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二次根式的加减法同步测试题


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22.3 二根式的加减法(B 卷)
(90 分,70 分钟) 一、学科内综合题(每题 8 分,共 32 分) 1.

2 2 ÷(1- 5 ) . 3? 5

2.在长方形 ABCD 中,AD= 2 ,AB=1,E 是 AD 上一点,且 DE=-1,化简求值:

a? b a b 1 1 1 +( )÷ ,其中 a= ,b= . BD ? BE BD ? BE a? b a ? ab b ? ab b

3.设 a、b、c 均为正整数,且 a ? 28 = b - c ,求 a+b+c 的算术平方根.

4.已知 a-b= 5 + 3 ,b-c= 5 - 3 ,求 a +b +c -ab-bc-ac 的值.
2 2 2

二、实际应用题(8 分) 5. 丰产某种实验中心要在一块矩形的土地上做水稻良种实验, ?矩形土地的长是宽的 3 倍, 面积是 3600 平方米,这块实验田的周长是多少米?(精确到 1 米, 3 ≈1.732)

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三、创新题(8 题 8 分,其余每题 10 分,共 28 分) 6.(巧题妙解)(1)

1? 2 3 ? 5 ; (1 ? 3)( 3 ? 5)

(2)已知 x、y 都是正整数,且 x +

y = 1998 ,求 x+y 的值.

7.如图所示是小华同学设计的一个计算机程序,?请你看懂后再做题:

(1)若输入的数 x=5,输出的结果是______. (2)若输出的结果是 0 且没有返回运算,输入的数 x 是________. (3)请你输入一个数使它经过第一次运算时返回,经过第二次运算则可输出结果, 你觉得可以输入的数是_________输出的数是_________. 8.计算( 2 x ? 3 + 2 x ? 1 ) -( 2 x ? 3 - 2 x ? 1 ) ,其中 x>
2 2

1 . 2

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四、经典中考题(22 分)

1 1 0 + 27 +( ? -1) -|-1+ |. 2 4 2 4x 1 x?2 10.有一道题:“先化简,再求值:( + 2 )÷ 2 ,其中 x=- 3 ”,小玲 x ?4 x?2 x ?4
9.( 6 分)计算:做题时把“x=- 3 ”错抄成了“x= 3 ”,但她的计算结果也是正确的,请你解释这是 怎么回事?

11.( 5 分)计算:

2 1 -1 - 8 +( ) . 3 2 ?1

12.(3 分)小明的作业本上有以下四题: ① 16a =4a ; ② 5a · 10a =5 2 a; ③a
2

4

1 2 1 = a ? = a; ④ 3a - 2 a = a . a a

做错的题是( ) A.① B.②

C.③

D.④

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参考答案 一、 1.解:

1 2 2 2 ÷(1- 5 ) = × 3? 5 3 ? 5 (1 ? 5) 2

=

1 2 1 2 1 1 1 × = × = × = 2(3 ? 5) 3 ? 5 3 ? 5 4 3? 5 6 ? 2 5 3? 5

点拨:题目考查的知识面很广,我们在解这类题时,首先是要摆正心态,不要产生轻 敌的思想,以免造成不必要的失分. 2.解:由已知,得 BD= 3 ,BE= 2 . 原式=

a b a? b +[ ]· b a( a ? b) b( b ? a) a? b

=

a? b 1 1 +( )· b a? b a? b b? a

=

( a ? b )2 a? b b? a +( )· b b?a a ?b a ?b ( a ? b )2 ( a ? b ) b ( b ? a ) b + + a ?b a ?b a ?b
( a ? b )2 ? ( a ? b ) b ? ( a ? b ) b a ? b = a ?b a ?b
当 a=

=

=

1 1 = 3 + 2 ,b= = 3 - 2 时, 3? 2 3? 2

原式=

( 3 ? 2) ? ( 3 ? 2) 2 3 6 ? ? . 2 ( 3 ? 2) ? ( 3 ? 2) 2 2

2 3.解:因为 a ? 28 = b - c ,所以 a- 28 =( b - c ) .

所以 a-2 7 =b+c-2 bc .又因为 a,b,c 均为正整数,所以 a=b+c,b·c=7.

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又因为 b - c ≥0,所以 b≥c. 所以 b=7,c=1,a=8.所以 a ? b ? c ? 8 ? 7 ? 1 ? 16 =4. 点拨:同学们观察上面的解题过程可以发现,此题综合应用了二次根式的性质及正整 数的性质,如果没有经过认真的思考,可能一开始被题目吓住了,?只有一个条件等式, 其中还出现了三个字母.但经过对条件等式的两边同时平方,?问题也就迎刃而解了.因 此,在遇到困难时,往往只要向前挪动一步,就会柳暗花明了. 4.解:因为 a-b= 5 + 3 ,b-c= 5 - 3 所以 a-c= 5 + 3 + 5 - 3 =2 5 . 所以 a +b +c -ab-bc-ac
2 2 2

1 2 2 2 (2a +2b +2c -2ab-2bc-2ac) 2 1 2 2 2 = [(a-b) +(b-c) +(a-c) ] 2 1 2 2 2 = [( 5 + 3 ) +( 5 - 3 ) +2( 5 ) ] 2 1 1 = (8+2 15 +8-2 15 +20)= ×36=18. 2 2
= 点拨:解决本题的思路应该是从所求代数式的特征入手,通过等式的恒等变形,?构 造了三个完全平方公式.然后整体代入,方法很巧妙,也有很强的代表性. 二、5.解:设这块实验田的宽是 x 米,则长为 3x 米 依题意:3x·x=3600,x =1200;x= 1200 ;x=20 3 .
2

所以实验田的周长是:(20 3 +20 3 ×3)×2=160 3 ≈277(米) 答:这块实验田的周长约为 277 米. 点拨:题目中计算的结果涉及到了近似计算,在近似计算时, ?我们不要边计算边代 入,而应在化简的基础上最后代入求近似值.这样得出的结果会更接近准确值. 三、6.(1)解:原式=

1? 3 ? 3 ? 5 1? 3 3? 5 = + (1 ? 3)( 3 ? 5) (1 ? 3)( 3 ? 5) (1 ? 3)( 3 ? 5)

=

5? 3 3 ?1 5 ?1 1 1 + = + = 2 2 2 3 ? 5 1? 3

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点拨:不经过认真分析,题目简直难以下手,?该解法巧妙地借鉴了分式中拆分的技 巧.把一个式子拆成同分母分式相加的形式,先约分,使式子简单化,从而找到了解题的 捷径. (2)解:因为 1998 = 3 ? 222 =3 222 ,
2

所以

x+

y =3 ,因为 x , y 都是正整数,所以 x = 222 ,

y =2 222 或

x =2 222 , y = 222
即?

? x ? 222, ? x ? 888, 或? ? y ? 888 ? y ? 222

所以 x+y=222+888=1110.

点拨:解题的思路是从的化简入手,从而找到 x、y 的关系,?解题的难点就在于找到 解题的突破口,这往往是解此类题的关键所在.有的同学把等式的两边同时平方后,找不 到出路,那就应退回原地,寻找新的方法. 7.解:(1) 6 (2)± 7 (3)2;2 2 - 6

点拨:题目设计得比较新颖活泼,同学们对这种题目肯定很感兴趣, ?但难度也相当 大,主要有两点:(1)看不懂程序,程度中既有数字的运算又有二次根式大小的比较, 理解有一定的难度.(2)不但考查同学们顺向思维的能力,还考查了逆向思想的能力, 解决这类新情境的办法只有一个,那就是经过平常的练习,提高思维的敏捷程度, ?题目 的第三问是一个开放性试题,需要同学们取一个数代入进行多次尝试. 8.解法一:原式 =[( 2 x ? 3 + 2 x ? 1 )+( 2 x ? 3 - 2 x ? 1 )]· [( 2 x ? 3 + 2 x ? 1 )-( 2 x ? 3 - 2 x ? 1 )] =2 2 x ? 3 ·2 2 x ? 1 =4 4 x ? 4 x ? 3
2

解法二:原式=(2x+3+2 (2 x ? 3)(2 x ? 1) +2x-1)(2x+3-2 (2 x ? 3)(2 x ? 1) +2x-1) =4x+2+2 (2 x ? 3)(2 x ? 1) -4x-2+2 (2 x ? 3)(2 x ? 1) =4 4 x ? 4 x ? 3
2

解法三:用换元法:设 2 x ? 3 =a, 2 x ? 1 =b,

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则原式=(a+b) -(a-b) =4ab=4 2 x ? 3 · 2 x ? 1 =4 4 x ? 4 x ? 3
2 2

2

点拨:前两种方法分别直接采用平方差公式和完全平方公式.可以发现解题过程很复 杂.且容易出错.第三种方法采用了换元法,使计算过程相对简化了许多,希望同学们能 认真领会这种方法. 拓展:二次根式的运算会涉及非常复杂的知识体系,在运算中要注意归纳运算方法, 掌握有效的解题技巧,并且要把整式运算中的乘法公式,分式运算中的约分、 ?通分等知 识进行适当的迁移. 四、9.解:原式=-

1 3 1 3 +3 3 +1-|- |=- +3 3 +1- =3 3 . 4 4 4 4

点拨:这类中考题考查的知识通常比较广泛,基础性较强,可以说是送分题,但同学 们容易因紧张而出现不该有的失误,导致丢分,这是我们应特别引起重视的地方. 10.解:(

( x ? 2) 2 ? 4 x x2 ? 4 1 1 x ? 2 4x 2 2 + 2 )÷ 2 = ÷ = ·(x -4)=x +4, 2 2 2 x ?4 x ?4 x ?4 x ?4 x?2 x ?4
2 2

因为(- 3 ) =( 3 ) =3, 所以当把 x=- 3 抄成了 x= 3 时,原式的值仍为 7. 点拨:题型虽然是说理题,但仍是以计算作为前提基础,欲说清道理,仍必须先进行 分式的运算,在计算的过程中道理自然就找到了. 11.解:原式=

2( 2 ? 1) 1 2 - 2 ? 2 + =2 2 -2-2 2 +3=1. 1 ( 2 ? 1)( 2 ? 1) 3

点拨: 注意

2 的化简方法, 它具有普遍性, 我们在很多题目中都应用了这种方法. 2 ?1

12.D 点拨:第④小题 3a - 2 a 是进行二次根式的加减运算,需要把被开方数相同的 二次根式合并,而 3a 与 2 a 并非被开方数相同的二次根式,不能合并.

资料来源:回澜阁教育

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