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2.3随机变量的均值和方差(第二课时)


学案 19 号

2.3 离散型随机变量的方差 班级:高二( 1 ,4 )班 姓名:

离散型随机变量的方差 (1)概念:一般地,若离散型随机变量 ? 的分布列为

?
P

?1
p1

?2
p2

?i
pi

?n
pn

则称

D ?? ? =
为随机变量的 反映的是离散型随机变量 (2)性质: D ? aX ? b? ? 练习: (1) 若 D ? X ? ? 2 ,则 D ? 2 X +8? ? (2) 若 D ? X ? ? 6 ,则 D ?3X +100000000? ? (3) 若 D ? 3X ? ? 54 ,则 D ? X ? ? 二项分布的方差:若随机变量 ? 练习: (1) 若 X (2) 若 X (3) 若 X
? 1? B ? 6, ? ,则 D ? X ? ? ? 3?

,称其算术平均值 D ?? ? 为随机变量的

,其

B ? n, p ? ,则 D ?? ? ?

B ?10,0.4? ,则 D ? X ? ?
? 1? B ? 4, ? ,则 E ? X ? ? ? 2?

, D? X ? ?

【例 1】均匀的抛掷一枚质地均匀的骰子,求一面向上的点数 ? 的均值,方差和标准差

总结:求方差和标准差的步骤: (1)求出离散型随机变量 ? 的分布列 (2)求出离散型随机变量 ? 的均值 (3)求出离散型随机变量的方差或标准差 变式:已知随机变量 X 的分布列为
X
P

0 0.1

1 0.2

2 0.4

3 0.2

4 0.1

求(1) D ? X ? 和 D ? X ? (2)若 Y ? 5 X +4 ,求 D ?Y ?

【例 2】有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你获得如下信息 甲单位不同职位的平均工资 X1 /元 获得相应职位的概率 P1 1200 0.4 1400 0.3 1600 0.2 1800 0.1

乙单位不同职位的平均工资 X 2 /元 获得相应职位的概率 P2 根据工资待遇的差异情况,请问你的选择

1000 0.4

1400 0.3

1800 0.2

2000 0.1

变式:甲乙两名射手在一次射击中得分分别为两个相互独立的随机变量 ? 与? ,且 ? ,? 的分布列为

?
P

1

2 0.1

3 0.6

?
P

1 0.3

2
b

3 0.3

a

(1) 求 a , b 的值

(2) 计算 ? ,? 的期望和方差,并以此分析甲乙的技术状况

课堂小结: (1) 随机变量 ? 的方差 D ?? ? ? (2) 随机变量方差的性质: D ? aX ? b? ? (3) 服从二项分布的随机变量的方差:若 ? (4) 求离散型随机变量均值的步骤: (1) 确定随机变量的取值和概率(分布列) (2) 求出均值 (3) 利用公式计算 D ?? ? 【课后作业】 1.设 ? 是随机变量, a , b 为非零常数,则下列等式中正确的是( A. D ? a? ? b? ? a2 D ?? ? ? b C. D ? a? ? ? a2 D ?? ? 2.设随机变量 X A. n ? 8, p ? 0.2 )

B ? n, p ? ,则 D ?? ? ?

B. E ? a? ? b ? ? a 2E ?? ? D. E ? a? ? b ? ? aE ?? ? ) D. n ? 7, p ? 0.45

B ? n, p ? ,且 E ? X ? ? 1 ,D ? X ? ? 1.28 ,则(
B. n ? 4, p ? 0.4

C. n ? 5, p ? 0.32 )

3.设离散型随机变量为 ? ,下列说法中正确的是( A. E ?? ? 反映了 ? 取值的概率的平均水平 C. E ?? ? 反映了 ? 取值的平均水平 4.设 ? 是一个随机变量,则 E ?? ? E ?? ?? 的值为( A.无法求 B. 0

B. D ?? ? 反映了 ? 取值的平均水平 D. D ?? ? 反映了 ? 取值的概率的平均水平 ) C. E ?? ? D.2 E ?? ?

5. 设 X 是一个随机变量,则 D ? X ? D ? X ?? ? A.无法求 B. 0 C. D ? X ? D.2 D ? X ?

6.甲乙两工人在同样的条件下生产某种产品,日产量相等,每天出废品的情况为 工人 废品数 概率 则有结论( 0 0.4 ) B.乙的产品产量比甲的产品质量好一些 D.无法判断 ) D.4 1 0.3 甲 2 0.2 3 0.1 0 0.3 1 0.5 乙 2 0.2 3 0

A.甲的产品产量比乙的产品质量好一些 C.两人的产品质量一样好

1 7.已知随机变量 ? 的分布列为 P ?? ? k ? ? , k ? 1, 2,3 ,则 D ? 3? ? 5? ? ( 3

A.6

B. 9

C.3

8.已知某运动员投篮的命中率 P ? 0.6 ,则他连续投 5 次,命中次数 ? 的方差为 9.已知随机变量 ? 的分布列如下

?
P

1 0.4

2 0.1

3

x

则 ? 的标准差为 10.有 A,B 两种钢筋,从中取等量样品检查它们的抗压强度,指标如下 ? A , ?B ,且其分布列为

?A
P

110 0.1

120 0.2

125 0.4

130 0.1

135 0.2

?B
P

100 0.1

115 0.2

125 0.4

130 0.1

145 0.2

其中 ? A , ?B 分别表示 A,B 两种钢筋的抗拉强度,在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于 120,试比 较 A,B 哪一种钢筋质量较好?


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