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2013届高三数学二轮复习(10)创新型题目解题策略精品教学案


【专题十】创新型题目解题策略
【考情分析】 新课程标准要求学生对“新颖的信息、情景和设问选择有效的方法和手段收集信息,综 合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法,进行独立思考、探索和探究,提出解决问题 的思路,创造性地解决问题.”着新一轮课程改革的深入和推进,高考的改革使知识立意转 向能力立意,推出了一批新颖而又别致,具有创新意识和创新思维的新题。从最近几年来高 考中探索性问题和创新题型比重逐年攀升,对探索性问题和创新型问题的预测研究应该是我 们备考的重点。 预测 13 年高考探索性问题重点出在函数、数列、不等式、立体几何和解析几何等方面, 估计新课标省市试题中此类题目分值 10 分左右(上海、广东、江苏较为典型),并且主观题、 客观题设置较为灵活。今年高考多会结合合情推理知识点出探索性问题(特别是解答题), 应加强对这些内容的研究;创新题型多出现与经济、生活密切相关(像概率、线性规划等) 的数学问题相关的问题有关,题目新颖,数学知识并不复杂。关注以下两种类型: 1、类比归纳型 类比归纳型创新题给出了一个数学情景或一个数学命题,要求用发散思维去联想、类比、 推广、 转化, 找出类似的命题, 或者根据一些特殊的数据、 特殊的情况去归纳出一般的规律. 这 是新课程较为重视的类比推理、归纳推理.主要考查学生的观察、分析、类比、归纳的能力, 从不变中找规律,从不变中找变化。 2、信息迁移型 创新题是指以学生已有的知识为基础,并给出一定容量的新信息,通过阅读,从中获取 有关信息, 捕捉解题资料, 发现问题的规律, 找出解决问题的方法, 并应用于新问题的解答. 它 既能有效地考查学生的思维品质和学习潜力,又能考查学生的综合能力和创新能力。 【知识归纳】 1.探索型问题 常见的探索性问题,就其命题特点考虑,可分为归纳型、题设开放型、结论开放型、题 设和结论均开放型以及解题方法的开放型几类问题; (1)结论开放型探索性问题的特点是给出一定的条件而未给出结论,要求在给定的前提 条件下,探索结论的多样性,然后通过推理证明确定结论; (2)题设开放型探索性问题的特点是给出结论,不给出条件或条件残缺,需在给定结论 的前提下,探索结论成立的条件,但满足结论成立的条件往往不唯一,答案与已知条件对整 个问题而言只要是充分的、相容的、独立的,就视为正确的; (3)全开放型,题设、结论都不确定或不太明确的开放型探索性问题,与此同时解决问 题的方法也具有开放型的探索性问题,需要我们进行比较全面深入的探索,才能研究出解决 问题的办法来。 解探索性问题应注意三个基本问题:认真审题,确定目标;深刻理解题意;开阔思路,发散 思维,运用观察、比较、类比、联想、猜想等带有非逻辑思维成分的合理推理,以便为逻辑思 维定向。方向确定后,又需借助逻辑思维,进行严格推理论证,这两种推理的灵活运用,两种思 维成分的交织融合,便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略。 解决探索性问题,对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求,高考题 中一般解这类问题有如下方法: (1)直接法:直接从给出的结论入手,寻求成立的充分条件;直接从给出的条件入手, 寻求结论;假设结论存在(或不存在) ,然后经过推理求得符合条件的结果(或导出矛盾)等; (2)观察——猜测——证明
-1-

(3)特殊—一般—特殊 其解法是先根据若干个特殊值,得到一般的结论,然后再用特殊值解决问题; (4)联想类比 (5)赋值推断 (6)几何意义法 几何意义法就是利用探索性问题的题设所给的数或式的几何意义去探索结论,由于数学 语言的抽象性,有些探索性问题的题设表述不易理解,在解题时若能积极地考虑题设中数或 式的几何意义所体现的内在联系,巧妙地转换思维角度,将有利于问题的解决; 2.创新题型 根据现行的教学大纲和国家数学课程标准的要求,结合中学数学教材的内容及我国的经 济发展的要求,在实际问题中侧重如下几种模型: (1)社会经济模型 现值、终值的计算及应用(计息、分期付款、贴现等) ,投资收益,折旧,库存,经济图 表的运用; (2)拟合模型 数据的利用、分析与预测(线形回归、曲线拟合)等问题; (3)优化模型科学规划,劳动力利用,工期效益,合理施肥,最值问题,工程网络,物 资调用等问题; (4)概率统计模型彩票与模型,市场统计,评估预测,风险决策,抽样估计等问题; (5)几何应用模型工厂选址,展开、折叠,视图,容器设计,空间量的计算,轨迹的应 用等; (6)边缘学科模型与理、化、生、地、医等相关方面的问题。 【考点例析】 题型 1:探索问题之直接法 例 1. (2012.浙江理 10)已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2 。将△沿矩形的对角线 BD 所在 的直线进行翻折,在翻折过程中。 A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直. B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直. C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直. D.对任意位置,三对直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直 【答案】C 【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着,观察在翻着过程,即可 知选项 C 是正确的. 例 2. (2010 辽宁理,12)有四根长都为 2 的直铁条,若再选两根长都为 a 的直铁条,使 这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则 a 的取值范围是 (A)(0, 6 ? 2 ) (C) ( 6 ? 2 , 6 ? 2 ) (B)(1, 2 2 ) (D) (0, 2 2 )

-2-

【答案】A 【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。 【解析】根据条件,四根长为 2 的直铁条与两根长为 a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架, 有以下两种情况: (1)地面是边长为 2 的正三角形,三条侧棱长为 2,a,a,如图,此时 a 可
2 2 以取最大值, 可知 AD= 3 , SD= a ? 1 , 则有 a ? 1 <2+ 3 , a ? 8 ? 4 3 ? ( 6 ? 2) , 即

2

2

即有 a< 6 ? 2

(2)构成三棱锥的两条对角线长为 a,其他各边长为 2,如图所示,此时 a>0; 综上分析可知 a∈(0, 6 ? 2 ) 。 点评:这也是一道结论探索型问题,结论不唯一,应从题设出发,通过分类以简化思维, 再利用射影的概念,得到正确的结论。 例 3.已知函数 f ( x) ?

bx ? c 1 (a,c∈R,a>0,b 是自然数)是奇函数,f(x)有最大值 ,且 2 ax ? 1 2

f(1)>

2 .(1)求函数 f(x)的解析式; (2)是否存在直线 l 与 y=f(x)的图象交于 P、Q 两点, 5

并且使得 P、Q 两点关于点(1,0)对称,若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,说明理由. 分析:本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力. 解析: (1)∵f(x)是奇函数, ∴f(–x)=-f(x),即 ∴f(x)=

? bx ? c bx ? c ,∴-bx+c=-bx–c,∴c=0, ?? 2 2 ax ? 1 ax ? 1

bx .由 a>0,b 是自然数得当 x≤0 时,f(x)≤0, ax2 ? 1
1 a 1 x? b bx ? 2 1 a 2 2 b 1 a b2 ?

当 x>0 时,f(x)>0,∴f(x)的最大值在 x>0 时取得. ∴x>0 时, f ( x) ? 当且仅当

a 1 x? b bx

即x?

1 时,f(x)有最大值 a

a 1 2 ∴ =1,∴a=b 2 b 2



2 b 2 ,∴ > ,∴5b>2a+2 ② 5 a ?1 5 1 x 2 把①代入②得 2b –5b+2<0 解得 <b<2,又 b∈N,∴b=1,a=1,∴f(x)= 2 2 x ?1
又 f(1)>
-3-

(2)设存在直线 l 与 y=f(x)的图象交于 P、Q 两点,且 P、Q 关于点(1,0)对称,

? x0 ? x 2 ? 1 ? y0 ? 0 2 P(x0,y0)则 Q(2–x0,–y0),∴ ? ,消去 y0,得 x0 –2x0–1=0 2 ? x0 ? ? ? y0 ? ( 2 ? x0 ) 2 ? 1 ?
解之,得 x0=1± 2 ,∴P 点坐标为( 1? 2 ,

2 2 )或( 1 ? 2 ,? ), 4 4

进而相应 Q 点坐标为 Q( 1 ? 2 ,?

2 2 )或 Q( 1? 2 , ), 4 4

过 P、Q 的直线 l 的方程:x-4y-1=0 即为所求。 点评:充分利用题设条件是解题关键.本题是存在型探索题目,注意在假设存在的条件下 推理创新,若由此导出矛盾,则否定假设,否则,给出肯定的结论,并加以论证。 题型 2:探索问题“观察——猜测——证明” 例 4. (2012 上海.23)对于数集 X ? {?1, x1 , x2 , ?, xn } ,其中 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn ,

n ? 2 ,定义向量集 Y ? {a | a ? ( s, t ), s ? X , t ? X } . 若对于任意 a1 ? Y ,存在 a2 ? Y ,使得 a1 ? a2 ? 0 ,则称 X 具有性质 P. 例如 X ? {?1, 1, 2} 具有性质 P. (1)若 x>2,且 {?1, 1, 2, x} ,求 x 的值; 分) (4
(2)若 X 具有性质 P,求证:1?X,且当 xn>1 时,x1=1; 分) (6 (3)若 X 具有性质 P,且 x1=1,x2=q(q 为常数) ,求有穷数列 x1 , x2 , ?, xn 的通项公式. (8 分) [解](1)选取 a1 ? ( x, 2) ,Y 中与 a1 垂直的元素必有形式 (?1, b) . ??2 分 所以 x=2b,从而 x=4. ??4 分 (2)证明:取 a1 ? ( x1 , x1 ) ? Y .设 a2 ? ( s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 . 由 ( s ? t ) x1 ? 0 得 s ? t ? 0 ,所以 s 、 t 异号. 因为-1 是 X 中唯一的负数,所以 s 、 t 中之一为-1,另一为 1, 故 1?X. ??7 分 假设 xk ? 1 ,其中 1 ? k ? n ,则 0 ? x1 ? 1 ? xn . 选取 a1 ? ( x1 , xn ) ? Y ,并设 a2 ? ( s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 sx1 ? txn ? 0 , 则 s 、 t 异号,从而 s 、 t 之中恰有一个为-1. 若 s =-1,则 2,矛盾; 若 t =-1,则 xn ? sx1 ? s ? xn ,矛盾. 所以 x1=1. (3)[解法一]猜测 xi ? q
i ?1

??10 分 ,i=1, 2, ?, n. ??12 分

记 Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } ,k=2, 3, ?, n. 先证明:若 Ak ?1 具有性质 P,则 Ak 也具有性质 P. 任取 a1 ? ( s, t ) , s 、 t ? Ak .当 s 、 t 中出现-1 时,显然有 a 2 满足 a1 ? a2 ? 0 ; 当 s ? ?1 且 t ? ?1 时, s 、 t ≥1. 因为 Ak ?1 具有性质 P,所以有 a2 ? ( s1 , t1 ) , s1 、 t1 ? Ak ?1 ,使得 a1 ? a2 ? 0 , 从而 s1 和 t1 中有一个是-1,不妨设 s1 =-1.

-4-

假设 t1 ? Ak ?1 且 t1 ? Ak ,则 t1 ? xk ?1 .由 ( s, t ) ? (?1, xk ?1 ) ? 0 ,得 s ? txk ?1 ? xk ?1 ,与

s ? Ak 矛盾.所以 t1 ? Ak .从而 Ak 也具有性质 P.
现用数学归纳法证明: xi ? q 当 n=2 时,结论显然成立; 假设 n=k 时, Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } 有性质 P,则 xi ? q 性质 P,所以 Ak ?1 ? {?1, 1, q, ?, q 只有一个为-1. 若 t ? ?1,则 1,不可能; 所以 s ? ?1 , xk ?1 ? qt ? q ? q 综上所述, xi ? q
i ?1 k ?1 k ?1 i ?1 i ?1

??15 分

,i=1, 2, ?, n. ,i=1, 2, ?, k;

当 n=k+1 时,若 Ak ?1 ? {?1, 1, x2 , ?, xk , xk ?1} 有性质 P,则 Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } ,也有

, xk ?1} .

取 a1 ? ( xk ?1 , q) ,并设 a2 ? ( s, t ) 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 xk ?1s ? qt ? 0 .由此可得 s 与 t 中有且

? q k ,又 xk ?1 ? q k ?1 ,所以 xk ?1 ? q k .
??18 分
s1 t1

xi ? q i ?1 ,i=1, 2, ?, n.

[解法二]设 a1 ? ( s1 , t1 ) , a2 ? ( s2 , t2 ) ,则 a1 ? a2 ? 0 等价于

??

t2 s2

.

记 B ? { s | s ? X , t ? X , | s |?| t |} ,则数集 X 具有性质 P 当且仅当数集 B 关于原点对 t 称. ??14 分 注意到-1 是 X 中的唯一负数, B ? (??, 0) ? {? x2 , ? x3 , ?, ? xn } 共有 n-1 个数, 所以 B ? (0, ? ?) 也只有 n-1 个数. 由于
xn x n ?1
x n ?1 x n?2
xn xn?1

?

xn xn?2

???
xn x2

xn x2

?
xn x1

xn x1

,已有 n-1 个数,对以下三角数阵

?
?
x2 x1

xn x n?2
x n ?1 x n ?3

???
???

?

x n ?1 x1

??

注意到

xn x1

?
x

x n ?1 x1

???

x2 x1

,所以

xn x n ?1

?

x n ?1 x n?2

???

x2 x1

,从而数列的通项公式为 ??18 分

2 xk ? x1 ( x1 ) k ?1 ? q k ?1 ,k=1,

2, ?, n.

【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识,本题属于信 息给予题,通过定义“ X 具有性质 P ”这一概念,考查考生分析探究及推理论证的能力.综 合考查集合的基本运算,集合问题一直是近几年的命题重点内容,应引起足够的重视. 例 5.(2003 高考上海卷)已知数列 {a n } (n 为正整数)是首项是 a1,公比为 q 的等比数 列。 (1)求和: a1C 2 ? a 2 C 2 ? a3C 2 , a1C3 ? a 2 C3 ? a3C3 ? a 4 C3 ;
0 1 2 0 1 2 3

(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数 n 的一个结论,并加以证明. ( 3 ) 设 q≠1 , Sn 是 等 比 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 , 求 :

0 1 3 S1C n ? S 2 C n ? S 3C n2 ? S 4 C n ? ? ? (?1) n S n?1C nn ,

解析: (1)

-5-

0 1 2 a1C 2 ? a 2 C 2 ? a3 C 2 ? a1 ? 2a1 q ? a1 q 2 ? a1 (1 ? q ) 2 , 0 1 3 a1C 3 ? a 2 C 3 ? a3 C 32 ? a 4 C 3 ? a1 ? 3a1 q ? 3a1 q 2 ? a1 q 3 ? a1 (1 ? q ) 3 .

(2)归纳概括的结论为: 若数列 {a n } 是首项为 a1,公比为 q 的等比数列, 则:
0 1 2 3 n a1C n ? a 2 C n ? a3C n ? a 4 C n ? ? ? (?1) n a n ?1C n ? a1 (1 ? q) n , n为正整数. 0 1 2 3 n 证明 : a1C n ? a 2 C n ? a3C n ? a 4 C n ? ? ? (?1) n a n ?1C n 0 1 2 3 n ? a1C n ? a1 qCn ? a1 q 2 C n ? a1 q 3C n ? ? ? (?1) n a1 q n C n 0 1 2 3 n ? a1 [C n ? qCn ? q 2 C n ? q 3C n ? ? ? (?1) n q n C n ] ? a1 (1 ? q) n

(3)因为 S n ?

a1 ? a1 q n , 1? q

0 1 2 3 n 所以S1C n ? S 2 C n ? S 3 C n ? S 4 C n ? ? ? (?1) n S n ?1C n

a1 ? a1 q 0 a1 ? a1 q 2 1 a1 ? a1 q 3 2 a ? a1 q n ?1 n Cn ? Cn ? C n ? ? ? (?1) n 1 Cn 1? q 1? q 1? q 1? q a 0 1 2 3 n ? 1 [C n ? C n ? C n ? C n ? ? ? (?1) n C n ] ? 1? q a1 q aq 0 1 2 3 n [C n ? qCn ? q 2 C n ? q 3C n ? ? ? (?1) n q n C n ] ? 1 (1 ? q) n . 1? q q ?1 ?
例 6、(2012 江苏.26)设集合 Pn ? {1, , , }, n ? N * .记 f (n) 为同时满足下列条 2 … n 件的集合 A 的个数: ① A ? Pn ;②若 x ? A ,则 2x ? A ;③若 x ? C pn A ,则 2 x ? C p A ;
n

(1)求 f (4) ; (2)求 f (n) 的解析式(用 n 表示) 。 解: (1)当 n=4 时,符合条件的集合 A 为: ?2?, 4 , 2, ?, 1, 3, 4 ?1, ? ? 3 ? ? ,∴

f (4) =4。
( 2 )任取偶数 x ? Pn ,将 x 除以 2 ,若商仍为偶数.再除以 2 ,··· 经过 k 次以 后.商必为奇数.此时记商为 m 。于是 x=m? k ,其中 m 为奇数 k ? N * 。 2 由条件知.若 m ? A 则 x ? A ? k 为偶数;若 m ? A ,则 x ? A ? k 为奇数。 于是 x 是否属于 A ,由 m 是否属于 A 确定。 设 Qn 是 Pn 中所有奇数的集合.因此 f (n) 等于 Qn 的子集个数。 当 n 为偶数〔 或奇数)时, Pn 中奇数的个数是

n n ?1 ( ) 。 2 2
-6-

? n 2 ? 2 ? n为偶数 ? ∴ f ( n)= ? n ?1 。 ? 2 2 n为奇数 ? ? ?
【点评】 (1)找出 n=4 时,符合条件的集合个数即可。 (2)由题设,根据计数原理进行 求解。 题型 3:探究问题之“特殊—一般—特殊” 2 例 7.设二次函数 f(x)=ax +bx+c (a,b,c∈R,a≠0)满足条件: ①当 x∈R 时,f(x-4)=f(2-x),且 f(x)≥x; ②当 x∈(0,2)时,f(x)≤ (

x ?1 2 ) ; 2

③f(x)在 R 上的最小值为 0。 求最大值 m(m>1),使得存在 t∈R,只要 x∈[1,m],就有 f(x+t)≤x 分析:本题先根据题设求出函数 f(x)解析式,然后假设 t 存在,取 x=1 得 t 的范围, 再令 x=m 求出 m 的取值范围,进而根据 t 的范围求出 m 的最大值。 解法一:∵f(x-4)=f(2-x),∴函数的图象关于 x= -1 对称 ∴?

b ? ?1 即 b=2a 2a

由③知当 x= ? 1 时,y=0,即 a? b+c=0; 由①得 f(1)≥1,由②得 f(1)≤1。 ∴f(1)=1,即 a+b+c=1,

1 1 1 、b= 、c= , 4 2 4 1 2 1 1 ∴f(x)= x ? x ? , 4 2 4
又 a? b+c=0,∴a= 假设存在 t∈R,只要 x∈[1,m],就有 f(x+t)≤x, 取 x=1 时,有 f(t+1)≤1 ?

1 1 2 1 (t+1) + (t+1)+ ≤1 ? ? 4≤t≤0, 4 2 4

对固定的 t∈[-4,0],取 x=m,有: f(t? m)≤m ?

1 1 2 1 2 2 (t+m) + (t+m)+ ≤m ? m ? ?(1? t)m+(t +2t+1)≤0, 4 2 4

? 1 ? t ? ? 4t ≤m≤1 ? t ? ? 4t ∴m≤ 1 ? t
当 t= -4 时,对任意的 x∈[1,9],恒有 f(x? ∴m 的最大值为 9。 解法二:∵f(x-4)=f(2-x), ∴函数的图象关于 x=-1 对称,∴ ? 4)?

? 4t ≤1 ? (?4) ? ? 4 ? (?4) =9,
x=

1 2 1 (x ? 10x+9)= (x? 1)(x? 9)≤0, 4 4

b ? ?1 ,b=2a。 2a

由③知当 x= ? 1 时,y=0,即 a? b+c=0; 由①得 f(1)≥1,由②得 f(1)≤1。 ∴f(1)=1,即 a+b+c=1,又 a? b+c=0 ∴a=

1 4

b=

1 2

c=

1 1 2 1 1 1 2 ∴f(x)= x ? x ? = (x+1) , 4 4 2 4 4
-7-

由 f(x+t)=

1 2 (x+t+1) ≤x 在 x∈[1,m]上恒成立 4
2 2

∴4[f(x+t)-x]=x +2(t-1)x+(t+1) ≤0 当 x∈[1,m]时,恒成立; 2 令 x=1 有 t +4t≤0 ? ? 4≤t≤0 2 2 令 x=m 有 t +2(m+1)t+(m-1) ≤0 当 t∈[-4,0]时,恒有解; 2 令 t= ? 4 得,m ? 10m+9≤0 ? 1≤m≤9, 即当 t= ? 4 时,任取 x∈[1,9]恒有 f(x-4)-x=

1 2 1 (x ? 10x+9)= (x? 1)(x? 9)≤0, 4 4

∴ mmin=9。 点评:本题属于存在性探索问题,处理这道题的方法就是通过 x 的特殊值得出 t 的大致 范围,然后根据 t 的范围,再对 x 取特殊值,从而解决问题。 题型 4:探究性问题之“联想类比” 例 8.(2012 湖北.22) (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? rx ? xr ? (1 ? r ) ( x ? 0) ,其中 r 为有理数,且 0 ? r ? 1 . 求 f ( x) 的最小值; (Ⅱ) 试用 (Ⅰ) 的结果证明如下命题: a1 ? 0, a2 ? 0 ,b1 , b2 为正有理数. 若 b1 ? b2 ? 1 , 设 则 a a2b2 ? a1b1 ? a2b2 ; (Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题. .....
b1 1

注:当 ? 为正有理数时,有求导公式 ( x? )? ? ? x? ?1 . 【答案】 (Ⅰ) f ?( x) ? r ? rxr ?1 ? r (1 ? x r ?1 ) ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . 当 0 ? x ? 1时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0, 1) 内是减函数; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (1, ? ?) 内是增函数. 故函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得最小值 f (1) ? 0 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x ? (0, ??) 时,有 f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 x r ? rx ? (1 ? r ) 若 a1 , a2 中有一个为 0,则 a a2 ? a1b1 ? a2b2 成立;
b1 1 b2



若 a1 , a2 均不为 0,又 b1 ? b2 ? 1 ,可得 b2 ? 1 ? b1 ,于是 a a a 在①中令 x ? 1 , r ? b1 ,可得 ( 1 )b1 ? b1 ? 1 ? (1 ? b1 ) , a2 a2 a2 即 a1b1 a21?b1 ? a1b1 ? a2 (1 ? b1 ) ,亦即 a1b1 a2b2 ? a1b1 ? a2b2 . 综上,对 a1 ? 0, a2 ? 0 , b1 , b2 为正有理数且 b1 ? b2 ? 1 ,总有 a1b1 a2b2 ? a1b1 ? a2b2 . (Ⅲ) (Ⅱ)中命题的推广形式为: 设 a1 , a2 , ?, an 为非负实数, b1 , b2 , ?, bn 为正有理数.
b b 若 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ,则 a1b1 a22 ?ann ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn . 用数学归纳法证明如下: (1)当 n ? 1 时, b1 ? 1 ,有 a1 ? a1 ,③成立.





(2)假设当 n ? k 时,③成立,即若 a1 , a2 ,?, ak 为非负实数, b1 , b2 ,?, bk 为正有理数,
b b 且 b1 ? b2 ? ? ? bk ? 1 ,则 a1b1 a22 ?akk ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak bk .

当 n ? k ? 1 时,已知 a1 , a2 ,?, ak , ak ?1 为非负实数, b1 , b2 ,?, bk , bk ?1 为正有理数, 且 b1 ? b2 ? ? ? bk ? bk ?1 ? 1 ,此时 0 ? bk ?1 ? 1 ,即 1 ? bk ?1 ? 0 ,于是
b1 b2 bk
b b 1 b b 1 b b 1 1 1 b 1 a1b1 a22 ?ak k ak k??1 ? (a1b1 a22 ?ak k )ak k??1 = (a1 ?bk ?1 a2?bk ?1 ?ak ?bk ?1 )1?bk ?1 akk??1 . bk b1 b2 因 ? ??? ? 1 ,由归纳假设可得 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1

a

b1 1?bk ?1 1

a

b2 1?bk ?1 2

?a

bk 1?bk ?1 k

? a1 ?

a b ? a2b2 ? ? ? ak bk bk b1 b2 , ? 11 ? a2 ? ? ? ? ak ? 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1
-8-

? a b ? a2b2 ? ? ? ak bk ? 从而 a a ?a a ? ? 1 1 ? 1 ? bk ?1 ? ? 又因 (1 ? bk ?1 ) ? bk ?1 ? 1 ,由②得
b1 1 b2 2 bk k bk ?1 k ?1
1? bk ?1

1? bk ?1 b 1 ak k??1 .

? a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak bk ? a b ? a2b2 ? ? ? ak bk b 1 ak k??1 ? 1 1 ? (1 ? bk ?1 ) ? ak ?1bk ?1 ? ? 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1 ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak bk ? ak ?1bk ?1 ,
b b 1 b 从而 a1b1 a22 ? ak k ak k??1 ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak bk ? ak ?1bk ?1 . 故当 n ? k ? 1 时,③成立. 由(1) (2)可知,对一切正整数 n ,所推广的命题成立. 说明: (Ⅲ)中如果推广形式中指出③式对 n ? 2 成立,则后续证明中不需讨论 n ? 1 的情

况. 例 9. (2012 福建.18)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同 一个常数。 (1) sin 13 ? cos 17 ? sin13 cos17 ;
2 0 2 0 0 0

(2) sin 15 ? cos 15 ? sin15 cos15 ;
2 0 2 0 0 0

(3) sin 18 ? cos 12 ? sin18 cos12 ;
2 0 2 0 0 0

(4) sin ( ?13 ) ? cos 48 ? sin(?18) cos 48 ;
2 0 2 0 0 0

(5) sin ( ?25 ) ? cos 55 ? sin(?25) cos 55 。
2 0 2 0 0 0

(I)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (II)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论。

10 3 sin 30 ? 2 4 3 2 2 0 0 (II)三角恒等式为: sin ? ? cos (30 ? ? ) ? sin ? cos(30 ? ? ) ? 4
解析: (I)选择(2) sin 15 ? cos 15 ? sin15 cos15 ? 1 ? :
2 0 2 0 0 0

sin 2 ? ? cos 2 (300 ? ? ) ? sin ? cos(300 ? ? ) 3 1 3 1 cos ? ? sin ? ) 2 ? sin ? ( cos ? ? sin ? ) 2 2 2 2 3 3 3 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 4 4 4 ? sin 2 ? ? (
。 题型 5:探究性问题之“赋值推断” 例 11. (2012 湖北理.10)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数, 以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体 积 V ,求其直径 d 的一个近似公式 d ?
16 V . 人们还用过一些类似的近似公式 . 根据 9 ) π =3.14159 判断,下列近似公式中最精确的一个是( ?
3

A. d ?

3

16 V 9

B. d ? 3 2V

C. d ?

3

300 V 157

D. d ?

3

21 V 11
-9-

【答案】D 【解析】
3 4 d 6V a 6b 6?9 由V ? ? ( )3,得d ? , 设选项中常数为 , 则? = ;A中代入得? = =3.375, 3 2 ? b a 16 6 ?1 6 ?157 6 ?11 B中代入得? = =3,C中代入得? = =3.14, D中代入得? = =3.142857, 2 300 21 由于D中值最接近?的真实值,故选择D。

例 12.(2004 年高考江苏卷)二次函数 y=ax +bx+c(x∈R)的部分对应值如下表: x y -3 6 -2 0
2

2

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

3 0

4 6

则不等式 ax +bx+c>0 的解集是 (??,?2) ? (3,??) 。 题型 6:探究性问题之“几何意义法” 2 2 例 13.设 x、y 为实数,集合 A={(x,y)|y ―x―1=0},B={{(x,y)|16x +8x―2y+5=0}, C={(x,y)|y=kx+b},问是否存在自然数 k,b 使(A∪B)∩C=φ ? 2 分析:此题等价于是否存在自然数 k,b,使得直线 y=kx+b 与抛物线 y ―x―1=0 和 2 16x +8x―2y+5=0 都没有交点。 解析:因为抛物线 y ―x―1=0 和 16x +8x―2y+5=0 在 y 轴上的截距分别为 1、 ,所以取
2 2

5 2

b=2,由 ?

? y ? kx ? 2 ?y ? x ? 1
2

无实数解,得 1 ?

3 3 ? k ? 1? ,从而 k=1, 2 2

? y ? kx ? 2 ? 此时方程组 ? 5 无实数解.故存在 k=1,b=2 满足(A∪B)∩C=φ . 2 ? y ? 8x ? 4 x ? 2 ?
点评:与集合运算有关的一类探索性问题,它的题设往往都具有鲜明的几何意义。 题型 7:开放型题目 例 14. (社会经济问题) (2012 年高考(福建文) )某工厂为了对新研发的一种产品进行合理 定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据: 单阶 8

8.2

8.4

8.6

8.8

9

x (元)
销量 90 84 83 80 75 68

y (件)
? ? (I)求回归直线方程 y ? bx ? a ,其中 b ? ?20, a ? y ? bx ;
- 10 -

(II)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I)中的关系,且该产品的成本是 4 元/件, 为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本) 【考点定点】本题主要考查回归分析,一元一次函数等基础知识,考查运算能力、应用意 识、转化与化归思想、特殊与一般思想. 解:(1)? x ?

1 ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? x6 ) ? 8.5 6

1 y ? ( y1 ? y2 ? y3 ? y4 ? y5 ? y6 ) ? 80 ? a ? y ? bx ? 80 ? 20 ? 8.5 ? 250 , 6
? 回归直线方程为: y ? ?20 x ? 250
(2)设工厂获利润为 L 元,依题意:

L ? x(?20 x ? 250) ? ?4(?20 x ? 250) ? ?20 x 2 ? 330 x ? 1000 ? ?20( x ? 33 2 ) ? 361.25 4

当单价定为 x ? 8.25 时,工厂获利最大. 例 15.(拟合问题)“人口问题”是我国最大社会问题之一,估计人口数量'和发展趋势 是我们制定一系列相关政策的基础.由人口统计年鉴,可查得我国从 1949 年至 1994 年人口数 据资料如下: 年 人口数(百万) 年 人口数(百万) 1949 541.67 1974 908.59 1954 602.66 1979 975.42 1959 672.09 1984 1034.75 1964 704.99 1989 1106.76 1969 806.71 1994 1176.74

试估计我国 1999 年的人口数.(第一届北京高中数学知识应用竞赛初赛题五) 方法 1 :(利用计算器) (1) 在坐标系中描出数据的散点图,直观判断散点近似在一直线 上; (2) 用回归直线作为其拟合模型,为便于计算,可将数据适当简化,再用计算器计算相应 的数据之和. 7125a+225b=221 860.55, 由 225a+10b=8530.38, 解得 a=14.510 06,b=526.561 6. (3) 预测:根据上述模型,当 x=50(即 2005 年)时,y=1 252.064 6≈12.52(亿) Xi 0 5 10 15 20 25

- 11 -

Yi Xi2 Yi2 Xi Yi Xi2 Yi2

541.67

602.66

672.09

704.99

806.71

908.59

30 975.42

35 1034.75

40 1106.76

45 1176.74

225 8530.38 7125 221860.55

例 16. (优化问题) (2012 四川理.9)某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产 品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克, B 原料 1 千 克。每桶甲产品的利润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元。公司在生产这两种产品的计 划中,要求每天消耗 A 、B 原料都不超过 12 千克。 通过合理安排生产计划, 从每天生产的甲、 乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( ) A、1800 元 B、2400 元 C、2800 元 D、3100 元 【答案】C. 【解析】设生产 x 桶甲产品, y 桶乙产品,总利润为 Z,

? x ? 2 y ? 12 ?2 x ? y ? 12 ? 则约束条件为 ? ,目标函数为 Z ? 300 x ? 400 y , x?0 ? ?y ? 0 ?

可行域为 立方程组 ?

,当目标函数直线经过点 M 时 z 有最大值,联

? x ? 2 y ? 12 得 M (4,4) ,代入目标函数得 z ? 2800 ,故选 C. ?2 x ? y ? 12

例 17. (概率模型) (2012 年高考(课标文) )某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进 若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位: 枝,n∈N)的函数解析式. (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
- 12 -

日需求量 n 频数

14 10

15 20

16 16

17 16

18 15

19 13

20 10

(i)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位:元)的平均 数; (ii)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的 概率,求当天的利润不少于 75 元的概率. 【命题意图】本题主要考查给出样本频数分别表求样本的均值、将频率做概率求互斥事件的 和概率,是简单题. 【解析】(Ⅰ)当日需求量 n ? 17 时,利润 y =85; 当日需求量 n ? 17 时,利润 y ? 10n ? 85 , ∴ y 关于 n 的解析式为 y ? ?

?10n ? 85, n ? 17, (n ? N ) ; n ? 17, ?85,

(Ⅱ)(i)这 100 天中有 10 天的日利润为 55 元,20 天的日利润为 65 元,16 天的日利润为 75 元,54 天的日利润为 85 元,所以这 100 天的平均利润为

1 (55 ?10 ? 65 ? 20 ? 75 ?16 ? 85 ? 54) =76.4; 100
(ii)利润不低于 75 元当且仅当日需求不少于 16 枝,故当天的利润不少于 75 元的概率为

p ? 0.16 ? 0.16 ? 0.15 ? 0.13 ? 0.1 ? 0.7
【方法技巧】 随着以培养学生的创新精神和实践能力为重点的素质教育的深入发展和新课程改革的不 断深入,高考命题将更加关注“探索性问题”和“创新题型”。从最近几年来高考中探索性 问题逐年攀升的趋势,可预测探索性问题和创新题型仍将是高考命题“孜孜以求的目标”。 我们认为进行探索性问题和创新题型的训练,是数学教育走出困境的一个好办法。由于数学 开放探索题有利于学生创新意识的培养和良好思维品质的形成,它越来越受到教育界人士的 关注和深入研究,在高考中起着愈来愈重要的作用。我们预测: 1.从 2000 年~2012 年的高考中,探索性问题和创新题型逐年攀升的趋势,可预测今后 将会加大开放探索性考题的力度; 2.连续多年高考题中(特别是上海市高考题),出现以解析几何、立体几何和函数为背 景的结论开放型探索性的解答题,说明这类题型仍将是高考解答题的重点; 3.设计开放探索题和创新题型,能考查学生的创新意识,特别应鼓励学生创新性的解答, 这就反映学生的创新意识,应该很好鼓励; 4.将在方法型开放探索题和创新题型中有所突破,用非常规的解题方法,或者指定两种以上 方法解同一个问题,或者在题设或结论开放型的问题中解决方法也具有一定的开放性问题, 都可能在高考中出现。 【专题训练】 1.已知元素为实数的集合 S 满足下列条件:①1、0 ? S ;②若 a ? S ,则

1 ?S 1? a

?1? 若 ?2, ?2? ? S ,求使元素个数最少的集合 S ;
- 13 -

? 2 ? 在上一小题求得的集合 S 中,任取 3 个不同元素 a, b, c ,求使 abc ? ?1 的概率。 ? 3? (本小题选理科的学生做,选文科的学生不做)
若非空集合 S 为有限集,则你对集合 S 的元素个数有何猜测?并请证明你的猜测正确。

2.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx(a、b为常数且a ? 0) 满足条件: f (?x ? 5) = f ( x ? 3) ,
2

且方程 f (x) = x 有等根。 (1)求 f (x) 的解析式; (2)是否存在实数 m、n(m<n),使 f (x) 的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n]?如果存在, 求出 m、n 的值;若不存在,说明理由。

3 . 已 知 函 数 f (t ) ? at

2

? bt ?

1 4a

(t ? R , a ? 0) 的 最 大 值 为 正 实 数 , 集 合

x?a ? 0} ,集合 B ? {x | x 2 ? b 2 } 。 x (1)求 A 和 B ; (2)定义 A 与 B 的差集: A ? B ? {x | x ? A 且 x ? B} 。设 a , b , x 均为整数,且 x ? A 。 P(E ) 为 x 取 自 A ? B 的 概 率 , P(F ) 为 x 取 自 A ? B 的 概 率 , 写 出 a 与 b 的 二 组值 , 使 2 1 P( E ) ? , P( F ) ? 。 3 3 A ? {x |
(3)若函数 f (t ) 中, a , b 是(2)中 a 较大的一组,试写出 f (t ) 在区间[ n ? 最大值函数 g ( n) 的表达式。
2 8

,n]上的

4.给出函数封闭的定义:若对于定义域 D 内的任一个自变量 x0,都有函数值 f(x0) ? D ,则 称函数 y=f(x)在 D 上封闭。 (1) 若定义域 D1= 0, , ( 1) 判断下列函数中哪些在 D1 上封闭, 且给出推理过程: f1(x)=2x-1, f2(x)= ? 1 x ? 1 x ? 1 ,f3(x)=2 -1,f4(x)=cosx.; 2 2
2
x

- 14 -

(2)若定义域 D2=(1,2) ,是否存在实数 a 使函数 f(x)= 5xx??2a 在 D2 上封闭,若存在,求 出 a 的值,并给出证明,若不存在,说明理由。

5. (1)已知数列 { a n } 的通项公式: a n ? (2)记 bn ?

1 an ? p ,且满足(1) ,若 { (bn ) 3 } 成等比数列,求 p 的值; an ? 2 C ?p (3) (理)如果 C n ?1 ? n , C1 ? ?1 , C1 ? 2 ,且 p 是满足(2)的正常数,试证:对 Cn ? 1 于任意 自然数 n ,或者都满足 C 2 n ?1 ? 2 , C 2 n ? 2 ;或者都满足 C 2 n ?1 ? 2 , C 2 n ? 2 。

2 ? 3n ? 2 (n ? N ) ,试求 { a n } 最大项的值; 3n ? 1

(文)若 { bn } 是满足(2)的数列,且 { (bn ) 3 } 成等比数列, 试求满足不等式: ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? (?1) n ? bn ? 2004 的自然数 n 的最小值。

1

【参考答案】 1、解 ?1? 2 ? S ?

1 1 1 1 ? ?1? S ? ? ?S ? ? 2? S ; 1 1? 2 1 ? ? ?1? 2 1? 2 1 1 1 3 1 ?2 ? S ? ? ?S ? ? ?S ? ? ?2 ? S 1 2 3 1 ? ? ?2 ? 3 1? 1? 3 2

1 1 3? ? ?使 ?2, ?2? ? S 的元素个数最少的集合 S 为 ?2, ?1, , ?2, , ? 2 3 2? ?

? 2 ? 设 a, b, c 是 S ? ?2, ?1, ?
?

1 1 3? , ?2, , ? 中三个不同元素,且使 abc ? ?1 ,由于 S 中仅有 2 个 2 3 2?

负数,故只有如下两种可能: 2 ? ? ?1? ?

1 1 3 ? ?1, ? ?2 ? ? ? ? ?1 2 3 2

?所相对的概率为 P ?

2 1 ? 3 C6 10

? 3? 非空有限集 S 的元素个数是 3 的倍数
证明如下:

- 15 -

设 a ? S , 则 a ? 0,1 且

1 1 a ?1 1 ?S ? ? ?S ? ? a?S 1 a ?1 1? a a 1? 1? 1? a a 1 由于 a ? ? a 2 ? a ? 1 ? 0 ? a ? 1? ,但 a 2 ? a ? 1 ? 0 无实数根 1? a 1 1 a ?1 a ?1 故 a? 同理 ? , ?a 1? a 1? a a a a?S ?
1 a ? 1? ? ? ? a, , ??S ? 1? a a ?
若存在 b ? S ,而 b ? ?a,

? *?

1 a ? 1? ? , ? ,则 ? 1? a a ?

1 b ? 1? 1 a ? 1? ? 1 b ? 1? ? ? , , , ?b, ? ? S 且 ? a, ? ? ?b, ??? ? 1? b b ? ? 1? a a ? ? 1? b b ?
( 若 ?b,

1 b ? 1? 1 a ? 1? ? ? , , ? 中 有 元 素 ? ? a, ? , 则 利 用 前 述 的 ? *? 式 可 知 ? 1? b b ? ? 1? a a ?

1 a ? 1? ? , b? ?a, ?) ? 1? a a ?
于是 ?a,

1 a ?1 1 b ? 1? ? , , b, , ?? S 1? b b ? ? 1? a a

上述推理还可继续,由于 S 为有限集,故上述推理有限步可中止 ? S 的元素个数为 3 的倍数。

1 ? b ? ?1 1 2 ?? ?a ? ? ?? 2、解: (1)由条件易得 ? 2a 2 ,∴ f ( x) ? ? x ? x ??7 分 2 ?? ? (b ? 1) 2 ? 0 ?b ? 1 ? ?
(2)假设存在这样的 m、n 满足条件,由于 f ( x) ? ?

1 2 1 1 x ? x ? ? ( x ? 1)2 ? 2 2 2
从而有

1 1 所以 3n≤ 即 n≤ <1,故二次函数 f (x)在区间[m,n]上是增函数, 2 6

? f (m) ? 3m ?m ? ?4, 0 ?? ? m ? n ? m ? ?4, n ? 0 ? ? f (n) ? 3n ?n ? ?4, 0
2 3、 (1)∵ f (t ) ? at ? bt ?
?b 值 14a ? 0 ? b ? 1 。

1 4a

(t ? R) ,配方得 f (t ) ? a ( t ?

b 2 ) 2a

?b ? 14 a ,由 a

? 0 得最大

- 16 -

∴ A ? { x | a ? x ? 0} , B ? { x | ?b ? x ? b} 。 (2)要使 P ( E ) ? 2 , P ( F ) ? 1 。可以使① A 中有 3 个元素, A ? B 中有 2 个元素, A ? B 中 3 3 有 1 个元素。则 a ? ?4 , b ? 2 。 ② A 中有 6 个元素, A ? B 中有 4 个元素, A ? B 中有 2 个元素。则 a ? ?7 , b ? 3 (3)由(2)知 f (t ) ? ?4t 2 ? 2t ? 1 (t ? [ n ? 2 , n]) 16
8

?4n ? 2n ? , n ? ?
2 1 16

2 8

g (n) ?

1 16

,?

2 8

?n?0

1 ?4n 2 ? 16 , n ? 0

4、解: (1)∵f1(

1 2

)=0?(0,1),∴f(x)在 D1 上不封闭;(2?)
1 2

∵f2(x)=-(x+

) + 8 在(0,1)上是减函数,∴0<f2(1)<f2(x)<f2(0)=1,

2

9

∴f2(x)?(0,1)?f2(x)在 D1 上封闭;(4?) x ∵f3(x)=2 -1 在(0,1)上是增函数,∴0=f3(0)<f3(x)<f3(1) =1, ∴f3(x)?(0,1)?f3(x)在 D1 上封闭;(6?) ∵f4(x)=cosx 在(0,1)上是减函数,∴cos1=f4(1)<f4(x)<f4(0)=1, ∴f4(x)?(cos1,1)?(0,1)?f4(x)在 D1 上封闭;(8?) (2)f(x)=5- ax?10 ,假设 f(x)在 D2 上封闭,对 a+10 讨论如下: ?2 若 a+10>0,则 f(x)在(1,2)上为增函数,故应有 ? f (1) ? 1 ? ?a ? 2 ?a=2 (10?) ? ?
? f (2) ? 2 ?a ? 2

若 a+10=0,则 f(x)=5,此与 f(x)?(1,2)不合,(12?) 若 a+10<0,则 f(x)在(1,2)上为减函数,故应有 ? f (1) ? 2 ? ? a ? ?1 ,无解,(14?) ? ?
? f ( 2) ? 1 ?a ? ?6

综上可得,a=2 时 f(x)在 D2 上封闭. 5、解 (1) an ? 值为 4。 (2)欲使 { (bn ) 3 } 成等比数列,只需 { bn} 成等比数列。 ∵ bn ?
an ? p an ? 2
1

2 (3n ?1) ? 4 3n ?1

? 2?

4 3n ?1

,∴ an ? 2 ?

4 3n ?1

?

4 31 ?1

? 2 ,则 an ? 4 。即 { an} 的最大项的

?

2? p 4

? 3n ?

2? p 4

,∴只需 2? p ? 0 或 2? p ? 0 即可。解得 p ? 2 或 p ? ?2 。 4 4
Cn ? 2 C n ?1

( 3 ) 理 ) p ? 2 , Cn ?1 ? (
C2 ? 2 , ? , Cn ? 2 。

? 1?

1 C n ?1

, ∵ C1 ? ?1 , ∴ Cn ? ?1 。 又 C1 ? 2 , ∴
?0



(C2 n ? 2 ) (C2 n ?1 ? 2 ) ?

(1? 2 ) ( C 2 n ?1 ? 2 ) C 2 n ?1 ?1





C 2n?1 ? 2 , C 2n ? 2





C 2n?1 ? 2 , C 2n ? 2 。

(文) p ? ?2 不合题意, p ? 2 ? bn ? 3n , ∵ ∴ 据题意,?3[ 1?( ?3) ] ? 2004 ? (?3) n ?1 ? ?4019 , 1? ( ?3)
n

nm in ? 8 。

- 17 -


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