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河北省沧州市第一中学2017届高三10月月考文数试题Word版含答案.doc


数学(文科)试卷
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | x ? 1 ? 0} , B ? {?2, ?1, 0,1} ,则 (CR A) ? B ? ( A. {?2, ?1} B. {?2} C. {?1, 0,1} D. {0,1} ) )

2.设 i 是虚数单位,若复数 a ? A.-3 B.-1

10 (a ? R ) 是纯虚数,则 a 的值为( 3?i
C.1 D .3

?x ? y ? 0 ? 3.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ? ?2 x ? y 的最大值是( ?y ?1 ?
A.-1 B.-2 C.-5 D.1



2 4.已知命题 p : 方程 x ? 2ax ? 1 ? 0 有两个实数根: 命题 q : 函数 f ( x) ? x ?

4 的最小值为 4, x


给出下列命题: ① p ? q; ② p? q; ③ p ? ?q ; ④ ? p ? ? q .则其中真命题的个数是 ( A.1 B.2 C. 3 D.4

5.设 {an } 是首项为 a1 ,公差为-1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 S1 , S2 , S4 成等比数列,则

a1 ? (
A.2

) B.-2 C.

1 1 D. ? 2 2 ???? 1 ???? ??? ? ??? ? 2 ???? 6.如图,在 ?ABC 中, AN ? NC ,点 P 是 BN 上的一点,若 AP ? m AB ? AC ,则实 3 9
数 m 的值为( )

A.1

B.

1 3

C.

1 9

D.3 )

7.为了得到函数 y ? sin 3x ? cos3x 的图象,可以将函数 y ? 2 cos3x 的图象(

? 个单位 12 ? C. 向左平移 个单位 12
A.向右平移 余弦值为( A. ) B.

? 个单位 4 ? D.向左平移 个单位 4
B.向右平移

8.正四棱锥 S ? ABCD 的侧棱长与底面边长相等, E 为 SC 的中点,则 BE 与 SA 所成角的

1 3

1 2

C.

3 3

D.

3 2


9.已知函数 f ( x) ? cos( x ? A.最小正周期为 T ? 2? C.在区间 (0,

?
4

) sin x ,则函数 f ( x) 满足(
B.图象关于点 (

?
8

,?

2 ) 对称 4

?
8

) 上为减函数

D.图象关于直线 x ?

?
8

对称

10.表面积为

4 3 的正四面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为( 3
B. ?



A.

2 ? 3

1 3

C.

2 ? 3

D.

2 2 ? 3

11.已知函数 y ? f ( x)( x ? R) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且当 x ? (?1,1] 时, f ( x) ?| x | ,函

?sin ? x, x ? 0 ? 数 g ( x) ? ? 1 ,则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [?5,5] 上的零点的个数为 ? , x ? 0 ? ? x
( ) B.9 C.10 D.11

A. 8

12.函数 f ( x) 的定义域为 R , f (0) ? 2 ,对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? f '( x) ? 1,则不等式

e x ?f ( x) ? e x ? 1的解集为(
A. {x | x ? 0} C. {x | x ? ?1} 或 x ? 1

) B. {x | x ? 0} D. {x | x ? ?1} 或 0 ? x ? 1}

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

2? 3? , ) 的值域为_____________. 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 14.若非零向量 a, b 满足 | a |? 3| b |?| a ? 2b | ,则 a 与 b 的夹角的余弦值为____________.
13.函数 y ? log3 (2cos x ?1) , x ? (? 15.一个几何体的三视图如图所示(单位: m ) ,则该几何体的表面积为___________.

16.观察下列等式: 1=1, 2+3+4=9, 3+4+5+6+7=25, 4+5+6+7+8+9+10=49, …… 照此规律,第 n 个等式为_____________. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 10 分)在 ?ABC 中, a , b , c 分别为内角 A , B , C 的对边,且

a sin 2B ? 3b sin A .
(1)求 B ; (2)若 cos A ?

1 ,求 sin C 的值. 3

18. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 是递增的等比数列,且 a1 ? a4 ? 9 , a2 a3 ? 8 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, bn ?

an?1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . Sn Sn?1

19. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 满足 a1 ? 2 , a2 ? a4 ? 8 ,且对任意 n ? N ,函数
*

? f ( x) ? (an ? an?1 ? an?2 ) x ? an?1 cos x ? an?2 sin x 满足 f '( ) ? 0 . 2
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? 2( an ?

1 ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . 2 an

20. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, a , b , c 分别为内角 A , B , C 的对边,且

a b c ? ? . cos A 2 cos B 3cos C
(1)求 A ; (2)若 ?ABC 的面积为 3,求 a 的值. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? a) ln x , g ( x) ? 点 (1, f (1)) 处的切线与直线 2 x ? y ? 0 平行. (1)求 a 的值; (2)证明:方程 f ( x) ? g ( x) 在 (1, 2) 内有且只有一个实根. 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ?

x2 .已知曲线 y ? f ( x) 在 ex

a ? (a ? 1) ln x(a ? R) . x

(1)当 0 ? a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)是否存在实数 a ,使 f ( x) ? x 恒成立,若存在,求出实数 a 的取值范围;若不存在, 说明理由.

沧州市一中 2016-2017 学年高三上学期 第一学段检测数学(文科)试卷答案
一、选择题 1-5: ADACD 二、填空题 13. (??,1] 14. ? 6-10:CACDA 11、12:BA

1 3

15. 55 ? 4 2

16. n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? (3n ? 2) ? (2n ?1)2 三、解答题 17.解: (1)在 ?ABC 中,由

a b ? 可得, sin A sin B

a sin B ? b sin A ,
又由 a sin 2B ? 3b sin A 得,

2a sin B cos B ? 3b sin A ? 3a sin B ,
所以 cos B ?

3 , 2

因为 0 ? B ? ? ,所以 B ?

?
6

.………………5 分

18.解: (1)由题设 a1a4 ? a2a3 ? 8 ,又 a1 ? a4 ? 9 , 可解得 ?

?a1 ? 1 ? a1 ? 8 或? (舍去) , ?a4 ? 8 ? a4 ? 1

由 a4 ? a1q3 得公比 q ? 2 , 所以 an ? 2n?1 .………………6 分

(2) Sn ?

a1 (1 ? q n ) ? 2n ? 1 . 1? q

又 bn ?

an?1 S ?S 1 1 , ? n?1 n ? ? Sn Sn?1 Sn Sn?1 Sn Sn?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) S1 S2 S 2 S3 S3 S 4 Sn Sn?1

所以 Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ?bn ? (

?

1 1 1 ? ? 1 ? n?1 .………………12 分 S1 Sn?1 2 ?1

19.解: (1)由题设可得 f '( x) ? an ? an?1 ? an?2 ? an?1 sin x ? an?2 cos x ,
* 对任意 n ? N , f '( ) ? an ? an ?1 ? an ? 2 ? an ?1 ? 0 ,即 an?1 ? an ? an?2 ? an?1 ,

?

2

所以数列 {an } 是等差数列, 由 a1 ? 2 , a2 ? a4 ? 8 ,解得数列 {an } 的公差 d ? 1 , 所以 an ? n ? 1 .………………6 分 (2)由 bn ? 2( an ?

1 1 1 ) ? 2( n ?1 ? n ?1 ) ? 2 n ? n ? 2 知, an 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ] n(2 ? 2n) 2 2 ? 2n ? n 2 ? 3n ? 1 ? 1 .……………… Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? ? 1 2 2n 1? 2

12 分

a b c ? ? , cos A 2 cos B 3cos C sin A sin B sin C tan B tan C ? ? ? ∴由正弦定理得 ,即 tan A ? , cos A 2 cos B 3cos C 2 3
20.解: (1)∵ 则 tan B ? 2 tan A , tan C ? 3 tan A . 又在 ?ABC 中, tan A ? ? tan( B ? C ) ? ? 则 tan A ? ?

2 tan A ? 3 tan A 2 ,解得 tan A ? 1 , 2 1 ? 6 tan A

tan B ? tan C , 1 ? tan B tan C

由 tan B ? 2 tan A , tan C ? 3 tan A 知, A 必为锐角, 所以 tan A ? 1 ,则 A ?

?
4

.………………6 分

(2)由 tan A ? 1 可得: tan B ? 2 , tan C ? 3 ,

则 sin B ?

2 5 3 10 , sin C ? , 2 10
a b ? , sin A sin B

在 ?ABC 中,有 则b ?

sin B 2 10 a? a, sin A 5
1 3 ab sin C ? a 2 ? 3 , 2 5

所以 S ?ABC ?
2

解得 a ? 5 ,∴ a ? 5 .………………12 分 21.解: (1) f '( x) ? ln x ?

a ? 1, x

由题意知,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 2, 则 f '(1) ? 2 , 所以 a ? 1 ? 2 ,解得 a ? 1 .………………4 分

x2 (2)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ( x ?1) ln x ? x , x ? (1, 2) , e
则 h(1) ? ?

1 4 ? 0 , h(2) ? 3ln 2 ? 2 ? 0 , e e

所以 h(1)h(2) ? 0 , 所以函数 h( x) 在 (1, 2) 内一定有零点,………………8 分

h '( x) ? ln x ?

x ? 1 2 x ? x 2e x 1 ?( x ? 1)2 ? 1 1 ? ? ln x ? ? 1 ? ? 1? ? 0 , x 2 x x (e ) x e e

∴ h( x) 在 (1, 2) 上单调递增, 所以函数 h( x) 在 (1, 2) 内有且只有一个零点, 即方程 f ( x) ? g ( x) 在 (1, 2) 内有且只有一个实根.………………12 分 22.解: (1)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,

f '( x) ? 1 ?

a a ? 1 ( x ? a)( x ? 1) ? ? ,………………2 分 x2 x x2

当 0 ? a ? 1 时, 由 f '( x) ? 0 ,得 0 ? x ? a ,或 x ? 1 ,

由 f '( x) ? 0 ,得 a ? x ? 1 , 故函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, a ) 和 (1, ??) ,单调递减区间为 (a,1) ,………………3 分 当 a ? 1 时, f '( x) ?

( x ? 1) 2 ? 0 恒成立, x2

故函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) .………………4 分 (2) f ( x) ? x 恒成立等价于 a ? (a ? 1) x ln x ? 0 恒成立, 令 g ( x) ? a ? (a ? 1) x ln x , 当 a ? 1 ? 0 时,即当 a ? ?1 时, g ( x) ? ?1 , 故 g ( x) ? 0 在 (0, ??) 内不能恒成立, 当 a ? 1 ? 0 时,即当 a ? ?1 时,则 g (1) ? a ? ?1 , 故 g ( x) ? 0 在 (0, ??) 内不能恒成立,………………8 分 当 a ? 1 ? 0 时,即当 a ? ?1 时,

g '( x) ? (a ? 1)(1 ? ln x) ,
由 g '( x) ? 0 解得 x ? 当0 ? x ? 当x ?

1 , e

1 时, g '( x) ? 0 ; e

1 时, g '( x) ? 0 . e 1 a ?1 ?0, 所以 g ( x) min ? g ( ) ? a ? e e 1 解得 a ? . e ?1 1 综上,当 a ? 时, g ( x) ? 0 在 (0, ??) 内恒成立,即 f ( x) ? x 恒成立, e ?1 1 , ?? ) .………………12 分 所以实数 a 的取值范围是 [ e ?1


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