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淮安市淮海中学2015届高三期末复习测试一


淮安市淮海中学 2015 届高三期末复习测试一

数学试题
(考试时间:120 分钟 第Ⅰ卷(必做题 总分:160 分) 共 160 分)

一、填空题(本题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)
1、复数 (1 ? i)(2 ? i) 的模等于 . .

2、已知集合 U={2,3,6,8},A={2,3},B={2,6,8},则(?UA)∩B= 3、命题“对 ? x ? R ,都有 x 2 ? 0 ”的否定为 4、如图所示的算法中,输出的结果是 . 5、在所有的两位数中,任取一个数,则这个数能被 2 或 3 整除的概率是

开始
S ←1, x ←1

x2 y 2 6、若双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0 )与直线 y ? 3x 无交点, a b
则离心率 e 的取值范围是________.

x?6

N

Y
S ← 2x ? 1
x ← x ?1
输出 S

?x ? y ? 2 ? 0 ? 7、设 z ? kx ? y ,其中实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,若 z 的最大 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?
值为 12,则实数 k ? ________. 8、要使 sin ? ? 3 cos ? ?

结束

( 第4题 )

4m ? 6 有意义,则实数 m 的范围是________. 4?m

9、若正三棱锥的底面边长为

2 ,侧棱长为 1,则此三棱锥的体积为

.

10、已知各项均为正数的等比数列 {an } 中,a4 与 a14 的等比中项为 2 2 ,则 2a7 ? a 1 1 的最 小值为 .

1

11、在平面直角坐标中,设圆 M 的半径为 1,圆心在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,若圆 M 上存在
点 N ,使 NO ?

1 NA ,其中 A(0,3) ,则圆心 M 横坐标的取值范围__ ____. 2

12 、 已 知 ?ABC 是 边 长 为 4 的 正 三 角 形 , D 、 P 是 ?ABC 内 部 两 点 , 且 满 足

uuu r 1 uu u r uuu r uu u r uuu r 1 uuu r AD ? ( AB ? AC ), AP ? AD ? BC ,则 ?APD 的面积为 4 8
13、若 a, b ? R ,且 4 ? a ? b ? 9 ,则 a ? ab ? b 的范围是____________.
2 2 2 2

14、 设 x1 , x2 是函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? a 2 x(a ? 0) 的两个极值点, 且 | x1 | ? | x2 |? 2 2 则

b 的最大值为_________
二、解答题(本题共 6 题,共 90 分,其中 15、16、17 每小题 14 分,18、19、20 每小题 16 分) 15、 在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.已知

cos A-2cos C 2c-a = . cos B b

sin C (1)求 sin A的值; 1 (2)若 cos B=4,△ABC 的周长为 5,求 b 的长.

16 、 在 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , A A 1 ?

, BC

?A1 AC ? 60? , AA1 ? AC ? BC ? 1, A1B ? 2 .
(1)求证:平面 A ; 1BC ⊥平面 ACC1 A 1 (2) 如果 D 为 AB 的中点, 求证:BC ∥平面 ACD . 1 (第 16 题图)

2

17 、某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品,用半径为 10cm 的圆形包装纸包 装.要求如下:正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合,包装纸不能裁剪,沿底边 向上翻折,其边缘恰好达到三棱锥的顶点,如图所示.设正三棱锥的底面边长为 xcm , 体积为 Vcm . 在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中,V 的最大值是多少? 并求此时 x 的值.
3

18、 已知椭圆的中点为坐标原点 O , 椭圆短轴长为 2, 动点 M (2, t )(t ? 0) 在椭圆的准线上. (1)求椭圆的标准方程. (2)求以 OM 为直径且被直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 的圆的方程; (3)设点 F 是椭圆的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线 FH ,且与以 OM 为直径的圆交于点

N,
求证:线段 ON 的长为定值,并求出这个定值.

3

19、 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 对一切 n ? N * 都成立.

s

n

, 已知 a1 ? 1 , 且 (Sn?1 ? ? )an ? (Sn ? 1)an ?1

(1)若 ? ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求 ? 的值,使数列 ?an ? 是等差数列.

20、已知 f ( x) ? 2 x ln x , g ( x) ? ? x2 ? ax ? 3 . (1)求函数 f ( x ) 的最小值; (2)若存在 x ? (0, ??) ,使 f ( x) ? g ( x) 成立,求实数 a 的取值范围; (3)证明对一切 x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ? 2(

x 2 ? ) 成立. ex e

21.
4

B. (矩阵与变换选做题)
?a b ? ? 1? 设矩阵 A ? ? ,矩阵 A 属于特征值 ?1 ? ?1 的一个特征向量为 ?1 ? ? ? ,属于特征值 ? ? ?1? ?c d ? ?3 ? ?2 ? 4 的一个特征向量为 ? 2 ? ? ? ,求 ad-bc 的值. ? 2?

C 极坐标与参数方程: 已知点 P 是曲线 C : ? 点,O 为原点.若直线 OP 的倾斜角为

? ? x ? 2cos ? , (? 为参数,? ? ? ? 2? )上一 ? ? y ? 3 sin ? ,

? ,求点 P 的直角坐标. 3

5

22. (本小题满分 10 分) 一批产品需要进行质量检验,质检部门规定的检验方案是:先从这批产品中任取 3 件 作检验,若 3 件产品都是合格品,则通过检验;若有 2 件产品是合格品,则再从这批 产品中任取 1 件作检验,这 1 件产品是合格品才能通过检验;若少于 2 件合格品,则 不能通过检验,也不再抽检. 假设这批产品的合格率为 80%,且各件产品是否为合格 品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费为 125 元,并且所抽取的产品都要检验,记这批产品的检验 费为 ? 元,求 ? 的概率分布及数学期望.

23. (本小题满分 10 分) 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 已知 CA ? CB ? 1 ,AA1 ? 2 ,

?BCA ? 90o .
(1)求异面直线 BA1 与 CB1 夹角的余弦值; (2)求二面角 B ? AB1 ? C 平面角的余弦值. A1

C1

B1

C A
(第 23 题图)

B

6

试卷答案

1. 5、

10 ;
2 3

2. {6,8}

3、 “存在 x∈R,有 x <0”. 7、2 7? ? 8、?-1,3? 12.

2

4.11 9.

6、 (1,2] 11. 0≤a≤

9 2

10、8

12 . 5

3 4

13、 ? 2,

? 27 ? ? 2? ?

14、 4 6

15、解 (1)由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R 为△ABC 外
7

接圆半径),所以

cos A-2cos C 2c-a 2sin C-sin A = b = ,---------------3 分 cos B sin B

即 sin Bcos A-2sin Bcos C=2sin Ccos B-sin Acos B, 即有 sin(A+B)=2sin(B+C),即 sin C=2sin A, sin C 所以sin A=2. (2)由(1)知 sin C c =2,所以有 =2,即 c=2a, sin A a ---------------9 分 ---------------7 分

又因为△ABC 的周长为 5,所以 b=5-3a, 1 由余弦定理及 cos B=4得 b2=c2+a2-2accos B, 1 即(5-3a)2=(2a)2+a2-4a2×4, 解得 a=1,所以 b=2

.----14 分

16.证明: (1)在△A1AC 中,∠A1AC=60° ,AA1=AC=1, ∴A1C=1, △A1BC 中,BC=1,A1C=1,A1B= 2, BC2 ? A1C 2 ? A1B2 ∴BC⊥A1C,-------------------------------------------------2 分 又 AA1⊥BC,∴BC⊥平面 ACC1A1,-------------------4 分 ∵BC?平面 A1BC, ∴平面 A1BC⊥平面 ACC1A1-----------------------------6 分 (2)连接 AC1,交 A1C 于 O,连接 DO, ∵ACC1A1 是平行四边形,∴O 为 AC1 的中点,---------8 分 在△ABC1 中,∵D 为 AB 中点,∴OD 是中位线, ∴OD∥BC1,---------------------------------------------------10 分 OD?平面 A1DC,BC1?平面 A1DC,----------------------12 分 ∴BC1∥平面 A1DC---------------------------------------------14 分

17、解析:正三棱锥展开如图所示.当按照底边包装时体积最大. 设正三棱锥侧面的高为 h0,高为 h . 3 3 由题意得: 6 x+h0=10,解得 h0=10- 6 x.
8

????2 分

则 h=

x2 h02-12= =

3 x2 (10- 6 x)2-12 ?????5 分

10 3 100- 3 x ,x∈(0,10 3) . 10 3 100- 3 x

1 1 3 所以,正三棱锥体积 V=3Sh=3× 4 x2×

3x2 10 3 = 12 100- 3 x.?8 分 x4 10 3 100x4 10x5 设 y=V2=48(100- 3 x)= 48 - , 48 3 100x3 50x4 求导得 y′ = 12 - ,令 y′ =0,得 x=8 3, ??? 48 3 10 分

D'

D C

O A B

当 x∈(0,8 3)时,y′ >0,y 随着 x 的增加而增大, 当 x∈(8 3,10 3)时,y′ <0,y 随着 x 的增加而减小,
D''

所以,当 x=8 值.

3 cm 时 , y 取 得 极 大 值 也 是 最 大

???12 分 此时 y=15360,所以 Vmax=32 15 cm3. 答:当底面边长为 8 3cm 时,正三棱锥的最大体积为 32 15cm3. ???14 分

18、解 (1)由 2b=2,得 b=1. a2 又由点 M 在准线上,得 c =2. 1+c2 故 c =2.所以 c=1.从而 a= 2. x2 2 所以椭圆的方程为 2 +y =1. (2)以 OM 为直径的圆的方程为 x(x-2)+y(y-t)=0, t ? t2 ? 即(x-1)2+?y-2?2= 4 +1. ? ? t? ? 其圆心为?1,2?,半径 r= ? ? t2 4 +1.
9

???5 分 ???7 分

因为以 OM 为直径的圆被直线 3x-4y-5=0 截得的弦长为 2, t 所以圆心到直线 3x-4y-5=0 的距离 d= r2-1=2. 所以 |3-2t-5| t =2,解得 t=4. 5
???10 分

故所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5. (3)法一 由平面几何知 ON2=OH· OM. t 2 直线 OM:y=2x,直线 FN:y=- t (x-1). t ? ?y=2x, 由? 2 ? ?y=- t ?x-1?, 所以 ON2= 4 得 xH= 2 . t +4

???13 分

t2? 4 t2 t2 ? 1+ 4 · |xH|· 1+ 4 · |xM|=?1+ 4 ?· · 2=2. ? ? t2+4
???16 分

所以线段 ON 的长为定值 2.

法二

→ =(x -1,y ),OM → =(2,t), 设 N(x0,y0),则FN 0 0

→ =(x -2,y -t),ON → =(x ,y ). MN 0 0 0 0 → ⊥OM →, 因为FN 所以 2(x0-1)+ty0=0. 所以 2x0+ty0=2. → ⊥ON →, 又MN 所以 x0(x0-2)+y0(y0-t)=0.
2 所以 x0 +y2 0=2x0+ty0=2.

→ 2 2 所以|ON|= x0+y0= 2为定值.

???16 分

10

19、解: (1)若 λ = 1,则 (Sn?1 ? 1)an ? (Sn ? 1)an?1 , a1 ? S1 ? 1 .
又∵ an ? 0,Sn ? 0 , ∴ ∴
S 2 ? 1 S3 ? 1 ? ? S1 ? 1 S2 ? 1 ? Sn ?1 ? 1 an ?1 ? , Sn ? 1 an ? an ?1 , an

????? 2 分

Sn ?1 ? 1 a2 a3 ? ? ? Sn ? 1 a1 a2

化简,得 Sn?1 ? 1 ? 2an?1 .① ∴当 n ≥ 2 时, Sn ? 1 ? 2an .② ② ? ①,得 an ?1 ? 2an , ∴
an ?1 ? 2 ( n≥2 ) . an

??????? 4 分

????? 6 分

∵当 n = 1 时, a2 ? 2 ,∴n = 1 时上式也成立, ∴数列{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列, an = 2n?1( n ? N * ) . ????8 分 (2)令 n = 1,得 a2 ? ? ? 1 .令 n = 2,得 a3 ? (? ? 1) 2 . 要使数列 ?an ? 是等差数列,必须有 2a2 ? a1 ? a3 ,解得 λ = 0. 当 λ = 0 时, Sn?1an ? (Sn ? 1)an ?1 ,且 a2 ? a1 ? 1 . 当 n≥2 时, Sn?1 (Sn ? Sn ?1 ) ? (Sn ? 1)( Sn ?1 ? Sn ) , 整理,得 Sn 2 ? Sn ? Sn?1Sn?1 ? Sn?1 , 从而
S 2 ? 1 S3 ? 1 ? ? S1 ? 1 S2 ? 1 ? S n ? 1 S n ?1 ? , S n ?1 ? 1 S n ? Sn ?1 , Sn

??? 10 分 ???? 11 分

???? 13 分

S n ? 1 S3 S 4 ? ? ? Sn ?1 ? 1 S2 S3

化简,得 Sn ? 1 ? Sn ?1 ,所以 an ?1 ? 1 . 综上所述, an ? 1 ( n ? N * ) , 所以 λ = 0 时,数列 ?an ? 是等差数列. 20、(1)解

???? 15 分

???? 16 分 ???2 分

f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2(ln x+1).

1 令 f′(x)=0,得 x= e . 1? ? 当 x∈?0,e?时,f′(x)<0; ? ?
11

?1 ? 当 x∈?e,+∞?时,f′(x)>0. ? ? 1? ? ?1 ? 所以 f(x)在?0, e?上单调递减;在? e,+∞?上单调递增. ? ? ? ? 1 2 故当 x=e 时,f(x)取最小值为-e . (2)解
???5 分

存在 x∈(0,+∞),使 f(x)≤g(x)成立,即 2xln x≤-x2+ax-3 在 x∈(0,

3 +∞)能成立,等价于 a≥2ln x+x+ x在 x∈(0,+∞)能成立,等价于 a≥(2ln x 3 +x+x )min. 3 记 h(x)=2ln x+x+ x,x∈(0,+∞),
2 2 3 x +2x-3 ?x+3??x-1? 则 h′(x)= x+1-x2= = . x2 x2

???7 分

当 x∈(0,1)时,h′(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,h′(x)>0. 所以当 x=1 时,h(x)取最小值为 4,故 a≥4. ?1-x? ? x 2? (3)证明 记 j(x)=2?ex-e ?,x∈(0,+∞),则 j′(x)=2? x ?. ? ? ? e ? 当 x∈(0,1)时,j′(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,j′(x)<0. 2 所以当 x=1 时,j(x)取最大值为- . e 1 2 又由(1)知,当 x= e时,f(x)取最小值为- e, ? x 2? 故对一切 x∈(0,+∞),都有 f(x)>2 ex-e 成立.???16 分 ? ?
21、B.选修 4—2:矩阵与变换 解析:由特征值、特征向量定义可知,A ? 1 ? ?1 ? 1 ,
?a b ? ? 1? ? 1? ?a ? b ? ?1, ? ?1 ? ? ? ,得 ? 即? ? ? ? ?c d ? ? ?1? ? ?1? ?c ? d ? 1.

???10 分

???13 分

????5 分

12

?3a ? 2b ? 12, 同理可得 ? 解得 a ? 2,b ? 3,c ? 2,d ? 1 . ?3c ? 2d ? 8,

因此 ad-bc=2-6=-4.

????10 分

21C 解:由题意得,曲线 C 的直角坐标方程为

x2 y 2 ? ? 1, ( y ? 0) ,------------(2 分) 4 3

直线 OP 方程为 y ? 3x ,---------------(4 分)

? ? 2 5 2 5 , , ?x? ? x?? ? ? 5 5 方程联立得, ? (舍去) ,或 ? 2 15 ? y ? ? 2 15 , ?y ? , ? ? 5 5 ? ?
故点 P 的直角坐标为 (? 22. 解(1) :P ?( )

2 5 2 15 ,? ). ---------------(10 分) 5 5

4 3 2 42 11 4 5 1 2 ? C3 ( ?) ( ) ? ? ? ;………… ……………5 分 5 5 5 5 6 2 5 4 3 1 3 77 1 4 1 1 2 (2) P(? ? 375) ? ( ) ? C3 ( ) ( ) ? ( ) ? , 5 5 5 5 125
, P (? ? 500) ? C3 ( ) ( ) ?
2 2 1

4 5

1 5

48 125

∴.

E (? ) ? 375 ?

77 48 ? 500 ? ? 423 ………10 分 125 125

23.如图,以 CA, CB, CC1 为正交基底,建立空间直角坐标系 C ? xyz . 则 A(1,0,0) , B(0,1,0) , A1 (1,0, 2) , B1 (0,1, 2) , 所 以 uuu r uu u r CB1 ? (0,1,2) , AB ? (?1,1,0) , uuu r uuu r AB1 ? (?1,1,2) , BA1 ? (1, ?1,2) . uuu r uuu r uuu r uuu r CB1 ? BA1 3 30 ? (1)因为 cos CB1 , BA1 ? uuu , r uuu r ? 10 6? 5 CB1 BA1

?

uur uur uuu r

?

z
C1 A1 B1

30 . 10 ??????????4 分 (2)设平面 CAB1 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,
所以异面直线 BA1 与 CB1 夹角的余弦值为
13

C

B

y

x

A

(第 23 题图)

uuu r ? ?? x ? y ? 2 z ? 0, ?m ? AB1 ? 0, 则 ? uuu 即? r ? y ? 2 z ? 0, ? ?m ? CB1 ? 0, 取平面 CAB1 的一个法向量为 m ? (0, 2, ?1) ;

所以二面角 B ? AB1 ? C 平面角的余弦值为

10 . 5

???10 分

14


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