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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 9.4 椭圆


§ 9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系

1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系. d<r?相交;d=r?相切;d>r?相离. >0?相交 ? ? (2)代数法:Δ= ― ― → ?=0?相切 b2-4ac ? ?<0?相离
判别式

[知识拓展] 圆的切线方程常用结论 (1)过圆 x2+y2=r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程为 x0x+y0y=r2. (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2. (3)过圆 x2+y2=r2 外一点 M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为 x0x+y0y=r2. 2.圆与圆的位置关系 设圆 O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r2 1(r1>0), 圆 O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r2 2(r2>0). 方法 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 [知识拓展] 常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数:①内含:0 条;②内切:1 条;③相交:2 条;④外切:3 条;⑤外离:4 条. (2)当两圆相交时,两圆方程(x2,y2 项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.
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几何法:圆心距 d 与 r1,r2 的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)

代数法: 联立两圆方程组成方程组 的解的情况 无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“k=1”是“直线 x-y+k=0 与圆 x2+y2=1 相交”的必要不充分条件.( × (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.( × ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( × ) (4) 从 两 圆 的 方 程 中 消 掉 二 次 项 后 得 到 的 二 元 一 次 方 程 是 两 圆 的 公 共 弦 所 在 的 直 线 方 程.( × ) )

(5)过圆 O:x2+y2=r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程是 x0x+y0y=r2.( √ ) (6)过圆 O:x2+y2=r2 外一点 P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为 A,B,则 O,P,A,B 四点共圆且直线 AB 的方程是 x0x+y0y=r2.( √ )

1.圆(x-1)2+(y+2)2=6 与直线 2x+y-5=0 的位置关系是( A.相切 C.相交过圆心 答案 B B.相交但直线不过圆心 D.相离

)

|2×1-2-5| 解析 由题意知圆心(1, -2)到直线 2x+y-5=0 的距离 d= = 5< 6且 2×1+(- 22+1 2)-5≠0,所以直线与圆相交但不过圆心. 2.(2013· 安徽)直线 x+2y-5+ 5=0 被圆 x2+y2-2x-4y=0 截得的弦长为( A.1 B.2 C.4 D.4 6 答案 C 解析 圆的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=5,圆心(1,2)到直线 x+2y-5+ 5=0 的距离 d=1, 截得弦长 l=2 r2-d2=4. c 3.两圆交于点 A(1,3)和 B(m,1),两圆的圆心都在直线 x-y+ =0 上,则 m+c 的值等于 2 ________. 答案 3 1+m c c 解析 由题意,知线段 AB 的中点在直线 x-y+ =0 上,∴ -2+ =0,∴m+c=3. 2 2 2 4. (2014· 重庆)已知直线 x-y+a=0 与圆心为 C 的圆 x2+y2+2x-4y-4=0 相交于 A, B 两点, 且 AC⊥BC,则实数 a 的值为________. 答案 0 或 6 解析 由 x2+y2+2x-4y-4=0 得(x+1)2+(y-2)2=9,所以圆 C 的圆心坐标为 C(-1,2),半 径为 3,由 AC⊥BC 可知△ABC 是直角边长为 3 的等腰直角三角形,故可得圆心 C 到直线 x
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)

|-1-2+a| 3 2 3 2 -y+a=0 的距离为 ,由点到直线的距离公式可得 = ,解得 a=0 或 a=6. 2 2 2

题型一 直线与圆的位置关系 例 1 已知直线 l:y=kx+1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2=12. (1)试证明:不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长. 思维点拨 直线与圆的交点个数即为直线方程与圆方程联立而成的方程组解的个数;最短弦

长可用代数法或几何法判定.
?y=kx+1, ? 方法一 (1)证明 由? 2 2 ??x-1? +?y+1? =12, ?

消去 y 得(k2+1)x2-(2-4k)x-7=0, 因为 Δ=(2-4k)2+28(k2+1)>0, 所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点. (2)解 设直线与圆交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点, 则直线 l 被圆 C 截得的弦长 |AB|= 1+k2|x1-x2| =2 8-4k+11k2 =2 1+k2 4k+3 11- , 1+k2

4k+3 令 t= ,则 tk2-4k+(t-3)=0, 1+k2 3 当 t=0 时,k=- ,当 t≠0 时,因为 k∈R, 4 所以 Δ=16-4t(t-3)≥0,解得-1≤t≤4,且 t≠0, 4k+3 故 t= 的最大值为 4,此时|AB|最小为 2 7. 1+k2 方法二 (1)证明 圆心 C(1,-1)到直线 l 的距离 d= |k+2| 1+k
2,圆

C 的半径 R=2 3,R2-d2

k2+4k+4 11k2-4k+8 =12- = ,而在 S=11k2-4k+8 中, 1+k2 1+k2 Δ=(-4)2-4×11×8<0, 故 11k2-4k+8>0 对 k∈R 恒成立, 所以 R2-d2>0,即 d<R,所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点. (2)解 由平面几何知识,

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知|AB|=2 R2-d2=2

8-4k+11k2 ,下同方法一. 1+k2

方法三 (1)证明 因为不论 k 为何实数,直线 l 总过点 P(0,1),而|PC|= 5<2 3=R,所以 点 P(0,1)在圆 C 的内部,即不论 k 为何实数,直线 l 总经过圆 C 内部的定点 P. 所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点. (2)解 由平面几何知识知过圆内定点 P(0,1)的弦,只有和 AC (C 为圆心)垂直时才最短,而此 时点 P(0,1)为弦 AB 的中点,由勾股定理,知|AB|=2 12-5=2 7, 即直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2 7. 思维升华 (1)与弦长有关的问题常用几何法,即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三

角形进行求解. (2)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系,也可利用直线的方程与圆的方程联立 后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系. (1)若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交,则 P(a,b)( A.在圆上 C.在圆内 B.在圆外 D.以上都有可能 )

(2)(2014· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 x+2y-3=0 被圆(x-2)2+(y+1)2=4 截得的弦 长为______. 2 55 答案 (1)B (2) 5 解析 (1)由 1 2 2 2<1,得 a +b >1, a +b
2

所以点 P 在圆外. (2)圆心为(2,-1),半径 r=2. |2+2×?-1?-3| 3 5 圆心到直线的距离 d= = , 5 1+4 所以弦长为 2 r2-d2=2 题型二 圆的切线问题 例 2 (1)过点 P(2,4)引圆(x-1)2+(y-1)2=1 的切线,则切线方程为__________; (2)已知圆 C:(x-1)2+(y+2)2=10,求满足下列条件的圆的切线方程. ①与直线 l1:x+y-4=0 平行; ②与直线 l2:x-2y+4=0 垂直; ③过切点 A(4,-1). 思维点拨 用待定系数法,先设出切线方程,再求系数. (1)答案 x=2 或 4x-3y+4=0 3 5 2 2 55 22-? ?= . 5 5

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解析 当直线的斜率不存在时,直线方程为 x=2,此时,圆心到直线的距离等于半径,直线 与圆相切,符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线方程为 y-4=k(x-2),即 kx-y+4-2k=0,∵直线与圆相切, |k-1+4-2k| |3-k| ∴圆心到直线的距离等于半径,即 d= = 2 =1, k2+?-1?2 k +1 4 解得 k= , 3 4 4 ∴所求切线方程为 x-y+4-2× =0, 3 3 即 4x-3y+4=0. (2)解 ①设切线方程为 x+y+b=0, 则 |1-2+b| = 10,∴b=1± 2 5, 2

∴切线方程为 x+y+1± 2 5=0; ②设切线方程为 2x+y+m=0, 则 |2-2+m| = 10,∴m=± 5 2, 5

∴切线方程为 2x+y± 5 2=0; -2+1 1 ③∵kAC= = , 1-4 3 ∴过切点 A(4,-1)的切线斜率为-3, ∴过切点 A(4,-1)的切线方程为 y+1=-3(x-4), 即 3x+y-11=0. 思维升华 求圆的切线方程的常用方法: (1)设出切线方程,由几何性质确定参数值. (2)过圆外一点(x0,y0)求切线,既可采用几何法也可采用代数法. ①几何方法:当斜率存在时,设为 k,切线方程为 y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于 半径求解. ②代数方法:当斜率存在时,设切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 y=kx-kx0+y0,代入圆方程, 得一个关于 x 的一元二次方程,由 Δ=0,求得 k,切线方程即可求出. (2013· 江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4.设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使|MA|=2|MO|,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. 解 (1)由题设, 圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点, 解得点 C(3,2), 于是切线的斜率必存在.
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设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3, 由题意,得 |3k+1|
2

3 =1,解得 k=0 或- , 4 k +1

故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0. (2)因为圆心在直线 y=2x-4 上,所以圆 C 的方程为 (x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 设点 M(x,y),因为|MA|=2|MO|,所以 x2+?y-3?2=2 x2+y2,化简得 x2+y2+2y-3=0,

即 x2+(y+1)2=4,所以点 M 在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上. 由题意,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点,则|2-1|≤|CD|≤2+1, 即 1≤ a2+?2a-3?2≤3. 由 5a2-12a+8≥0,得 a∈R; 12 由 5a2-12a≤0,得 0≤a≤ . 5 12? 所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为? ?0, 5 ?. 题型三 圆与圆的位置关系 例 3 (1)已知两圆 C1:x2+y2-2x+10y-24=0,C2:x2+y2+2x+2y-8=0,则两圆公共弦

所在的直线方程是________________________. (2)两圆 x2+y2-6x+6y-48=0 与 x2+y2+4x-8y-44=0 公切线的条数是________. (3)已知⊙O 的方程是 x2+y2-2=0,⊙O′的方程是 x2+y2-8x+10=0,若由动点 P 向⊙O 和⊙O′所引的切线长相等,则动点 P 的轨迹方程是________. 答案 (1)x-2y+4=0 (2)2 3 (3)x= 2

解析 (1)两圆的方程相减得:x-2y+4=0. (2)两圆圆心距 d= 74< 66+ 64, ∴两圆相交,故有 2 条公切线. (3)⊙O 的圆心为(0,0),半径为 2,⊙O′的圆心为(4,0),半径为 6,设点 P 为(x,y),由已知 3 条件和圆切线性质得 x2+y2-2=(x-4)2+y2-6,化简得 x= . 2 思维升华 判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间

的关系,一般不采用代数法.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作 差消去 x2,y2 项得到. (1)圆 C1:x2+y2-2y=0,C2:x2+y2-2 3x-6=0 的位置关系为( A.外离 C.相交 B.外切 D.内切 )

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(2)设 M={(x,y)|y= 2a2-x2,a>0},N={(x,y)|(x-1)2+(y- 3)2=a2,a>0},且 M∩N≠?, 求 a 的最大值和最小值. (1)答案 D 解析 ∵圆 C1:x2+y2-2y=0 的圆心为:C1(0,1),半径 r1=1, 圆 C2:x2+y2-2 3x-6=0 的圆心为:C2( 3,0),半径 r2=3, ∴|C1C2|= ? 3?2+1=2,又 r1+r2=4,r2-r1=2, ∴|C1C2|=r2-r1=2,∴圆 C1 与 C2 内切. (2)解 M={(x,y)|y= 2a2-x2,a>0},即{(x,y)|x2+y2=2a2,y≥0},表示以原点 O 为圆心, 半径等于 2a 的半圆(位于横轴或横轴以上的部分). N={(x,y)|(x-1)2+(y- 3)2=a2,a>0},表示以 O′(1, 3)为圆心,半径等于 a 的一个圆. 再由 M∩N≠?,可得半圆和圆有交点,故半圆和圆相交或相切. 当半圆和圆相外切时,由|OO′|=2= 2a+a, 求得 a=2 2-2; 当半圆和圆相内切时,由|OO′|=2= 2a-a, 求得 a=2 2+2, 故 a 的取值范围是[2 2-2,2 2+2],a 的最大值为 2 2+2,最小值为 2 2-2.

高考中与圆交汇问题的求解 一、与圆有关的最值问题 典例:(1)(2014· 江西)在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直 径的圆 C 与直线 2x+y-4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为( 4 A. π 5 C.(6-2 5)π 3 B. π 4 5 D. π 4 )

(2)(2014· 北京)已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1 和两点 A(-m,0),B(m,0)(m>0),若圆 C 上存在 点 P,使得∠APB=90° ,则 m 的最大值为( A.7 B.6 C.5 D.4 思维点拨 (1)原点 O 在圆上,当切点与 O 连线过圆心时,半径最小.(2)以 AB 为直径的圆与 圆 C 有交点. 解析 (1)∵∠AOB=90° ,∴点 O 在圆 C 上. 设直线 2x+y-4=0 与圆 C 相切于点 D, 则点 C 与点 O 间的距离等于它到直线 2x+y-4=0 的距离, )

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∴点 C 在以 O 为焦点,以直线 2x+y-4=0 为准线的抛物线上, ∴当且仅当 O,C,D 共线时,圆的直径最小为|OD|. 又|OD|= |2×0+0-4| 4 = , 5 5 2 , 5 2 2 4 ) = π. 5 5

∴圆 C 的最小半径为

∴圆 C 面积的最小值为 π(

(2)根据题意,画出示意图,如图所示, 则圆心 C 的坐标为(3,4),半径 r=1,且|AB|=2m. 因为∠APB=90° ,连接 OP, 1 易知|OP|= |AB|=m. 2 要求 m 的最大值, 即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离. 因为|OC|= 32+42=5,所以|OP|max=|OC|+r=6, 即 m 的最大值为 6. 答案 (1)A (2)B 温馨提醒 与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值,求点到直线的

距离的最值,求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问 题转化.如本例(1)中,将面积问题转化为了点到直线的距离;(2)中,将参数范围转化为了两 圆位置关系问题.熟练掌握圆的几何性质是解决问题的根本. 二、圆与不等式的交汇问题 典例:(3)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x-1)2+(y-1)2=1 相切,则 m+ n 的取值范围是( A.[1- 3,1+ 3] B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) C.[2-2 2,2+2 2] D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞) (4)(2014· 安徽)过点 P(- 3,-1)的直线 l 与圆 x2+y2=1 有公共点,则直线 l 的倾斜角的取值 范围是( π? A.? ?0,6? π? C.? ?0,6? 思维点拨 ) π? B.? ?0,3? π? D.? ?0,3? 圆与不等式的交汇实质上反映了圆的独特性质,即圆内点、圆外点的性质,直线 )

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与圆相交、相离的性质,圆与圆的相交、相离的性质等,这些问题反映在代数上就是不等式 的形式. 解析 (3)根据圆心到直线的距离是 1 得到 m,n 的关系,再用基本不等式求解. 圆心(1,1)到直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 的距离为 1 所以 m+n+1=mn≤ (m+n)2, 4 所以 m+n≥2+2 2或 m+n≤2-2 2. | 3k-1| (4)设过点 P 的直线方程为 y=k(x+ 3)-1,则由直线和圆有公共点知 ≤1. 1+k2 π 解得 0≤k≤ 3.故直线 l 的倾斜角的取值范围是[0, ]. 3 答案 (3)D (4)D 温馨提醒 直线与圆位置关系的考查,一般是已知位置关系求参数值,基本不等式的考查, =1, ?m+1?2+?n+1?2 |m+n|

一般是给出参数关系,利用基本不等式求最值或范围.而典例(3)却以直线与圆的位置关系给 出参数之间的数量关系,利用基本不等式转化,结合换元法把关系转化为一元二次不等式, 从而求得 m+n 的取值范围,这一交汇命题新颖独特,考查知识全面,难度中等,需要注意各 知识点应熟练掌握才能逐一化解.

方法与技巧 1.直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合,“代数法”与“几何法”是 从不同的方面和思路来判断的. 2.求过一点的圆的切线方程时,首先要判断此点是否在圆上,然后设出切线方程.注意:斜 率不存在的情形. 3.圆的弦长的常用求法 l ?2 2 2 (1)几何法:求圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 l,则? ?2? =r -d ; (2)代数方法:运用根与系数的关系及弦长公式: |AB|= 1+k2|x1-x2| = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2]. 失误与防范 1.求圆的弦长问题,注意应用圆的性质解题,即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质,可以 用勾股定理或斜率之积为-1 列方程来简化运算. 2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条;过圆外一点作圆的切线有且只有两条,若仅求得一
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条,除了考虑运算过程是否正确外,还要考虑斜率不存在的情况,以防漏解.

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) 1.(2014· 湖南)若圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+y2-6x-8y+m=0 外切,则 m 等于( A.21 B.19 C.9 D.-11 答案 C 解析 圆 C2 的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25-m. 又圆 C1:x2+y2=1,∴|C1C2|=5. 又∵两圆外切,∴5=1+ 25-m,解得 m=9. 2.(2013· 福建)已知直线 l 过圆 x2+(y-3)2=4 的圆心,且与直线 x+y+1=0 垂直,则 l 的方 程是( ) B.x-y+2=0 D.x-y+3=0 )

A.x+y-2=0 C.x+y-3=0 答案 D

解析 圆 x2+(y-3)2=4 的圆心为点(0,3), 又因为直线 l 与直线 x+y+1=0 垂直, 所以直线 l 的斜率 k=1. 由点斜式得直线 l:y-3=x-0,化简得 x-y+3=0. 3.若圆 C1:x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R)与圆 C2:x2+y2+2by+b2-1=0 (b∈R)内切,则 ab 的最大值为( A. 2 )

B.2 C.4 D.2 2

答案 B 解析 圆 C1:x2+y2-2ax+a2-9=0 (a∈R). 化为:(x-a)2+y2=9,圆心坐标为(a,0),半径为 3. 圆 C2:x2+y2+2by+b2-1=0 (b∈R),化为 x2+(y+b)2=1,圆心坐标为(0,-b),半径为 1, ∵圆 C1:x2+y2-2ax+a2-9=0 (a∈R)与圆 C2:x2+y2+2by+b2-1=0 (b∈R)内切, 1 ∴ a2+b2=3-1,即 a2+b2=4,ab≤ (a2+b2)=2. 2 ∴ab 的最大值为 2. 4.(2013· 山东)过点 P(3,1)作圆 C:(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程为( )

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A.2x+y-3=0 C.4x-y-3=0 答案 A 解析

B.2x-y-3=0 D.4x+y-3=0

1 如图所示:由题意知: AB⊥PC,kPC= ,∴kAB=-2,∴直线 2

AB 的方程为 y-1=-2(x-1),即 2x+y-3=0. 5. 已知直线 y=kx+b 与圆 O: x2+y2=1 相交于 A, B 两点, 当 b= 1+k2 → → 时,OA· OB等于( )

A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),将 y=kx+b 代入 x2+y2=1 得(1+k2)x2+2kbx+b2-1=0, b2-1 2kb 故 x1+x2=- , 2,x1x2= 1+k 1+k2 → → 从而OA· OB=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2 2k2b2 2b2 2 =b2-1- -1=1. 2+b = 1+k 1+k2 6.若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 4x-x2有公共点,则 b 的取值范围是______________. 答案 1-2 2≤b≤3 解析 由 y=3- 4x-x2,得(x-2)2+(y-3)2=4(1≤y≤3). ∴曲线 y=3- 4x-x2是半圆,如图中实线所示. 当直线 y=x+b 与圆相切时, |2-3+b| =2.∴b=1± 2 2. 2 由图可知 b=1-2 2. ∴b 的取值范围是[1-2 2,3]. 7.(2014· 上海)已知曲线 C:x=- 4-y2,直线 l:x=6,若对于点 A(m,0),存在 C 上的点 P → → 和 l 上的 Q 使得AP+AO=0,则 m 的取值范围为________. 答案 [2,3] 解析 曲线 C: x=- 4-y2, 是以原点为圆心, 2 为半径的圆, 并且 xP∈[-2,0], 对于点 A(m,0), → → 存在 C 上的点 P 和 l 上的 Q 使得AP+AQ=0, 说明 A 是 PQ 的中点,Q 的横坐标 x=6, 6+xP ∴m= ∈[2,3]. 2 8.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0 (a>0)的公共弦长为 2 3,则 a=________.
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答案 1 解析 方程 x2+y2+2ay-6=0 与 x2+y2=4. 1 相减得 2ay=2,则 y= .由已知条件 a 即 a=1. 2 9.已知以点 C(t, )(t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O,A,与 y 轴交于点 O,B,其中 t O 为原点. (1)求证:△OAB 的面积为定值; (2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若|OM|=|ON|,求圆 C 的方程. 4 (1)证明 ∵圆 C 过原点 O,∴|OC|2=t2+ 2. t 2 4 设圆 C 的方程是(x-t)2+(y- )2=t2+ 2, t t 4 令 x=0,得 y1=0,y2= ; t 令 y=0,得 x1=0,x2=2t, 1 1 4 ∴S△OAB= |OA|· |OB|= ×| |×|2t|=4, 2 2 t 即△OAB 的面积为定值. (2)解 ∵|OM|=|ON|,|CM|=|CN|, ∴OC 垂直平分线段 MN. 1 ∵kMN=-2,∴kOC= . 2 2 1 ∴ = t,解得 t=2 或 t=-2. t 2 当 t=2 时,圆心 C 的坐标为(2,1),|OC|= 5, 此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= 圆 C 与直线 y=-2x+4 相交于两点. 当 t=-2 时,圆心 C 的坐标为(-2,-1),|OC|= 5, 此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= 圆 C 与直线 y=-2x+4 不相交, ∴t=-2 不符合题意,舍去. ∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 10. 已知矩形 ABCD 的对角线交于点 P(2,0), 边 AB 所在直线的方程为 x-3y-6=0, 点(-1,1) 在边 AD 所在的直线上. 9 > 5. 5 1 < 5, 5 1 22-? 3?2= , a

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(1)求矩形 ABCD 的外接圆的方程; (2)已知直线 l:(1-2k)x+(1+k)y-5+4k=0(k∈R),求证:直线 l 与矩形 ABCD 的外接圆恒相 交,并求出相交的弦长最短时的直线 l 的方程. 解 (1)∵lAB:x-3y-6=0 且 AD⊥AB, 点(-1,1)在边 AD 所在的直线上, ∴AD 所在直线的方程是 y-1=-3(x+1), 即 3x+y+2=0.
? ?x-3y-6=0, 由? 得 A(0,-2). ?3x+y+2=0, ?

∴|AP|= 4+4=2 2, ∴矩形 ABCD 的外接圆的方程是(x-2)2+y2=8. (2)直线 l 的方程可化为 k(-2x+y+4)+x+y-5=0, l 可看作是过直线-2x+y+4=0 和 x+y-5=0 的交点(3,2)的直线系, 即 l 恒过定点 Q(3,2), 由(3-2)2+22=5<8 知点 Q 在圆 P 内, ∴l 与圆 P 恒相交. 设 l 与圆 P 的交点为 M,N, 则|MN|=2 8-d2(d 为 P 到 l 的距离), 设 PQ 与 l 的夹角为 θ,则 d=|PQ|· sin θ= 5sin θ, 当 θ=90° 时,d 最大,|MN|最短. 1 此时 l 的斜率为 PQ 的斜率的负倒数,即- , 2 1 故 l 的方程为 y-2=- (x-3),即 x+2y-7=0. 2 B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟) 11.若直线 l:y=kx+1 (k<0)与圆 C:x2+4x+y2-2y+3=0 相切,则直线 l 与圆 D:(x-2)2 +y2=3 的位置关系是( A.相交 C.相离 答案 A 解析 因为圆 C 的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=2,所以其圆心坐标为(-2,1),半径为 2,因 为直线 l 与圆 C 相切.所以 |-2k-1+1| = 2,解得 k=± 1,因为 k<0,所以 k=-1,所以直 k2+1
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) B.相切 D.不确定

|2+0-1| 2 线 l 的方程为 x+y-1=0.圆心 D(2,0)到直线 l 的距离 d= = < 3,所以直线 l 与圆 2 2 D 相交. 12.设曲线 C 的方程为(x-2)2+(y+1)2=9,直线 l 的方程为 x-3y+2=0,则曲线上的点到直 7 10 线 l 的距离为 的点的个数为( 10 A.1 C.3 答案 B 解析 由(x-2)2+(y+1)2=9, 得圆心坐标为(2,-1),半径 r=3, 圆心到直线 l 的距离 d= |2+3+2| 1+?-3?
2=

)

B.2 D.4

7 7 10 = . 10 10

7 10 要使曲线上的点到直线 l 的距离为 , 10 此时对应的点在直径上,故有两个点. 13.(2013· 江西)过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y= 1-x2相交于 A、B 两点,O 为坐标原点,当 △AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于( A. 3 3 B.- 3 3 C.± 3 3 D.- 3 )

答案 B 1 1 1 解析 ∵S△AOB= |OA||OB|sin∠AOB= sin∠AOB≤ . 2 2 2 π 当∠AOB= 时, 2 △AOB 面积最大. 此时 O 到 AB 的距离 d= 2 . 2

设 AB 方程为 y=k(x- 2)(k<0), 即 kx-y- 2k=0.由 d= | 2k| 2 3 = 得 k=- . 3 k2+1 2 3 ). 3

(也可 k=-tan∠OPH=-

14.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0,若直线 y=kx-2 上至少存 在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是________. 答案 4 3

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解析 圆 C 的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为(4,0). 由题意知(4,0)到 kx-y-2=0 的距离应不大于 2, 即 |4k-2|
2

4 ≤2.整理,得 3k2-4k≤0.解得 0≤k≤ . 3 k +1

4 故 k 的最大值是 . 3 15. (2014· 重庆)已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4 相交于 A, B 两点, 且△ABC 为等边三角形,则实数 a=________. 答案 4± 15 |a+a-2| 解析 圆心 C(1, a)到直线 ax+y-2=0 的距离为 .因为△ABC 为等边三角形, 所以|AB| a2+1 |a+a-2| 2 =|BC|=2,所以( ) +12=22,解得 a=4± 15. a2+1 16.已知圆 O:x2+y2=4 和点 M(1,a). (1)若过点 M 有且只有一条直线与圆 O 相切,求实数 a 的值,并求出切线方程; (2)若 a= 2,过点 M 的圆的两条弦 AC,BD 互相垂直,求|AC|+|BD|的最大值. 解 (1)由条件知点 M 在圆 O 上, 所以 1+a2=4,则 a=± 3. 当 a= 3时,点 M 为(1, 3),kOM= 3,k 切=- 此时切线方程为 y- 3=- 即 x+ 3y-4=0, 当 a=- 3时,点 M 为(1,- 3),kOM=- 3,k 切= 此时切线方程为 y+ 3= 3 (x-1).即 x- 3y-4=0. 3 3 . 3 3 (x-1). 3 3 , 3

所以所求的切线方程为 x+ 3y-4=0 或 x- 3y-4=0.
2 2 (2)设 O 到直线 AC,BD 的距离分别为 d1,d2(d1,d2≥0),则 d1 +d2 2=OM =3. 2 又有|AC|=2 4-d2 1,|BD|=2 4-d2, 2 所以|AC|+|BD|=2 4-d2 1+2 4-d2. 2 2 2 则(|AC|+|BD|)2=4×(4-d2 1+4-d2+2 4-d1· 4-d2) 2 2 2 =4×[5+2 16-4?d2 1+d2?+d1d2 ] 2 =4×(5+2 4+d2 1d2). 2 2 2 9 因为 2d1d2≤d2 1+d2=3,所以 d1d2≤ , 4

- 15 -

当且仅当 d1=d2=

6 5 2 时取等号,所以 4+d2 1d2≤ , 2 2

5 所以(|AC|+|BD|)2≤4×(5+2× )=40. 2 所以|AC|+|BD|≤2 10, 即|AC|+|BD|的最大值为 2 10.

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