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福建省福州市第八中学2016届高三数学第四次质量检测试题 理


福州八中 2015—2016 学年高三毕业班第四次质量检查 数学(理)试题
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分

第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题意要求的. (A) ?2? 1.设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? ,集合 A ? ?2,3,4? , B ? ?1,2? ,则 A ? (? U B) = (B) ?5? (C) ?3, 4? (D) ?2, 3, 4, 5?

2.下列函数中,既是偶函数,又在区间 ?0,??? 内是减函数的是

(A) y ? ( )

1 2

x

(B) y ? cos x

(C) y ? ln x

(D) y ? 1 ? x

2

3.等差数列 {an } 中, a2 ? a5 ? a11 ? 21,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? (A) 0
2

(B) 7

(C) 14

(D) 21

4.“ x ? 9 ”是“ x ? 3 ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 5.已知 a ? 0 , b ? 0 且 a ? b ,设 x= (A) y ? x ? z (B) x ? y ? z

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

a? b , y ? a ? b , z ? 4 ab ,则 x,y,z 的大小关系是 2
(C) y ? z ? x (D) z ? y ? x

6.已知数列 {an } 满足 an ?1 ? (A) 24

1 2 ? an ? an ,且 a1 ? 0 ,则该数列的前 100 项的和等于 2 (B) 25 (C) 74 (D) 75

7.已知几何体的三视图如 图所示,其中正视图、左视图 均为正方形,俯视图是腰长为 2 的等腰直角三角形,则该几 何体的体积是 (A)

8 3 4 3

(B)

8 2 3 4 2 3

(C)

(D)

8.存在函数 f ( x) 满足:对任意 x ? R ,都有 (A) f (sin x) ? sin 2 x (C) f ( x ? 2 x) ?| x ? 1 |
2

(B) f (cosx) ? sin 2 x (D) f (| x ? 1 |) ? x ? 1
2

9.已知 O 为△ ABC 外接圆的圆心, | AB |? 3 , | AC |? 5 ,则 AO ? BC =
1

(A) 2

(B) 4

(C) 8

(D) 16

?2 x ? y ? 0, ? 10.若 z ? mx ? y 在平面区域 ?2 y ? x ? 0, 上取得最小值时的最优解不唯一,则 z 的最大值是 ?x ? y ? 3 ? 0 ?
(A) ? 3 (B) 0 (C)

11.关于函数 f ( x) ? sin x cos x 的性质的描述,不正确的是 (A)任意 x ? R , f ( π ? x) ? f ( x) (B)任意 x ? R , f (

1 2

(D)

3 2

π π ? x) ? f ( ? x) 2 2 π π 1 (C)不存在 x0 ? (0, ) ,使 f ( x0 ) ? 0 (D)不存在 x0 ? (0, ) ,使 f ( x0 ) ? 2 2 2
12.比较下列各组中两数的大小: ① 2015
2016

? 20162015 ;

② 2015

2016

? 20162015 ;

③ 2016 2015 ? 2015 2016; 其中正确结论的序号是 (A)①③

④ 2016 2015 ? 2015 2016 ,

(B)②④ 第Ⅱ卷

(C)①④

(D)②③

二、填空题:本大题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 13.若 tan(? ?

π 1 ) ? ,则 tan ? =___________. 4 3

14.已知向量 a ? (3,1) , a ? b ? ( x,?1) .若 a // b ,则 | b | =___________. 15. 正 三 棱 锥 P ? ABC 内 接 于 球 O , 球 心 O 在 底 面 ABC 上 , 且 AB ? 3 , 则 球 的 表 面 积 为 ___________. 16.曲线

1 4 ? 2 ? 1 上的点到原点 O 的距离最小值等于___________. 2 x y

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,满足 Sn ? 2an ? 2n , bn ? an ? 2 . (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)记 cn ? log2 bn ,数列 { 18.(本小题满分 12 分)

1 1 } 的前 n 项和为 Tn ,证明 Tn ? . 2 cn cn ?1

?ABC 中, a, b, c 分别是三个内角 A, B, C 的对边,且 (2c ? a) cos B ? b cos A .
(Ⅰ)求 B ;
2

F A
(Ⅱ)若 BC ? 6 , AC 边上的中线 BD 的长为 7 ,求 ?ABC 的 19.(本小题满分 12 分)

D E
面积.

O C
C C1

B 已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,侧面 AA 1C1C ? 侧面 ABB 1A 1,

AA 1 ? A 1C ? CA ? 2 , AB ? A 1B ? 2 .
(Ⅰ)求证: AA1 ? BC ;

A1

(Ⅱ)求二面角 A ? BC ? A1 的正弦值. 20.(本小题满分 12 分)

A B B1

已知椭圆 G 的焦点分别为 F1 (?2,0) , F2 (2,0) ,且经过点 M (?2, 2 ) ,直线 l : x ? ty ? 2 与椭圆 G 交 于 A , B 两点. Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ)求△ F1 AB 的面积的最大值. 21.(本小题 满分 12 分) 已知函数

f ( x) ? 2e x ? ( x ? a)2 ? 3 , a ? R .

(Ⅰ)若函数 y ? f ( x) 的图象在 x ? 0 处的切线与 x 轴平行,求 a 的值; (Ⅱ)若 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. 注: e 是自然对数的底数. 请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题做答.如果多做,则按所做的第一个题目计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,梯形 ABCD 内接于圆 O , AD // BC ,过点 C 作圆 O 的切线,交 BD 的延长线于点 F ,交 AD 的延长线于点 E . (Ⅰ)求证: AB2 ? DE ? BC ; (Ⅱ)若 BD ? BC ? 9 , AB ? 6 ,求切线 FC 的长.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
3

? x ? 2cos ?, 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) .以直角坐标系原点 O ? y ? sin ?

为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? cos ? ? π ? 2 2 . 4 (Ⅰ)求直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)点 P 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 的距离的最大值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ?

?

?

4 . ? x ? m (m ? 0) m

(Ⅰ)证明: f ( x) ? 4 ; (Ⅱ)若 f (2) ? 5 ,求 m 的取值范围.

4

福州八中 2015—2016 学年高三毕业班第四次质量检查 数学(理)试卷参考答案及评分标准 一、选择题 CDBBAC ACCDBD 二、填空题 13、 2 15、 4 π . 14、 2 10 三、解答题 17、解: (Ⅰ)因为 Sn ? 2an ? 2n , 16、 3

所以 Sn ?1 ? 2an ?1 ? 2(n ? 1) ,从而 an ?1 ? 2an ?1 ? 2an ? 2 , 即 an ?1 ? 2an ? 2 .所以

bn ?1 an ?1 ? 2 2an ? 4 ? ? ?2. bn an ? 2 an ? 2

又 a1 ? S1 ? 2a1 ? 2 ,所以 a1 ? 2 , b1 ? a1 ? 2 ? 4 ? 0 , 所以 {bn} 是首项为 4 ,公比为 2 的等比数列,

? 2n ?1 ,从而 an ? 2n ?1 ? 2 .???????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 cn ? n ? 1 , 1 1 1 1 ? ? ? 所以 , cncn ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? )? ? ? .??12 分 从而 Tn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n?2 2
所以 bn ? 4 ? 2 18、解: (Ⅰ)根据正弦定理,由 (2c ? a) cos B ? b cos A , 可得 (2 sin C ? sin A) cos B ? sin B cos A , 整理得 2 sin C cos B ? sin A cos B ? sin B cos A , 所以 2 sin C cos B ? sin C ,因为 sin C ? 0 ,所以 cos B ? 又因为 B ? (0, π) ,所以 B ?

n ?1

1 , 2
E

π .??????6 分 A 3 (Ⅱ)如图,延长 BD 至点 E ,使得 DE ? BD ,连接 AE , CE . 因为 D 为 AC 的中点,所以四边形 ABCE 为平行四边形, 2π D 所以 ?BCE ? , BE ? 14 . 3 在 ?BCE 中,根据余弦定理,得 2π B C BE 2 ? BC 2 ? CE 2 ? 2 BC ? CE ? cos , 3 即 CE 2 ? 6CE ? 160 ? 0 ,解得 CE ? 10 ,所以 AB ? CE ? 10 . 1 1 π 所以 ?ABC 的面积 S ? AB ? BC ? sin B ? ? 6 ? 10 ? sin ? 15 3 .??12 分 2 2 3
解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)因为 BD 是 AC 边上的中线,所以 BD ? 1 ( BA ? BC ) ,
2
2 2 2 1 2 所以 BD ? ( BA ? BC ) , 即 4BD ? BA ? BC ? 2BA? BC . 4 2 π 2 2 2 所以 4 ? 7 ?| BA | ?6 ? 2 ? 6 ? BA ? cos ,即 BA ? 6 BA ? 160 ? 0 , 3
2

5

解得 | BA |? 10,即 AB ? 10 . 所以 ?ABC 的面积 S ?

1 1 π AB ? BC ? sin B ? ? 6 ? 10 ? sin ? 15 3 . 2 2 3

解法三: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设 AB ? x , CD ? DA ? y . 在 ?ABC 中,根据余弦定理,可得 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos
2 2 2

π , 3

即 4 y ? x ? 6x ? 36 ?①. 在 ?BCD 中,根据余弦定理可得,
2 2

cos?BDC ?

BD2 ? DC2 ? BC2 72 ? y 2 ? 62 y 2 ? 13 . ? ? 2BD ? DC 2?7y 14y

在 ?ABD 中,同理可得,

BD2 ? AD2 ? AB2 72 ? y 2 ? x2 y 2 ? x2 ? 49 . cos?BDA ? ? ? 2BD ? AD 2? 7y 14y 因为 ?BDC ? ?BDA ? π , 2 2 2 所以 cos ?BDC ? ? cos ?BDA ,所以 y ? 13 ? ?( y ? x ? 49) ,
2 2 即 2 y ? x ? 62 ?②. 由①②可得 x2 ? 6 x ? 160 ? 0 ,所以 x ? 10 ,即 AB ? 10 .

1 1 π AB ? BC ? sin B ? ? 6 ? 10 ? sin ? 15 3 . 2 2 3 19、解: (Ⅰ)取 AA 1 中点 O,连接 CO, BO . ? CA ? CA1 ,?CO ? AA 1 ,又∵ BA ? BA 1 ,∴ BO ? AA 1 ,??3 分 ? BO ? CO ? O ,? AA1 ? 平面 BOC , z ? BC ? 平面 BOC ,? AA1 ? BC .??5 分
所以 ?ABC 的面积 S ? (Ⅱ)由(Ⅰ) CO ? AA 1, 又 侧 面 AA 1C1C ? 侧 面 ABB 1A 1 , 侧 面 AA 1C1C ? 侧 面
C C1

ABB 1A 1 = AA 1A 1 ,而 BO ? AA 1 ,∴ 1 ? CO ? 平面 ABB OA , OB , OC 两两垂直.如图,以 O 为坐标原点,分 x 别以 OA , OB , OC 为 x , y , z 轴建立空间直角坐标
系 O-xyz.

A

O B

A1 B1

y

则有 O(0,0,0), A(1,0,0), A ,0,0), B(0,1,0),C(0,0, 3), B1(?2,1,0) , 1 (?1 设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 ABC 的一个法向量,

??7 分

n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 是平面 A1BC 的一个法向量,
? CA ? (1,0,? 3), CB ? (0,1,? 3) ,
? ? n1 ? CA ? 0, ? x ? 3z ? 0, 1 由? 即? 1 解得 ? x1 ? 3 z1 , ? ? ? y1 ? 3 z1 , ?n1 ? CB ? 0, ? y1 ? 3z1 ? 0,
页 令 z1 ? 1,∴ n1 高三数学(理)第四次质检试卷答案 ? ( 3, 3,1) .又? A1B ? (1,1,0), A1C 第 ? (2 1,页 0, 共 3)4, 由?

? ? x ? ? 3 z2 , ?n2 ? A1B ? 0, ? x2 ? y2 ? 0, 即? 解得 ? 2 ? ? y2 ? 3 z 2 , ?n2 ? A1C ? 0, ? x2 ? 3 z2 ? 0,
? ?10 分

令 z2 ? ?1 ,∴ n2 ? ( 3, ? 3,?1) . 设二面角 A ? BC ? A1 为 ? ,则 | cos? |?

1 ? , n1 ? n2 7
6

n1 ? n2

所以二面角 A ? BC ? A1 的正弦值是 20、解: (Ⅰ)设椭圆方程为

4 3 . 7

??12 分

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2 则 2a ?| MF1 | ? | MF2 |? 2 ? 3 2 ? 4 2 ,所以 a ? 2 2 , x2 y2 ? ? 1 . ??5 分 又因为 c ? 2 ,所以 b ? a ? c ? 4 ,所以椭圆 G 的方程为 8 4 ? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 2 (Ⅱ)由 ? 8 得 (t ? 2) y ? 4ty ? 4 ? 0 , ? ? 32t ? 32 ? 0 恒成立. 4 ? x ? ty ? 2, ? 4t 4 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ? 2 , y1 y2 ? ? 2 . t ?2 t ?2 △ F1 AB 的面积等于
2 2 2

S ?F1 AB ?

1 ? 2c? | y1 ? y2 | 2

? 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ?8 2? ?8 2?
2

当且仅当 t ? 1 ?
2

1 t ?1
2

,即 t ? 0 时,等号成立,

t ?1 t2 ? 2
2

1 t ?1 ? 1 t ?1
2

?4 2?

所以当 t ? 0 时,△ F1 AB 的面积的最大值等于 4 2 .??12 分 21、解: (Ⅰ) f ?( x) ? 2(e ? x ? a) .
x

因为函数 y ? f ( x) 的图象在 x ? 0 处的切线与 x 轴平行, 所以 f ?(0) ? 2(a ? 1) ? 0 , 解得 a ? ?1 ,经检验 a ? ?1 符合题意.??5 分 (Ⅱ)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,等价于 f ( x)min ? 0 . 首先,必须 f (0) ? 0 ,即 2 ? a ? 3 ? 0 ,解得 ? 5 ? a ? 5 .
2

以下只研究 a ?[? 5, 5 ] 的情况. f ?( x) ? 2(e ? x ? a) ,设 g ( x) ? 2(e ? x ? a) ,
x x x x 则 当 x ? 0 时 , g ?( x) ? 2(e ? 1) ? 0 , 所 以 g ( x) ? 2(e ? x ? a) 在 [0,??) 内 单 调 递 增 , 且

g (0) ? 2(1 ? a) .①当 2(1 ? a) ? 0 ,即 a ? ?1 时, f ?( x) ? g ( x) ? g (0) ? 0 ,
所以 f ( x) 在 [0,??) 内单调递增, f ( x) ? f (0) ? 0 ,所以当 ? 1 ? a ?
x

5 时,在 [0,??) 内单调递增.② 当 2(1 ? a) ? 0 ,即 a ? ?1 时,由 g ( x) ? 2(e ? x ? a) 在 [0,??) 内单调递增,知存在唯一 x0 ? [0,??) 使
得 g ( x0 ) ? 0 ,即 e
x0

? x0 ? a ,

且当 x ? (0, x0 ) 时, f ?( x) ? g ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, x0 ) 上 单调递减, 当 x ? ( x0 ,??) 时, f ?( x) ? g ( x) ? 0 , f ( x) 在 ( x0 ,??) 上单调递增, 所以 f ( x) 的最小值为 f ( x0 ) ? 2e 又e
x0

x0

? ( x0 ? a) 2 ? 3 ,
0

? x0 ? a ,所以 f ( x0 ) ? 2e x0 ? (e x0 ) 2 ? 3 ? ?(e x0 ? 1)(e x0 ? 3) , x 因此,要使当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,只需 f ( x0 ) ? 0 ,即 e ? 3 ? 0 即可.
解得 0 ? x0 ? ln 3 ,此时由 e

? x0 ? a ,可得 a ? x0 ? e x0 . x x 以下求出 a 的取值范围. h( x) ? x ? e , x ? (0, ln 3] , 得 h?( x) ? 1 ? e ? 0 , 所以 h( x) 在 (0, ln 3] 上单调递减,从而 ln 3 ? 3 ? a ? ?1
x0

7

综上①②所述, a 的取值范围 [ln 3 ? 3, 5 ] .??12 分 22、解: (Ⅰ)因为 CF 与圆 O 相切,所以 ?DCE ? ?DBC ,又 DE // BC ,所以 ?CDE ? ?DCB ,所

DC DE ? ,所以 DC 2 ? DE ? BC , BC DC 又 AB ? DC ,所以 AB 2 ? DE ? BC ??????????????5 分 (Ⅱ) ?DCE ? ?DBC , ?BFC 是公共角,所以 ?CDF ~ ?BCF , FC FB BC 9 2 ? ? ? ,所以 FC ? 6 ? FD , 所以 DF FC CD 6 3 54 又 FC 2 ? FD ? FB ? FD ? ( FD ? 9) ,所以 FC ? .??????10 分 5 2 2 23、解: (Ⅰ)直线 l 的极坐标方程可化为 ? cos? ? ? sin ? ? 2 2 , 2 2 所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 . ?????5 分 (Ⅱ)设点 P(2 cos? , sin ? ) ,则点 P 到直线 l 的距离为
以 ?CDE ~ ?BCD ,可得

d?

2 cos? ? sin ? ? 4 2

?

5 sin(? ? ? ) ? 4 2

(其中 tan ? ? 2 ) ,

所以当 sin(? ? ? ) ? ?1 时,点 P 到直线 l 的距离的最大值为 24、解: (Ⅰ)因为 m>0 ,所以

10 ? 4 2 .???????10 分 2

f ( x) ? x ?

4 4 4 4 4 ? x ? m ?| ( x ? ) ? ( x ? m) |? ? m ,又因为 ? m ? 2 ? m ? 4 ,当且仅当 m ? 2 m m m m m

时等号成立,所以 f ( x) ? 4 .??????????????????5 分 ( Ⅱ ) f (2) ?| 2 ?

4 4 4 | ? | 2 ? m | , 当 ? 2 , 即 m ? 2 时 , f ( 2) ? m ? ? 4 , 由 f (2) ? 5 , 解 得 m m m 4 4 1 ? 17 .当 ? 2 ,即 0 ? m ? 2 时, f ( 2) ? ? m ,由 f (2) ? 5 ,解 得 0 ? m ? 1 .综上, m 的取 m? m m 2

值范围是 (0,1) ? (1 ? 17 ,??) .??????????10 分 2

8


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