当前位置:首页 >> 数学 >>

最新3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示_图文

3.1.4空间向量的正交 分解及其坐标表示 复习: 平面向量基本定理: 如果e1,是同一平面内的两个不共线向量, e2 那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有 一对实数?1,?2,使a=?1 e1+?2 e 2。 (e1、 e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。) 平面向量的正交分解及坐标表示 y a ? xi ? y j i ? (1,0), j ? (0,1),0 ? (0,0). i o j a x 在空间中,能得出类似的结论: 一、空间向量基本定理: 如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间任一 向量 p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z, p ? xa ? yb ? zc. 使 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。 a, b, c 都叫做基向量 注:对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面, 还应明确: (1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。 (2) 由于可视 0 为与任意一个非零向量共线,与任 意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着 它们都不是 0 。 (3)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基 底中的某一个向量,二者是相关连的不同概念。 特殊的: i, j, k两两垂直时 OP ? OQ ? zk. OQ ? xi ? y j. z OP ? OQ ? zk ? xi ? y j ? zk. 由此可知,如果 i, j , k 是空间两 两垂直的向量,那么,对空间任一 向量 p ,存在一个有序实数组 {x,y,z}使得 p ? xi ? y j ? zk . 我们称 k i x O p j P xi, y j, zk 为向量 p 在 y Q i, j , k 上的分向量。 这种分解我们把它叫做空间向 量的正交分解. 二、空间直角坐标系下空间向量的直角坐标 单位正交基底:如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直,且长都为1,则这个 基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示 空间向量的直角坐标: 给定一个空间坐标系和向 量 p,且设e1,e2,e3为坐标向量, 由空间向量基本定理,存在唯 一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标, 记作.P=(x,y,z)其中x叫做点A的 横坐标,y叫做点A的纵坐标, z叫做点A的竖坐标. e3 e1 O e2 y z A(x,y,z) x 空间向量基本定理的考查 例1 已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC, M,N,分别是对边OA,BC的中点,点P,Q是 线段MN三等分点,用基向量OA,OB,OC表 示向量OP,OQ. O M A Q P C N B 例 2、 空间直角坐标的考查 e2、 e3 分 AB ? e1 ? 2e2 ? 3e2 ( e1、 1、在空间坐标系o-xyz中, 别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)则 AB 的坐标为 。 2、点M(2,-3,-4)在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正 投影的坐标分别为 ,关于原点的对称点 为 ,关于轴的对称点为 , 空间向量运算 的坐标表示 一、向量的直角坐标运算 a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) 设 a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 ) , 则 a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ?a ? (? a1 , ? a2 , ? a3 )(? ? R) a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) a // b ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0.(a, b都不是零向量) 若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1) 空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 二、距离与夹角的坐标表示 1.距离公式 (1)向量的长度(模)公式 已知 a ? ( x, y, z) ,则 a ? x ? y ? z 2 2 2 注意:此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。 (2)空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中,已知 A( x1 , y1 , z1 ) 、 B( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 2 2 2 ?| AB |? AB AB ? d A, B ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 ) 2.两个向量夹角公式 已知 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) 则 cos a , b ? a?b a?b ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 x12 ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2 注意: (1)当 cos ? a , b ?? 1 时, a 与 b 同向; a 与 b 反向; (2)当 cos ? a , b ?? ?1 时, (3)当cos ? a , b ?? 0 时,a ? b 。 3.中点坐标公式 已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 , , ) 则线段 AB 的中点坐标为 (