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高中数学


习题精选精讲圆标准方程 已知圆心 C ( a , b ) 和半径 r ,即得圆的标准方程 ( x ? a ) 心 C ( a , b ) 和半径 r ,进而可解得与圆有关的任何问题. 一、求圆的方程 例 1 (06 重庆卷文) 以点 ( 2 , ? 1) 为圆心且与直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 相切的圆的方程为( (A) ( x ? 2 ) (C) ( x ? 2 )
2 2 2

? ( y ? b)

2

? r ;已知圆的标准方程 ( x ? a ) ? ( y ? b )
2 2

2

? r ,即得圆
2

)

? ( y ? 1) ? ( y ? 1)

2 2

?3 ?9

(B) ( x ? 2 ) (D) ( x ? 2 )

2 2

? ( y ? 1) ? ( y ? 1)

2 2

?3 ?9

二、位置关系问题 例 2 (06 安徽卷文) 直线 x ? y ? 1 与圆 x (A) ( 0 , (C) ( ? 、
2

? y ? 2 ay ? 0 ( a ? 0 ) 没有公共点,则 a 的取值范围是(
2

)

2 ? 1) 2 ? 1, 2 ? 1)

(B) (

2 ? 1,

2 ? 1)

(D) ( 0 ,

2 ? 1)

例 3 (06 重庆卷理) 过坐标原点且与圆 x (A) y ? ? 3 x 或 y ?

2

? y

2

? 4x ? 2 y ? 1 x
x

5 2

? 0 相切的直线方程为(

)

1 3

x

(B) y ? 3 x 或 y ? ?

(C) y ? ? 3 x 或 y ? ? 、

1 3

x

(D) y ? 3 x 或 y ?

3 1
3

四、弦长问题 例 4 (06 天津卷理) 设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 1) 、
2

? ( y ? 2)

2

? 4 相交于 A 、 B 两点,且弦 AB 的长为 2 3 ,则 a ?

.

五、夹角问题 例 5 (06 全国卷一文) 从圆 x (A) 、
2

? 2x ? y

2

? 2 y ? 1 ? 0 外一点 P ( 3 , 2 ) 向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为(

)

1 2

(B)

3 5

(C)

3 2

(D) 0

六、圆心角问题 例 6 (06 全国卷二) 过点 (1, 、 1

2 ) 的直线 l 将圆 ( x ? 2 ) ? y
2

2

? 4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线 l 的斜率 k ?

.

七、最值问题 例 7 (06 湖南卷文) 圆 x (A) 30 、 (B) 18
2

? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14
2

? 0 的最大距离与最小距离的差是(

)

(C) 6

2

(D) 5

2

八、综合问题 例 8 (06 湖南卷理) 若圆 x 角的取值范围是( (A) [ ) (B) [
2

? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同的点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜
2

?
12

,

?
4

]

?
12

,

5? 12

]

(C) [

? ?
, 6 3

]

(D) [ 0 ,

?
2

]

、圆的方程 1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式,要注意各种形式的圆方程的适用范围. (1) 圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,其中(a,b)是圆心坐标,r 是圆的半径; (2) 圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0),圆心坐标为( ? 2. 直线与圆的位置关系的判定方法. (1) 法一:直线:Ax+By+C=0;圆:x2+y2+Dx+Ey+F=0.

D 2

,?

E 2

),半径为 r=

D

2

? E 2

2

? 4F

? ? ? 0 ? 相交 ? Ax ? By ? C ? 0 ? 判别式 消元 一元二次方程 ? ?? ? ? ? ? 0 ? 相切 ? 2 2 ? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ? ? ? ? 0 ? 相离

(2) 法二: 直线: Ax+By+C=0; 圆: (x-a)2+(y-b)2=r2, 圆心(a, b)到直线的距离为 d=

Aa ? Bb ? C A
2

? B

2

? d ? r ? 相交 ? ? ? d ? r ? 相切 . ? ? d ? r ? 相离

3.

两圆的位置关系的判定方法. 设两圆圆心分别为 O1、 O2,半径分别为 r1、 r2, |O1O2|为圆心距,则两圆位置关系如下: |O1O2|>r1+r2 ? 两圆外离; |O1O2|=r1+r2 ? 两圆外切; |r1-r2|<|O1O2|<r1+r2 ? 两圆相交; |O1O2|=|r1-r2| ? 两圆内切; 0<|O1O2|<|r1-r2| ? 两圆内含. ●点击双基 1.方程 x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0(t∈R)表示圆方程,则 t 的取值范围是 A.-1<t<
1 7

B.-1<t<

1 2

C.-

1 7

<t<1

D.1<t<2
1

解析:由 D2+E2-4F>0,得 7t2-6t-1<0,即-

<t<1.答案:C 7 2.点 P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1 的内部,则 a 的取值范围是 A.|a|<1 B.a<
1 13

C.|a|<

1 5

D.|a|<

1 13 1 13

解析:点 P 在圆(x-1)2+y2=1 内部 ? (5a+1-1)2+(12a)2<1 ?

|a|<

.答案:D 2

3.已知圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) ,下列结论错误的是 A.当 a2+b2=r2 时,圆必过原点 B.当 a=r 时,圆与 y 轴相切 C.当 b=r 时,圆与 x 轴相切 D.当 b<r 时,圆与 x 轴相交 解析: 已知圆的圆心坐标为 (a, , b) 半径为 r, b<r 时, 当 圆心到 x 轴的距离为|b|, 只有当|b|<r 时, 才有圆与 x 轴相交, b<r 不能保证|b|<r, 而 故 D 是错误的.故选 D.答案:D ●典例剖析 【例 2】 一圆与 y 轴相切,圆心在直线 x-3y=0 上,且直线 y=x 截圆所得弦长为 2 7 ,求此圆的方程. 剖析: 利用圆的性质:半弦、半径和弦心距构成的直角三角形. 、 夯实基础 1.方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的曲线关于 x+y=0 成轴对称图形,则 A.D+E=0B. B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=0 、2.(2004 年全国Ⅱ,8)在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线共有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 、 3.(2005 年黄冈市调研题)圆 x2+y2+x-6y+3=0 上两点 P、Q 关于直线 kx-y+4=0 对称,则 k=____________. 、4.(2004 年全国卷Ⅲ,16)设 P 为圆 x2+y2=1 上的动点,则点 P 到直线 3x-4y-10=0 的 距离的最小值为____________. 、 (2005 年启东市调研题) O 为坐标原点, 5. 设 曲线 x2+y2+2x-6y+1=0 上有两点 P、 满足关于直线 x+my+4=0 对称, Q, 又满足 OP ·OQ =0. (1)求 m 的值; (2)求直线 PQ 的方程. 、

7.已知实数 x、y 满足方程 x2+y2-4x+1=0.求(1) (3)x2+y2 的最大值和最小值. 、

y x

的最大值和最小值; (2)y-x 的最小值;

8.(文)求过两点 A(1,4) 、B(3,2) ,且圆心在直线 y=0 上的圆的标准方程.并判断点 M1(2,3) 2(2,4)与圆的位置关系. ,M 、

经过两已知圆的交点的圆系 设圆 C1 与 C2 的方程为: C1: x ? y ? D 1 x ? E 1 y ? F1 ? 0
2 2

C2: x ? y ? D 2 x ? E 2 y ? F 2 ? 0 .
2 2

并且两圆相交于两点。引进一个参数 ? ,并令: 3

x ? y ? D 1 x ? E 1 y ? F1 + ? ( x ? y ? D 2 x ? E 2 y ? F 2 )=0 ——①
2 2 2 2

其中 ? ? -1。

引进两个参数 ? 1 和 ? 2 ,并令:

? 1 ( x ? y ? D 1 x ? E 1 y ? F1 )+ ? 2 ( x ? y ? D 2 x ? E 2 y ? F 2 )=0 ——② 其中 ? 1 + ? 2 ? 0
2 2 2 2

不论参数取何值,方程①与②中的 x2 项和 y2 项的系数相等,方程没有 xy 项,而且两已知圆的两个交点的坐标适合方程①与②,所以①与 ②都是经过两已知圆的交点的圆系,但是①与②稍有不同: ⑴ 当 ? =0 时,方程①的曲线就是圆 C1;不论 ? 为何值,方程①的曲线都不会是圆 C2。所以方程①表示经过两已知圆的交点的一切圆,包 括圆 C1 在内,但不包括圆 C2。 ⑵ 当 ? 1 =0 时,方程②的曲线就是圆 C2;当 ? 2 =0 时,方程②的曲线就是圆 C1。所以方程②表示经过两已知圆的交点的一切圆,包括圆 C1 和圆 C2 在内。 下面应用圆系来解本文前面的问题: 设经过已知两圆的交点的圆的方程为:

x ? y ? 6 x ? 4 ? ? ( x ? y ? 6 y ? 28 ) ? 0 . ( ? ? -1)则其圆心坐标为 ( ?
2 2 2 2

3 1? ?

,?

3? 1? ?

)

∵ 所求圆的圆心在直线 x ? y ? 4 ? 0 上∴ ?
2 2

3 1? ?
2

+
2

3? 1? ?

-4=0,

解得 ? =-7
2 2

∴ 所求圆的方程为: x ? y ? 6 x ? 4 -7 ( x ? y ? 6 y ? 28 ) ? 0 即: x ? y ? x ? 7 y ? 32 ? 0 下面再举两例说明圆系的应用 例1. 、 求经过两已知圆: x ? y ? 4 x ? 6 ? 0 和 x ? y ? 4 y ? 6 ? 0 的交点且圆心的横坐标为 3 的圆的方程。
2 2 2 2

例 2.

设圆方程为:

( ? ? 4 ) x ? ( ? ? 4 ) y ? ( 2 ? ? 4 ) x ? (12 ? ? 40 ) y ? 48 ? ? 164 ? 0
2 2

其中 ? ? -4

求证: 不论 ? 为何值,所给圆必经过两个定点。 、

直线与圆的位置关系 二、例题选析 例1:求由下列条件所决定圆 x
2

? y

2

? 4 的圆的切线方程;

(1)经过点 P ( 3 , 1) ,(2)经过点 Q ( 3 , 0 ) ,(3)斜率为 ? 1 、

例2:已知点 P ( x 0 , y 0 ) 在圆 x

2

? y

2

? Dx ? Ey ? F ? 0 的外部,过 P 作圆的切线,切点为 M ,求证

4

PM
、、

?

x 0 ? y 0 ? Dx 0 ? Ey
2 2

0

? F 。

例3:从圆外一点 P ( a , b ) 向圆 x

2

? y

2

? r 引割线,交该圆于 A 、 B 两点,求弦 AB 的中点轨迹方程。
2

5



P

y

A O M x

B

图7 - 5 3- 2

6

小结:此题用向量法求得轨迹方程,显得简明快捷。读者可用一般方法求轨迹方程,即设出割线方程,和圆联立方程组,由韦达定理建立中点 坐标的参数方程,继而求得普通方程。还可用两直线垂直的充要条件,但必须讨论斜率存在与不存在两种情况。都比向量法要麻烦。 备选例题: 例4 :已知对于圆 x
*

2

? ( y ? 1)

2

? 1 上任意一点 P ( x , y ) ,不等式 x ? y ? m ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围。

7

、轴对称 轴对称是解析几何的一个重要内容,利用它不仅可以解决点、线、曲线等关于直线的对称问题,而且还可以解决诸如最值、光线反射、 角平分线等问题,并且常得到意想不到的效果。本文将以数例来谈谈它的应用。 例 1、已知点 A(4,1),B(0,4),在直线 L:y=3x-1 上找一点 P,求使|PA|-|PB|最大时 P 的坐标。 分析:本题的常规方法是: (1)设点(2)列出相应的函数关系式(3)求解。 但本题若这样做,则就会走入死胡同。若巧妙利用轴对称的知识则可以轻松解决。 解:如图,设点 C(x,y)是点 B 关于直线 L 的对称点,则由 ∴直线 BC 的方程为: y ? ?

y P B( 0 , 4 ) P
'

k l ? 3 ,得: k BC ? ?
立,解得:D ?

1 3



1 3

x ? 4 ,将其与直线 y=3x-1 联

?3 7? , ? ,其中 D 为 BC ?2 2?

中点,利用中点坐标公式,得 C(3,3) 。 显然:|PA|-|PB|=|PA|-|PC|≤|AC|,当且仅当 A、C、P 三点 直线 AC 方程为: 2 x ? y ? 9 ? 0 ,与 L 方程联立解得 P 的坐 例 2、光线由点 C(3,3)出发射到直线 L:y=3x-1 上,已知 求反射光线方程。 解:设点 B 是点 C 关于 L 的对称点,则由光线反射的知 所求的反射光线的方程即为直线 AB 所在的直线方程。 由例 1 知点 C 关于 L 的对称点为 B(0,4) , 故直线 AB 的方程易求得为: y ? ?

o

C A( 4 , 1 )

x

共线时,|PA|-|PB|最大。可求得: 标为(2,5) 。 其被直线 L 反射后经过点 A(4,1),

y B( 0 , 4 ) P o C A( 4 , 1 )

识易知:点 B 在反射光线上,故

3 4

x ? 4 。它即为反射光线

方程。 的分别方程为 x ? 2y ? 0 和

例 3、已知 Δ ABC 的顶点 A 的坐标为(1,4),∠B、∠C 的平分线

x ? y ? 1 ? 0 ,求 BC 所在的直线方程。

分析:本题的常规思路是利用 L1 到 L2 的角的有关知识解决问 题,但较繁,若能注意到角平分 线的有关性质,则可简捷求解。 解:设∠B、∠C 的平分线分别为 L1、L2,则由角平分线的知识可 知:AB 与 CB 关于 L1 对称,AC 与 BC 关于 L2 对称,故点 A 关于 L1、L2 的对称点 A1、A2 都应该在直线 BC 上,故 BC 所在的直线方程即为 A1A2 所在的直线方程。

x

), A 2 ( ? 3 , 0 ) (过程略) 5 5 于是 BC 方程可求得为: 4 x ? 17 y ? 12 ? 0
利用对称性可求得: A1 ( 直线和圆 1.自点(-3,3)发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射线所在直线与圆 x 线方程.
2

19

,?

8

? y

2

? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0 相切,求光线 L 所在直

2.已知圆 C: x

2

? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 ,是否存在斜率为 1 的直线 L,使以 L 被圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆过原点,若存在求出
2

直线 L 的方程,若不存在说明理由. (14 分) . 、

3. (12 分)求过点 P(6,-4)且被圆 x ? y
2

2

? 2 0 截得长为 6 2 的弦所在的直线方程.



8

. 4. (12 分)已知圆 C: ? x ? 1 ? ? ? y ? 2 ? ? 25 及直线 l : ? 2 m ? 1 ? x ? ? m ? 1 ? y ? 7 m ? 4 . ? m ? R ?
2 2

(1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒相交; (2)求直线 l 与圆 C 所截得的弦长的最短长度及此时直线 l 的方程. 、

5(12 分)已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P、Q 两点,且以 PQ 为直径的圆恰过坐标原点,求实数 m 的值. 、

6.已知圆 C:(x+4) +y =4 和点 A(-2 3 ,0),圆 D 的圆心在 y 轴上移动,且恒与圆 C 外切,设圆 D 与 y 轴交于点 M、N. 值?若为定值,求出∠MAN 的弧度数;若不为定值,说明理由. 、

2

2

∠MAN 是否为定

7. (14 分)已知圆 x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 和直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 交于 P、Q 两点,且 OP⊥OQ (O 为坐标原点) ,求该圆的圆心坐标及
2 2

半径长. 、

8. (14 分)求圆心在直线 x ? y ? 0 上,且过两圆 x ? y ? 2 x ? 10 y ? 24 ? 0 , x ? y ? 2 x ? 2 y ? 8 ? 0 交点的圆的方程.
2 2 2 2



9.(12 分) 已知一个圆截 y 轴所得的弦为 2,被 x 轴分成的两段弧长的比为 3∶1. (1)设圆心为(a,b) ,求实数 a,b 满足的关系式; (2) 当圆心到直线 l:x-2y=0 的距离最小时,求圆的方程. 、

9

10 、

已知圆 C 与圆 x

2

? y ? 2 x ? 0 相外切,并且与直线 x ?
2

3 y ? 0 相切于点 Q ( 3 , ? 3 ) ,求圆 C 的方程

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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11.(1997 全国文,25)已知圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3∶1;③圆心到直线 l:x-2y=0 的距 离为 、

5 5

,求该圆的方程.

12.(1997 全国理,25)设圆满足: (1)截 y 轴所得弦长为 2; (2)被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3∶1.在满足条件(1)(2)的所 、 有圆中,求圆心到直线 l:x-2y=0 的距离最小的圆的方程. 13.(2002 北京文,16)圆 x2+y2-2x-2y+1=0 上的动点 Q 到直线 3x+4y+8=0 距离的最小值为 .

【例 2】 已知一个圆经过两点 A(2,-3)和 B(-2,-5) ,且圆心在直线 l:x-2y-3=0 上,求此圆的方程. 3. 求圆的一般方程 【例 3】 △ABC 的三个顶点坐标分别为 A(-1,5) 、B(-2,-2) 、C(5,5) ,求其外接圆的方程.

例题】 求半径为 4,与圆 x2+y2-4x-2y-4=0 相切,且和直线 y=0 相切的圆的方程.

已知两圆 C1:x2+y2+4x+4y-2=0,C2:x2+y2-2x-8y-8=0,判断圆 C1 与圆 C2 的位置关系.

【例 1】 如果曲线 C:x2+(y+1)2=1 与直线 x+y+a=0 有公共点,那么实数 a 的取值范围是

. 10

【小结】 直线与圆的位置关系的判定方法有:①代数法:利用二次方程的判别式判断;②几何法:依据圆心到直线的距离与半径的大 小关系判断. 【例 2】 直线 2x-y+1=0 与圆 O∶x2+y2+2x-6y-26=0 的位置关系是( ). A. 相切 B. 相交且过圆心 C. 相离 D. 相交不过圆心 《圆的方程》的经典问题聚焦 1 直线和直线的位置关系问题 1(北京 )若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b) (ab ? 0)共线,则

1 a

?

1 b

的值等于

.

2(上海) 已知两条直线 l1 : a x ? 3 y ? 3 ? 0, l 2 : 4 x ? 6 y ? 1 ? 0 . 若 l1 // l 2 ,则 a ? ___ 2 利用几何法简化研究直线和圆的位置关系. 1(江苏)圆 ( x ? 1) (A)x-y=0
2

图1

2

? (y ?
2

3)

2

? 1 的切线方程中有一个是

(B)x+y=0

(C)x=0

(D)y=0

2(湖南)若圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 1 0 ? 0 上至少有三个不同点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 ( ) A.[

2 ,则直线 l 的倾斜角的取值范围是

?
12

,

?
4

]

B.[

?

,

5?

]

C.[

? ?
, 6 3

]

D. [0,

?
2

]

12 12

3(江西) 已知圆 M: (x+cos?)2+(y-sin?)2=1,直线 l:y=kx,下面四个命题: A 对任意实数 k 与 ?,直线 l 和圆 M 相切;B 对任意实数 k 与 ?,直线 l 和圆 M 有公共点; C 对任意实数 ?,必存在实数 k,使得直线 l 与和圆 M 相切 D 对任意实数 k,必存在实数 ?,使得直线 l 与和圆 M 相切其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号) 【学习体验】 直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成 判别式等于零来解. 3 圆的第二定义的应用 (四川) 已知两定点 A ? ? 2, 0 ? , B ? 1, 0 ? , 如果动点 P 满足 P A ? 2 P B , 则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于

9 (A) ?

(B)

8?

(C) 4 ?

(D) ?

【学习体验】 本题来源于教材第 78 页例 5 和第 88 页 19 题的习题,是“动点到两定点的距离之比为正常数的轨迹为圆或线段的垂直平分线”的一特例, 若有教材习题的学习体验很容易找到思维的切入点和探求的方法,应体会高考题来源于课本的指导思想,认识教材的突出地位和作用. 4 直线和圆有关的信息迁移问题 1(上海) 如图,平面中两条直线 l1 和 l 2 相交于点 O ,对于平面上任意一点 M , 若 p , q 分别是 M 到直线 l1 和 l 2 的距离,则称有序非负 实数对 ? p , q ? 是点 M 的“距离坐标” ,根据上述定义,

l1

l2

M p ,q ) (

O “距离坐标”是(1,2)的点的个数是____________. 2(重庆)如图所示,单位圆中弧 AB 的长为 x,f(x)表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形面积的2倍,则函数 y=f(x)的图象是

D 【思维展示】 1 认识“距离坐标”的意义,是点到两直线的距离是两个非负实数对,注意点所在位置可在两相交直线分成的 4 个区域内,故“距离坐标” 11

是(1,2)的点的个数是 4; 2 运动变化的认识弓形面积的变化,开始变化斜率较小,越来越大,注意其对称性,图像关于 ?? , ? ? 对称,选 D; 【学习体验】 信息迁移问题,认真阅读的基础上反馈提取信息,注意题设的“新定义和新概念”运用运动变化的观念和函数与数形结合思想和方法, 将问题转化为学过的原有的知识和方法求解。试回味本题求解中的思维方法,不断提高自己的创新能力。 【实战演练】 1(全国 2)过点 (1,

2 ) 的直线 l 将圆 ( x ? 2 ) ? y ? 4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线 l 的斜率 k ? _ _ _ _ .
2 2 2 2

2(湖北 )已知直线 5 x ? 12 y ? a ? 0 与圆 x ? 2 x ? y

? 0 相切,则 a 的值为
C )



3(重庆) 以点(2,-1)为圆心且与直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 相切的圆的方程为( (A) ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 3
2 2

(B) ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 3
2 2

(C) ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 9
2 2

(D) ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 3
2 2 2 2

4 设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 4 相交于 A 、 B 两点,且弦 A B 的长为 2 5.(陕西)设直线过点(0,a),其斜率为 1, 且与圆 x2+y2=2 相切,则 a 的值为( A.± 2 B.±2 B.±2 2 D.±4
2 2

3 ,则 a ? ____________

)

6(湖南文)圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是 A.36 B. 18 C. 6 2 D. 5 2

直线和圆的方程
一、选择题(每题 3 分,共 54 分) 1
王新敞
奎屯 新疆

在直角坐标系中,直线 x ?

3 y ? 3 ? 0 的倾斜角是(


12

A. 2
王新敞
奎屯 新疆

?
6
2

B.

?
3
2

C.

5? 6

D.

2? 3

若圆 C 与圆 ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 1 关于原点对称,则圆 C 的方程是( A. ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 1
2 2 2



B. ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 1
2 2

C. ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 1
2

D. ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 1
2 2
王新敞
奎屯 新疆

3

王新敞
奎屯

新疆

直线 ax ? by ? c ? 0 同时要经过第一
1 2

第二

王新敞
奎屯

新疆

第四象限,则 a 、 b 、 c 应满足( ) D. ab ? 0 , bc ? 0
?

A. ab ? 0 , bc ? 0 B. ab ? 0 , bc ? 0 C. ab ? 0 , bc ? 0 4
王新敞
奎屯 新疆

已知直线 l 1 : y ? A. y ? x ? 1

x ? 2 ,直线 l 2 过点 P ( ? 2 ,1) ,且 l 1 到 l 2 的夹角为 45 ,则直线 l 2 的方程是( )

B. y ?

1 3

x?

3 5

C. y ? ? 3 x ? 7

D. y ? 3 x ? 7 ) D.左下方

5 6 7 8

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奎屯

新疆

不等式 2 x ? y ? 6 ? 0 表示的平面区域在直线 2 x ? y ? 6 ? 0 的( A.左上方 B.右上方 C.左下方 直线 3 x ? 4 y ? 9 ? 0 与圆 x ? y ? 4 的位置关系是( A.相交且过圆心 B.相切 C.相离
2 2

王新敞
奎屯

新疆

) D.相交但不过圆心 ) D.不存在

王新敞
奎屯

新疆

2 2 b c 已知直线 ax ? by ? c ? 0 ( abc ? 0 ) 与圆 x ? y ? 1 相切,则三条边长分别为 a 、 、 的三角形(

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A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 过两点 ( ? 1,1) 和 ( 3 ,9 ) 的直线在 x 轴上的截距是( ) A. ?
3

B. ?

2

C. ) C.

2 5

D.2

9

王新敞
奎屯

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2 3 点 ( 0 ,5 ) 到直线 y ? 2 x 的距离为(

A. 10
王新敞
奎屯 新疆

5 2

B. 5

3 2

D.

5 2

下列命题中,正确的是( ) A.点 ( 0 , 0 ) 在区域 x ? y ? 0 内 C.点 (1, 0 ) 在区域 y ? 2 x 内 由点 P (1, 3 ) 引圆 x ? y ? 9 的切线的长是 (
2 2

B.点 ( 0 , 0 ) 在区域 x ? y ? 1 ? 0 内 D.点 ( 0 ,1) 在区域 x ? y ? 1 ? 0 内 )

11

王新敞
奎屯

新疆

A.2 B. 19 C.1 D.4 12 三直线 ax ? 2 y ? 8 ? 0 , 4 x ? 3 y ? 10 , 2 x ? y ? 10 相交于一点,则 a 的值是( )
王新敞
奎屯 新疆

A. ? 2 13 14
王新敞
奎屯 新疆

B. ? 1 B. ?
1 3

C.0 C. 3
2 3 3 2

D.1
?

已知直线 l 1 : A. 3或 0

3 x ? y ? 0 , l 2 : kx ? y ? 1 ? 0 ,若 l 1 到 l 2 的夹角为 60 ,则 k 的值是
3或 0

D. ?

3

王新敞
奎屯

新疆

如果直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 x ? y ? 2 ? 0 互相垂直,那么 a 的值等于( A.1 B. ? C. ? D. ? 2

)

15

王新敞
奎屯

新疆

若直线 ax ? 2 y ? 2 ? 0 与直线 3 x ? y ? 2 ? 0 平行,那么系数 a 等于( ) A. ? 3 B. ? 6
2 2

C. ?

D. ) D.

2 3 3? 2

16

王新敞
奎屯

新疆

由 y ? x 和圆 x ? y ? 4 所围成的较小图形的面积是( A.
?
4
2 2

B. ?

C.

3? 4

17

王新敞
奎屯

新疆

动点在圆 x ? y ? 1 上移动时,它与定点 B ( 3 , 0 ) 连线的中点的轨迹方程是( A. ( x ? 3 ) ? y ? 4
2 2

)

B. ( x ? 3 ) ? y ? 1
2 2

13

C. ( 2 x ? 3 ) ? 4 y ? 1
2 2

D. ( x ? )

3 2

) ? y
2

2

?

1 2

18

王新敞
奎屯

新疆

x ? 3 ? 3 cos ? 表示的图形是( ? y ? ? 3 ? 3 sin ? A.圆心为 ( ? 3 , 3 ) ,半径为 9 的圆

参数方程 ? ?

B.圆心为 ( ? 3 , 3 ) ,半径为 3 的圆

C.圆心为 ( 3 , ? 3 ) ,半径为 9 的圆 D.圆心为 ( 3 , ? 3 ) ,半径为 3 的圆 二、填空题(每题 3 分,共 15 分) 19 以点 (1,3 ) 和 ( 5 , ? 1) 为端点的线段的中垂线的方程是
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奎屯 新疆

20 21 22

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过点 ( 3 , 4 ) 且与直线 3 x ? y ? 2 ? 0 平行的直线的方程是 直线 3 x ? 2 y ? 6 ? 0 在 x 、 y 轴上的截距分别为
( ? ( 三点 2, 3), 4 , 3 ) 及 ( 5 , ) 在同一条直线上,则 k 的值等于 2
2 2

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奎屯

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k

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奎屯

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23 若方程 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? a ? 0 表示的曲线是一个圆,则 a 的取值范围是 三、解答题(第 24、25 两题每题 7 分,第 26 题 8 分,第 27 题 9 分,共 31 分) 24 若圆经过点 A ( 2 , 0 ), B ( 4 , 0 ), C ( 0 , 2 ) ,求这个圆的方程
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奎屯 新疆
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25

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奎屯

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求到两个定点 A ( ? 2 , 0 ), B (1, 0 ) 的距离之比等于 2 的点的轨迹方程

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26

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求点 A ( 3 , ? 2 ) 关于直线 l : 2 x ? y ? 1 ? 0 的对称点 A 的坐标
'

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14

27

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已知圆 C 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 相外切,并且与直线 x ?
2 2

3 y ? 0 相切于点 Q ( 3 , ? 3 ) ,求圆 C 的方程

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直线和圆的方程
答案 一、 题1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 答C A A D D D B A B A C B A D B B C D 案

15


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