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2013届高考数学(理)一轮复习教案第三篇 导数及其应用第1讲 导数的概念及其运算

第1讲
【2013 高考会这样考】

变化率与导数、导数的运算

1、利用导数的几何意义求曲线在某点处切线的方程。 2、考查导数的有关计算,尤其是简单的函数的求导。 【复习指导】 本讲复习时,应充分利用具体实际情景,理解导数的意义及几何意义,应能灵活运用导数公 式及导数运算法则进行某些函数的求导

基础梳理
1、导数的概念 (1)函数 y ? f ? x ? 在x ? x0 的导数 一般地,函数 y ? f ? x ? 在x ? x0 处的瞬时变化率是 lim

f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?y ? lim , ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
x ? x0

称其为函数 y ? f ? x ? 在x ? x0处的导数,记作f ' ? x0 ? 或y ' (2)导函数

当 x变化时,f ' ? x ? 称为 f ? x ?的导函数,则f ' ? x ? ? y ' ? lim 2、导数的几何意义

?x ?0

f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ?x

函数 y ? f ? x ? 在x ? x0 处的导数的几何意义, 就是曲线 y ? f ? x ? 在点P ? x0 , y0 ? 处的切线 的斜率,过点 P 的切线方程为: y ? y0 ? f ' ? x0 ?? x ? x0 ? 3、基本初等函数的导数公式 4、导数运算法则 5、复合函数的导数 一个区别 曲线 y ? f ? x ? “在”点P ? x0 , y0 ? 处的切线与“过”点 p ? x0 , y0 ?的切线的区别: 曲线 y ? f ? x ? 在点 P ? x0 , y0 ? 处的切线是指 P 为切点,若切线斜率存在时,切线的斜率为 是指切线过点 P, k ? f ' ? x0 ? ,是唯一的一条切线;曲线 y ? f ? x ? 过点P ? x0 , y0 ?的切线, 点 P 可以是切点,也可以不是切点,而且这一点直线可能有多条。 两个法则 (1)导数的四则运算法则; (2)复合函数的求导法则 三个防范 1、 利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆

2、 要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别 3、 正确分解复合函数的结构,由外向内逐层求导,做到不重不漏 双基自测 1、 下列求导过程中: ? ? ' ? ? (1) (4) a A.1

?1? ? x?
x ln a

1 ;(2) x2
x ln a

? x ? ' ? 2 1 x ;(3) ?log

a

1 ? ln x ? ; x? ' ? ? ?' ? ? ln a ? x ln a

? ? ' ? ?e ? ' ? ?e ? ' ? e
x ln a x

ln a ? a x ln a ;其中正确的个数是
C.3 D.4 )

B.2
2

2、函数 f ? x ? ? ? x ? 2a ?? x ? a ? 的导数为(
2 2 A. 2 x ? a

?

?

2 2 B. 2 x ? a

?

?

2 2 C. 3 x ? a

?

?

2 2 D. 3 x ? a

?

?


3、 (2011 湖南)曲线 y ?

sin x 1 ?? ? ? 在点M ? ,? 处的切线的斜率是( 0 sin x ? cos x 2 ?4 ?
C. ?
2

A. ?

1 2

B.

1 2

2 2

D.

2 2


4、 (2011 江西)若 f ? x ? ? x ? 2 x ? 4ln x, 则f ' ? x ? ? 0 的解集为( A. ? 0, ??? B. ? ?1,0? ? ? 2, ??? C. ? 2,???

D. ? ?1,0?

5、如图,函数 f ? x ? 的图象是折线段 ABC,其中 ABC 的坐标分别是(0,4)(2,0)(6、4) 、 、 ,

则f

? f ? 0? ? ?

, lim

?x ?0

f ?1 ? ?x ? ? f ?1? = ?x

(用数字作答)

考向一 导数的定义 例 1、 利用导数的定义求函数 f ? x ? ? x 在x ? x0 处的导数, 并求曲线 f ? x ? ? x 在x ? x0 处
3 3

的切线与曲线 f ? x ? ? x 的交点
3

变式、利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数 考向二 导数的运算 例 2、求下列函数的导数 (1) y ?

x ? x 5 ? sin x ; x2 x? 2 x? ? 1 ? 2 cos ? ; 2? 4?

(2) y ? ? x ? 1?? x ? 2?? x ? 3? (4) y ?

(3) y ? sin

1 1 ? 1? x 1? x

训练、求下列函数的导数 (1) y ? x n e x ; (2) y ?

cos x ; sin x

(3) y ? e x ln x ;

(4) y ? ? x ? 1?

2

? x ? 1?

考向三 求复合函数的导数 例 3、求下列复合函数的导数 (1) y ? ? 2 x ? 3? ; (2) y ?
2

?? ? 3 ? x ; (3) y ? sin 2 ? 2 x ? ? ; (4) y ? ln ? 2x ? 5? 3? ?

训练、求下列函数的导数 (1) y ?

x2 ? 1 ;

(2) y ? sin2 2 x ;

(3) y ? e? x sin 2 x ;

(4) ln 1 ? x2

专题专项突破———如何求曲线上某一点的切线方程 【问题研究】 利用导数的几何意义求函数在某一点的坐标或某一点处的切线方程是高考常常涉及的问 题,这类问题最容易出现的错误是分不清所求切线所过的点是不是切点而导致错误 【解决方案】 解这类问题的关键是抓住切点,看准题目所求的是“在曲线上某点的切线方程”还是“过 某点的切线方程” ,然后求某点处的斜率,用点斜式写切线方程。 例、 (2010 山东)已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax ?

1? a ? 1? a ? R ? x

(1)当 a ? ?1时,求曲线y ? f ? x ? 在点 2,f ? 2 ? 处的切线方程 (2)当 a ?

?

?

1 时,讨论f ? x ?的 单调性 2

题后反思:求解切线问题的关键是切点坐标,无论是已知切线斜率还是切线经过某一点,切 点坐标都是化解难点的关键所在


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