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4.1.2 圆的一般方程2


4.1.2 圆的一般方程

1.掌握圆的一般方程的形式,熟练掌握圆的两种方程的互化. 2.会用待定系数法求圆的一般方程. 3.了解几种求轨迹方程的方法.

圆的一般方程
(1)形式:x2+y2+Dx+Ey+F=0,化为标准方程为
D 2 E 2 D2 ? E 2 ? 4F (x ? ) ? (y ? ) ? ___________________________. 2 2 4
D E ,? ) D2+E2-4F>0 圆心为__________ (2)条件:___________, 2 2 ,半径为 (?

D2 ? E 2 ? 4F ____________. 2
D E ,? ) 2 2 另外,①当D +E -4F=0时,方程表示点:_________ 2 2 ; (?

不表示任何图形 ②当D2+E2-4F<0时,方程_______________.

1.点P(1,1)与圆x2+y2-2x+2y=0的位置关系是( A.在圆外 C.在圆上 B.在圆内 D.不确定

)

【解析】选A.因为12+12-2×1+2×1=2>0, 所以点P在圆外.

2.若圆的一般方程为x2+y2+4x+2=0,则圆心坐标为________, 半径为________. 【解析】因为x2+y2+4x+2=0化为标准方程为(x+2)2+y2=2, 所以圆心为(-2,0),半径为 2 . 答案:(-2,0)
2

3.若方程x2+y2-2mx+y+m2-m+1=0表示圆的一般方程,则m的取值
范围是________.

【解析】由题意(-2m)2+12-4(m2-m+1)>0,
即m>
3 . 4

答案:m> 3
4

圆的一般方程 探究1:观察二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,并结合圆的 一般方程,思考下列问题. (1)此二元二次方程与圆的一般方程在形式上有哪些不同? 提示:x2,y2项的系数不同;圆的一般方程没有xy这一项.

(2)此二元二次方程能表示圆的方程吗? 提示:不一定.圆的一般方程是关于x,y的二元二次方程,但二元 二次方程并不一定表示圆的方程,如方程x2+2xy+y2=0,即x+y=0 代表一条直线而不是一个圆.

(3)若此二元二次方程表示圆的方程,则应满足的条件是什 么? 提示:①当B=0,A=C=1时,若D2+E2-4F>0,才表示圆,圆心 为 (? D , ? E ), 半径为 2 2
D E (? ,? ), 半径为 2A 2A

D 2 ? E 2 ? 4F . 2
D2 ? E 2 ? 4AF . 2|A|

②当B=0,A=C≠1时,若D2+E2-4AF>0,才表示圆,圆心为

探究2:类比点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系的判 断方法,完成下列填空. (1)若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则需满足的条件是 ______________.

提示:因为x2+y2+Dx+Ey+F=0?
D 2 D 2 ? E 2 ? 4F E 2 (x+ ) +(y+ ) = , 2 4 2 2 2 D E D ? E ? 4F 2 2 由题意 (x 0 ? ) ? (y0 ? ) ? 2 2 4

即x02+y02+Dx0+Ey0+F>0. 答案:x02+y02+Dx0+Ey0+F>0

(2)若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0内,则需满足的条件是 ______________. 提示:x02+y02+Dx0+Ey0+F<0. 答案:x02+y02+Dx0+Ey0+F<0 (3)若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上,则需满足的条件是 ______________. 提示:x02+y02+Dx0+Ey0+F=0. 答案:x02+y02+Dx0+Ey0+F=0

【探究总结】 1.对圆的一般方程的三点说明 (1)x2和y2的系数相等,且都不为0(通常都化为1). (2)没有xy这样的二次项. (3)表示圆的前提条件:D2+E2-4F>0,通常情况下先配成(x-a)2 +(y-b)2=m,通过观察m与0的关系,说明方程是否为圆的一般方 程,而不要死记条件D2+E2-4F>0.

2.圆的标准方程与一般方程的各自特点和联系 (1)圆的标准方程直接反映了圆心和半径,几何特征较明显;而 圆的一般方程反映的代数特征较明显.可以通过配方与去括号 互化. (2)它们的联系:在两种形式的方程中,都只含有三个待定系数, 其中a与D,b与E相联系,在D,E确定后,半径r与F相联系.

类型一

二元二次方程与圆的关系

1.(2014·长春高一检测)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线是以 (-2,3)为圆心,4为半径的圆,则D,E,F的值分别为( A.4,-6,3 C.-4,6,-3 B.-4,6,3 D.4,-6,-3 )

2.方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆?若能表示圆,求出

圆心和半径.

【解题指南】1.将圆的一般方程化为标准方程即可确定圆心与 半径.然后结合条件求出D,E,F. 2.本题可直接利用D2+E2-4F>0是否成立来判断,也可把左端配 方,看右端是否为大于零的常数.

【自主解答】1.选D.圆心为 (? , ? ), 所以- D =-2,- E =3,所以D=4,E=-6,
2 2 又R= 1 D 2 ? E 2 ? 4F 代入算得F=-3. 2

D 2

E 2

2.方法一:由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0, 可知D=-4m,E=2m,F=20m-20, 所以D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2,因此,当m=2时,D2+E2 -4F=0,它表示一个点,当m≠2时,D2+E2-4F>0,原方程表示圆的 方程,此时,圆的圆心为(2m,-m),半径为r= 1 D 2 ? E 2 ? 4F =
2

5 |m-2|.

方法二:原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,因此,当m=2时, 它表示一个点,当m≠2时,原方程表示圆的方程.此时,圆的圆心 为(2m,-m),半径为r= 5 |m-2|.

【规律总结】方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的两种判断方法 (1)配方法:对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过 配方变形成“标准”形式后,观察是否表示圆. (2)定义法:判断D2+E2-4F是否大于零,确定它是否表示圆. 提醒:在利用D2+E2-4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时,务 必注意x2及y2的系数.

【变式训练】 (2013·晋江高一检测)方程x2+y2+2x-4y-6=0表示的图形是 ( A.以(1,-2)为圆心, 11 为半径的圆 B.以(1,2)为圆心, 11 为半径的圆 C.以(-1,-2)为圆心, 11 为半径的圆 D.以(-1,2)为圆心, 11 为半径的圆 【解析】选D.将方程x2+y2+2x-4y-6=0化为(x+1)2+(y-2)2=11, 因此,圆心为(-1,2),半径为 11 . )

类型二

圆的一般方程的求法

1.(2014·长沙高一检测)过点(-1,1),且圆心与圆x2+y2-6x8y+15=0的圆心相同的圆的方程是___________. 2.(2014·重庆高一检测)圆心C在直线2x-y-7=0上且圆C与y轴交 于两点A(0,-4),B(0,-2),求圆C的一般方程.

【解题指南】1.根据所给圆的方程求出圆心坐标1,再代入设出 的方程求解. 2.设出圆的一般方程,由圆过A,B两点可得两个方程,再根据圆 心C在直线2x-y-7=0上列出第三个方程,通过解方程组即可求出 圆C的一般方程.

【自主解答】1.设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 由已知该圆圆心为(3,4),且过点(-1,1),
? ?2 ? D ? E ? F ? 0, 故 ? ? D ?? ? 3, ? 2 ? E ? ? 4, ? ? 2 2

?D ? ?6, 所以 ? ?E ? ?8, ?F ? 0. ?

所以圆的方程为x +y2-6x-8y=0.
答案:x2+y2-6x-8y=0

2.设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
? ?16 ? 4E ? F ? 0, ?E ? 6, ? 由题意得 ?4 ? 2E ? F ? 0, 解得 ? ?F ? 8, ? ?D ? ?4, D E ? ?2( ? ) ? (? ) ? 7 ? 0 2 2 ?

所以圆C的一般方程为x2+y2-4x+6y+8=0.

【延伸探究】若题2条件不变,试判断原点(0,0)与圆的位置
关系.

【解析】因为02+02-4×0+6×0+8=8>0.
所以原点(0,0)在圆外.

【规律总结】 1.待定系数法求圆的方程的三个步骤 (1)根据题意,选择标准方程或一般方程. (2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组. (3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.

2.圆的方程的设法技巧
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的 坐标或半径来列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定 系数法求出a,b,r. (2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一 般方程,再利用待定系数法求出常数D,E,F. 提醒:当条件与圆的圆心和半径有关时,常设圆的标准方程;条 件与点有关时,常设圆的一般方程.

类型三

与圆有关的轨迹问题

1.(2013·惠州高二检测)若Rt△ABC的斜边的两端点A,B的坐标

分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程为(
A.x2+y2=25(y≠0) B.x2+y2=25

)

C.(x-2)2+y2=25(y≠0)

D.(x-2)2+y2=25

2.已知△ABC的边AB长为4,若BC边上的中线为定长3,求顶点C的 轨迹方程.

【解题指南】1.根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一 半求解. 2.建立适当的坐标系,易知C不能在AB上,设BC中点为点D.C,B,D 三点为相关点,利用代入法(也称相关点法)求解.

【自主解答】1.选C.线段AB的中点为(2,0),因为△ABC为直角 三角形,C为直角顶点,所以C到点(2,0)的距离为 1 |AB|=5,所以
2

点C(x,y)满足

? x ? 2?

2

2 2 ? y 2 =5(y≠0),即(x-2) +y =25(y≠0).

2.以直线AB为x轴,AB的中垂线为y轴 建立坐标系(如图),则A(-2,0), B(2,0),设C(x,y),BC中点D(x0,y0).

?2 ? x ? x 0, ? ? 2 所以 ? ① ?0 ? y ? y . 0 ? ? 2

因为|AD|=3,所以(x0+2)2+y02=9,②

将①代入②,整理得(x+6)2+y2=36.
因为点C不能在x轴上,所以y≠0.

综上,点C的轨迹是以(-6,0)为圆心,6为半径的圆,去掉(-12,0)
和(0,0)两点.

轨迹方程为(x+6)2+y2=36(y≠0).

【规律总结】 1.用代入法求轨迹方程的一般步骤

2.求轨迹方程的四种常用方法
(1)直接法:直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系 ,直

接坐标化,列出等式化简即得动点轨迹方程.
(2)定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义 (如圆

等),可用定义直接求解.
(3)相关点法:根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点的

轨迹方程.
(4)参数法:若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化 而变化,我们可以以这个变量为参数,建立轨迹的参数方程.

【变式训练】

(2013·珠海高二检测)两直线ax+y=1与x-ay=1的交点的轨迹方
程是________.

【解题指南】分x≠0且y≠0和x=0且y=0求解.
【解析】当x≠0且y≠0时,两直线方程化为a= 1 ? y ,a=
x

以 1 ? y ? x ? 1 , 化为x2+y2-x-y=0.当x=0且y=0时满足上式,故交
x y

x ?1 ,所 y

点的轨迹方程为x2+y2-x-y=0. 答案:x2+y2-x-y=0


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