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数学:7.3用公式法解一元二次方程课件(鲁教版八年级下)_图文

回顾与复习 1

一、用配方法解一元二次方程:
1 (2).3x ? 12 x ? ? 0 (1).2 x ? 4 x ? 1 ? 0 3 二、用配方解一元二次方程的步骤是什么?
2

2

1、若二次项系数不是1,把二次项系数化为1(方程两 边都除以二次项系数); 2、把常数项移到方程右边; 3、在方程的两边各加上一次项系数绝对值的一半的 平方,使左边成为完全平方; 4、如果方程的右边整理后是非负数,用直接开平方 法解之,如果右边是个负数,则指出原方程无实根。 用直接开平方法和配方法解一元二次方程,计算比 较麻烦,能否研究出一种更好的方法,迅速求得一 元二次方程的实数根呢?

心动
2

不如行动

公式法是这样生产的
ax2+bx+c=0(a≠0)吗?

你能用配方法解方程

b c 解 : x ? x ? ? 0. ?1.化1:把二次项系数化为1; a a b c 2 x ? x?? . ?2.移项:把常数项移到方程的右边; a a2 2 b ? b ? ? b ? c ?3.配方:方程两边都加上一次项 2 x ? x ? ? ? ? ? ? ? . 系数绝对值一半的平方; a ? 2a ? ? 2a ? a 2 b ? b 2 ? 4ac ? ?4.变形:方程左分解因式, . ?x? ? ? 2 2a ? 4a ? 右边合并同类; 当b 2 ? 4ac ? 0时,
b b ? 4ac x? ?? . 2a 2a 2 ? b ? b ? 4ac 2 ?x ? . b ? 4ac ? 0 .
2

?

?

?5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; ?6.求解:解一元一次方程; ?7.定解:写出原方程的解.

心动

不如行动

公式法
ax2+bx+c=0(a≠0)

? 一般地,对于一元二次方程
当b 2 ? 4ac ? 0时, 它的根是 :

当b 2 ? 4ac ? 0 ? b ? b 2 ? 4ac 2 时,方程有 ?x ? . b ? 4ac ? 0 . 实数根吗 2a ?上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. ?用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法

?

?

?老师提示: ?用公式法解一元二次方程的前提是: ?1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). ?2.b2-4ac≥0.

学习是件很愉快的事

公式法
程为一般形式;

? 例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0 ?1.变形:化已知方 解 : a ? 5, b ? ?4, c ? ?12 ?
b ? 4ac ? ?? 4? ? 4 ? 5 ? (?12) ? 256 ? 0.
2 2

6 ? x1 ? ? ; x 2 ? 2. 5

? b ? b 2 ? 4ac ?x ? 2a ? ?? 4 ? ? 256 4 ? 16 ? ? . 2?5 10 2?8 ? 5

?2.确定系数:用 a,b,c写出各项系 数; ?3.计算: b2-4ac 的值; ?4.代入:把有关数 值代入公式计算; ?5.定根:写出原方 程的根.

求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0) 例2.用公式法解方程2x2+5x-3=0 解: a=2 b=5 c= -3

∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49 ∴x= = =



x1= - 3

x2=

求根公式 : X=

(a≠0, b2-4ac≥0)

(口答)填空:用公式法解方程 2x2+x-6=0

解:a= 2 ,b= 1 ,c = -6 .
b2-4ac= 12-4×2×(-6) = 49 . ? 1? 7 ? 1 ? 49 x= = 2? 2 = 4 . 即 x1= -2 , x2 = 3 . 2

求根公式 : X=

(a≠0, b2-4ac≥0)

例3:用公式法解方程 x2+4x=2

这里的a、b、c 的值是什么?

解:移项,得

x2+4x-2=0

a= 1 ,b= 4 ,c = -2 . b2-4ac= 42-4×1×(-2) = 24 . x= 即
? 4 ? 24 ? 4 ? 2 6 = 2 ?1 = 2.

x1 = ? 2 ? 6 , x2 = ? 2 ? 6 .

求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)

用公式法解一元二次方程的一般步骤:
1、把方程化成一般形式,并写出a,b,c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 : X= (a≠0, b2-4ac≥0) 4、写出方程的解: x1=?, x2=?

用公式法解下列方程:
1、x2 +2x =5
(x1=-1+ ,x2=-1)

2、 6t2 -5 =13t

(t1=

,t2= -



例4

解方程: x

2

? 3 ? 2 3x

解:? 原方程化为: x 2 ? 2 3x ? 3 ? 0

?a ? 1, b ? ?2 3, c ? 3
2
2

? x1 ? x2 ? 0
结论:当 相等的实数根.

? ?? 2 3 ? ? 0 2 3 ?x ? ? ? 3 2 ?1 2
b 2 ? 4ac ? 0
时,一元二次方程有两个

? b ? 4ac ? ?? 2 3? ? 4 ?1 ? 3 ? 0



用公式法解方程: x2 +3 = 2 x 解:移项,得 x2 -2 x+3 = 0 ,c=3 )2-4×1×3=0 = =



用公式法解方程:
x2 – x =0

解:方程两边同乘以 3
得 2 x2 -3x-2=0 a=2,b= -3,c= -2. ∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25. ∴x= = 即 x1=2, 求根公式 : X= x2 = =

a=1,b=-2 b2-4ac=(-2 ∴x= x1 = x 2 =

练习:用公式法解方程 1、 x2 x -1= 0

2、 2x2 - 2 x+1= 0

用公式法解一元二次方程的

小结

一般步骤:

由配方法解一般的一元二 1、把方程化成一般形式, 次方程 ax2+bx+c=0 并写出a,b,c的值。 (a≠0) 若 b2-4ac≥0 2、求出b2-4ac的值。 得 3、代入求根公式 :
求根公式 : X=
X=

(a≠0, b2-4ac≥0) 4、写出方程的解: x1=?, x2=?

独立 作业

知识的升华

祝你成功!

思考题: 1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当 a,b,c 满足什么条件时,方程的两根为 互为相反数?

2、m取什么值时,方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0
有两个相等的实数解

想一想:

关于一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 a ? a,b,c满足什么条件时,方程的两根互
2

?

0? ,当

为相反数?

一元二次方程 解:
x1 ? ?b?

ax 2 ? bx ? c ? 0 ?a ? 0 ? 的解为:

b 2 ? 4ac ? b ? b 2 ? 4ac , x2 ? 2a 2a

? x1 ? ? x2
? b ? b 2 ? 4ac b ? b 2 ? 4ac ? ? 2a 2a b ?b ? ? 2a 2a

?b ? 0

提高练习 已知方程 2 x 2 ? 7 x ? c ? 0, b2 ? 4ac ? 0, 求c和x的值.
解:

? a ? 2, b ? 7, c ? c
又 ? b 2 ? 4ac ? 7 2 ? 4 ? 2 ? c ? 0

49 ?8c ? 49,即c ? 8 b 7 7 ? x1 ? x2 ? ? ? ? ?? 2a 2?2 4

五、小结
用公式法解一元二次方程的关键是解题步骤:

1.先写出a,b,c 2.再求出

b ? 4ac
2

3.最后代入公式
当 当

b 2 ? 4ac ? 0 b 2 ? 4ac ? 0

时,有两个实数根 时,方程无实数 解


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