它们分别是什么线段? 答案:等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,它们分别是三个角的平 分线(或是三条边上的中线或三条边上的高线) . 2.如图,等边三角形 ABC 中,AD 是 BC 上的高,∠BDE=∠CDF=60°,?图中有 哪些与 BD 相等的线段?
A

E B

F

3.拔高训练

D

C

已知:如右图,P、Q 是△ABC 的边 BC 上的两点, ,并且 PB=PQ=QC=AP=AQ.求∠BAC 的 大小.
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四.归纳小结 这节课,我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件,?并对这 个结论的证明有意识地渗透分类讨论的思想方法.这节课我们学的性质非常重要, 在我们今后的学习中起着非常重要的作用. 五、作业布置 习题 12.3 第 11 题 六、板书设计 §14.3.2.1 等边三角形(一) 一、探索等边三角形的性质 问题:一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形 二、等边三角形的性质 三、应用例题讲解 七、课后反馈

§12.3.2.2 等边三角形的判定
课型:新授课 教学目标 (一)知识与技能 经历探索等边三角形的条件及其推理证明过程. (二)过程与方法 1.经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符号 感,发展抽象思维. 2.经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程,发展合情推理能力和初步 的演绎推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点. (三)情感与价值观 1.积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲. 2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心. 教学重点 等边三角形判定的发现与证明. 教学难点 1.等边三角形判定的发现与证明.
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2.引导学生全面、周到地思考问题. 教学方法 探索发现法. 教具准备 预习导航: 1、等边三角形的判定方法。 2、根据已知条件选择最优、最简便的方法证明三角形是等边三角形。 教学过程 一、创设情境,提出问题 回顾上节课讲过的等边三角形的有关知识 1.等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴. 2.等边三角形每一个角相等,都等于 60° 二、探究新知 A 已知:如图,在△ABC 中,∠A=∠B=∠C. 求证:△ABC 是等边三角形. 证明:∵∠A=∠B, ∴BC=AC(等角对等边) . C B 又∵∠A=∠C, ∴BC=AC(等角对等边) . ∴AB=BC=AC,即△ABC 是等边三角形. [师]这样,我们由等腰三角形的性质就可以得到. 等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于 60°; 即:等边三角形的判定 1:三个角都相等的三角形是等边三角形. 已知: 三角形 ABC 为等边三角形. E 为边 AB、 上两点, AD=AE. D、 AC 且 判 断△ADE?是否是等边三角形,并说明理由.
B

A

D

E C

即:等边三角形的判定 2:有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形 三、巩固练习 如图,课外兴趣小组在一次测量活动中,测得∠APB=60°, A AP=BP=200m,?他们便得出一个结论:A、B 之间距离不少于 200m, 他们的结论对吗? 分析:我们从该问题中抽象出△APB,由已知条件∠APB=60° 且 AP=BP,?由本节课探究结论知△APB 为等边三角形. 四、归纳小结 归纳:在判定三角形是等边三角形时, 1、 若三角形是一般三角形,只要找三个角相等或三条边相等。 2、若三角形是等腰三角形,一般是找一个角等于 60。 五、作业布置 教科书 P56 复习巩固 1.2
- 36 60?

B

P

六、板书设计 §12.3.2.2 等边三角形的判定 1、等边三角形的判定 1 2、等边三角形的判定 2 一、 应用举例 二、 巩固练习 七、课后反馈

§12.3.2.3 含 30 角的直角三角形的性质
课型:新授课 教学目标 知识与技能 掌握 300 角的直角三角形的性质与应用。 过程与方法 通过探究 300 角的直角三角形的性质,增强学生对特殊直角三角形的认识,培养 分析问题、解决问题的能力。 情感、态度与价值观 通过学习 300 角的直角三角形性质,了解等边三角形与 300 角相互转化的事实,培 养学生用发展变化的思想看问题的价值观。 重点 含 300 角的直角三角形的性质。 难点 含 300 角的直有三角形性质的推导。 教学方法:探索发现法 教具准备:两个全等的含 30°角的三角尺; 多媒体课件;
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0

预习导航: 1、含 300 角的直角三角形的性质及证明。 2、运用含 300 角的直角三角形的性质进行计算或证明。 3、介绍该性质的逆命题。 教学过程 一.提出问题,创设情境 [师]我们学习过直角三角形,今天我们先来看一个特殊的直角三角形,看它 具有什么性质.大家可能已猜到,我让大家准备好的含 30°角的直角三角形,? 它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢? 问题:用两个全等的含 30°角的直角三角尺,你能拼出一个怎样的三角形?? 能拼出一个等边三角形吗?说说你的理由. 由此你能想到,在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小 关系?你能证明你的结论吗? 二.探究新知 (让学生经历拼摆三角尺的活动,发现结论,同时引导学生意识到,通过实 际操作探索出来的结论,还需要给予证明) [生]用含 30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形.

A

A

B

D (1)

C

B

D (2)

C

定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°,?那么它所对的直角边等于 斜边的一半. 已知:如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠BAC=30°. 1 求证:BC= AB. A A 2

C

B

B

C

D

分析:从三角尺的摆拼过程中得到启发,延长 BC 至 D,使 CD=BC,连接 AD. 证明过程略: [师]这个定理在我们实际生活中有广泛的应用,因为它由角的特殊性,揭示 了直角三角形中的直角边与斜边的关系,下面我们就来看一个例题. 三、例题讲解

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[例 5]右图是屋架设计图的一部分,点 D 是斜梁 AB 的中点, 立柱 BC、 垂直于横梁 AC, DE AB=7.4m, ∠A=30°,
D

B

A 立柱 BD、DE 要多长? E C 分析:观察图形可以发现在 Rt△AED 与 Rt△ACB 中, 1 1 1 由于∠A=30°,所以 DE= AD,BC= AB,又由 D 是 AB 的中点,所以 DE= AB. 2 2 4

[师]再看下面的例题. [例]等腰三角形的底角为 15°,腰长为 2a,求腰上的高. 已知:如图,在△ABC 中,AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°,CD 是腰 AB 上的高. 求:CD 的长.
D A B C

分析:观察图形可以发现,在 Rt△ADC 中,AC=2a,而∠DAC 是△ABC 的一个外角, ?则∠DAC=15°×2=30°,根据在直角三角形中,30°角所对的边是斜边的一半, ?可求出 CD. [师]下面我们来做练习. 四.随堂练习 (一)课本 P56 练习 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠B=2∠A,∠B 和∠A 各是多少度?边 AB 与 BC?之间 有什么关系? C 答案:∠B=60°,∠A=30°,AB=2BC. (二)补充练习 1.已知:如图,△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是高,∠A=30°. 1 B 求证:BD= AB. 4

D

A

2.已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的 2 倍,这个角的平分线把对 边分成两条线段. 求证:其中一条是另一条的 2 倍. 已知:在 Rt△ABC 中,∠A=90°,∠ABC=2∠C,BD 是∠ABC 的平分线.
A D C

B

五.归纳小结 这节课,我们在上节课的基础上推理证明了含 30°的直角三角形的边的关 系.这个定理是个非常重要的定理,在今后的学习中起着非常重要的作用. 六.课后作业 (一)课本 P57 页 7 题.
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1.找出若干个成轴对称的汉字、英文字母、阿拉伯数字. 七、板书设计

§12.3.2.3 含 30 角的直角三角形的性质
一、定理的探究 定理:在直角三角形中,有一个锐角是 30°,那么它所对的直角边等于 斜边的一半. 二、范例分析 三、随堂练习 八、课后反馈:

0

第十二章轴对称小结与复习教学案
学习目的 1.使学生对整章的学习内容做一回顾,系统地把握全章的知识要点和基本技 能。 2.通过例题和练习,使学生能较好地运用本章知识和技能解决有关问题。 重点、难点 判断图形是否是轴对称图形,线段的垂直平分线、角平分线的性质、等腰三 角形的性质和判定及其应用是教学重点,而灵活运用上述性质解决问题、轴对称 图案的设计是教学难点。 知识结构:

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知识回顾 问题 1:轴对称图形的定义是什么? 它是判断图形是否是轴对称图形的依据。 问题 2:是否会画轴对称图形的对称轴? 找出轴对称图形的任一组对称点,连结对称点,画对称点所连线段的垂直平 分线,即得到该图形对称轴。 问题 3:轴对称图形对称点的连线与对称轴有什么关系? 轴对称图形对称点的连线被对称轴垂直平分。 知识回顾: 3、轴对称图形和轴对称的区别与联系
轴对称图形
A

轴对称
A'

图形
B

A

C

B

C

C'

B'

区别

( 1) 轴 对 称 图 形 是 指 (一个 ) 具 有特 殊形 状的 图 形, 只 对( 一 个 ) 图 形而 言; ( 2)对 称 轴( ) 不一定 只 有一 条 如 果 把轴 对称 图形 沿对 称轴 分 成 两部 分, 那么 这两 个图 形 就 关 于这 条直 线成 轴对 称.

( 1)轴 对 称是 指(两个 )图 形 的 位 置关 系,必 须 涉及 ( 两个 )图 形; ( 2)只 有( 一条) 对称 轴. 如 果 把两 个成 轴对 称的 图形 拼 在 一起 看成 一个 整体 ,那 么 它 就是 一个 轴对 称图 形.

联系

问题 4:线段垂直平分线、角平分线具有什么性质? 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;角平分线上的点到角两边的 距离相等。 问题 5:等腰三角形有什么性质? 等腰三角形底边的中线、高线、顶角的平分线互相重合,等腰三角形的两个
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底角相等(等边对等角),等边三角形的三个角都等于 60°。 问题 6:如何判断三角形是等腰三角形?等边三角形? 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边); 有两个角是 60°的三角形是等边三角形,有一个角是 60°的等腰三角形是等边三 角形。 例题讲解 例 1 已知△ABC 是等边三角形,D 是 AC 的中点,E 是 BC 延长线上的 一点, CE= 且
1 BC, 你能找出图中所有的等腰三角形吗?并说明理由? 2

解 (1)结论:△CED 是等腰三角形. 理由:因为 △ABC 是等边三角形,D 是 AC 的中点. 1 1 所以 CD= AC= BC 2 2 1 因为 CE= BC 2

所以 CD=CE 所以△CED 是等腰三角形. (2)结论:△BDE 是等腰三角形. 因为△CDE 是等腰三角形且∠ACB=60° 所以∠E=∠CDE=30° 因为 BD 是等边三角形的中线, 1 根据三线合一可得∠DBC= ∠ABC=30° 2 所以∠E=∠DBC=30° 因为△BDE 是等腰三角形. 例 2 在直角△ABC 中,∠A=90°,∠ABC 的平分线 BE 交 AC 于 E 点, 过 E 点作 ED⊥BC 于 D 点,已知 AC=10cm,△CDE 的周长为 16cm,求 CD 的长.

解 因为 BE 是∠ABC 的平分线,∠A=90°,ED⊥BC
- 42 -

所以 AE=ED(角平分线上的点到角两边的距离相等) . 所以 CE+ED=CE+AE=AC=10cm 因为 CE+ED+CD=16cm 所以 CD=16-10=6cm. 课堂小结 通过本节课复习,同学们应掌握本章知识和技能,并运用所学知识和技能解 决问题, 巩固练习 1.下列图案是轴对称图形的有( )

A.1 个

D.2 个

C.3 个

D.4 个

2.如右图所示,已知,OC 平分∠AOB,D 是 OC 上一点,DE⊥OA,DF⊥OB,垂足为 E、F 点,那么 (1)∠DEF 与∠DFE 相等吗?为什么? (2)OE 与 OF 相等吗?为什么?

3、 如右图所示, 已知 AB=AC, 垂直平分 AB 交 AC、 于 D、 两点, AB=12cm, DE AB E 若 BC=l0cm,∠A=49°14′54″.求△BCD 的周长和∠DBC 度数。

4、如图 14-105 所示,AB=AC,BC=BD=ED=EA,求∠A 的度数. 5、 如图 14-107 所示,∠B=90°,AD=AB=BC,DE⊥AC.求证 BE=DC.

- 43 -

《轴对称》单元测试试卷
姓名 ______ 一 选择 ⒈如图,下列图案是我国几家银行的标志,其中是轴对称图形的有 ( ) 座号_______ 评价得分_______

A、1 个

B、2 个

C、3 个

D、4 个

⒉ 在△ABC 中,AB=AC,BC=5cm,作 AB 的中垂线交另一腰 AC 于 D,连结 BD,如果 △BCD 的周长是 17cm,则腰长为 ( cm D、5 cm ( ) ) A、12cm B、6 cm C、 7

⒊下列说法中,正确说法的个数有

①角是轴对称图形,对称轴是角的平分线; ②等腰三角形至少有 1 条对称轴, 至多有 3 条对称轴;③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形;④两图 形关于某直线对称,对称点一定在直线的两旁.
- 44 -

A、1 个

B、2 个

C、3 个

D、4 个 )

4.下列图形中一定是轴对称图形的是( A、梯形 B、直角三角形 C、角

D、平行四边形 ( ) C.三条高的交点 D.三条边

5.到三角形的三个顶点距离相等的点是 A.三条角平分线的交点 的垂直平分线的交点

B.三条中线的交点

6.已知:在△ABC 中,AD 为∠BAC 的角平分线上,DE⊥AB,F 为 AC 上一点,且∠ DFA=1000,则 A.DE>DF ( B.DE<DF ) C.DE=DF D.不能确定 DE、DF 的大小.

7.等腰三角形的一个外角等于 100°,则与它不相邻的两个内角的度数分别为 ( ) B.80°,20°C.50°,50° D.50°,50°或 80°,20° ) B.点(3,-4)与点(-3,4)关于 y 轴 D.点(4,-3)与点(4,3)关于 y

A.40°,40°

8、下列判断正确的是(

A.点(-3,4)与(3,4)关于 x 轴对称 对称

C.点(3,4)与点(3,-4)关于 x 轴对称 轴对称 二、填空题

A

9.如图,在△ABC 中 BC=5cm,BP、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角的
P

平分线,且 PD∥AB,PE∥AC,则△PDE 的周长是_______cm 10.等腰三角形有一个外角是 100°,那么它的的顶角的度数为 _______
B D

A

E

C

11.如图,△ABC 中, 垂直平分 AC, AC 交于 E, BC 交于 D, DE 与 与 ∠C=150, ∠BAD=600, 则△ ABC 是__________三角形. 12. 如图,△ABC 中,∠C=900,DE 是 AB 的垂直平分线,且∠BAD:∠CAD=3:1, 则∠B=_______.

A
C D

A E B
11t 题

P
C

D

A

E
第 12 题图
- 45 -

B

O

B
第 13 题图

13.如图,分别作出点 P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P2,连结 P1P2, 分别交 OA、OB 于点 M、N,若 P1P2=5cm,则△PMN 的周长为__________________. 三、解答题 14.如图,直线 a,b,c 表示三条相互交叉的公路,现要建一 个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可供选择的 地址有几处?如何选?
c b a

15.如图,△ABC 中,∠BAC=1100,E、G 分别为 AB、AC 中点,DE⊥AB,FG⊥AC,求 ∠DAF.
E B D F C A G

16、如图, ? ABC 中,AB=AC,AD ? BC,DE//AC,试说 明 ? BDE 和 ? AED 都是等腰三角形

17 已知:在△ABC 中,AB=AC,点 D 在 AC 上,且 B BD=BC=AD, 求∠C 的度数。

C

D

A

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