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高中数学选修2-1(人教B版)第一章常用逻辑用语1.3知识点总结含同步练习题及答案

高中数学选修2-1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 常用逻辑用语 1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式

一、学习任务 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,会判断必要条件、充分条件与充要条件. 二、知识清单
充分条件与必要条件 若则命题的四种形式 全称命题与特称命题

三、知识讲解
1.充分条件与必要条件 描述: 充分条件与必要条件 一般地,“若 p ,则 q ”为真命题,是指由 p 通过推理可以得出 q ,同时也称由 p 可以推 出 q ,记作 p ? q ,并且说 p 是 q 的充分条件(sufficient condition), q 是 p 的必要 条件(necessary condition). 充要条件 一般地,如果既有 p ? q ,又有 q ? p ,就记作 p ? q .此时, p 是 q 的充分必要条 件(sufficient and necessary condition),简称充要条件.如果 p 是 q 的充要条件,那么 q 也是 p 的充要条件,概括地说,如果 p ? q ,那么 p 与 q 互为充要条件. 例题: 判断下列各题中 p 是 q 的什么条件. (1)在 △ABC 中,p : A > B,q : BC > AC ; (2)p : x > 1 ,q : x 2 > 1 ; (3)p : (a ? 2)(a ? 3) = 0,q : a = 3 ; (4)p : a < b ,q : 解:(1)由三角形中大角对大边可知,若 A > B ,则 BC > AC ;反之,若 BC > AC ,则 A > B.因此 p 是 q 的充要条件. (2)由 x > 1 可以推出 x 2 > 1;由 x2 > 1 得 x < ?1 或 x > 1,不一定有 x > 1 .因此 p 是 q 的充分不必要条件. (3)由 (a ? 2)(a ? 3) = 0 可以推出 a = 2 或 a = 3,不一定有 a = 3;由 a = 3 可以得出 (a ? 2)(a ? 3) = 0 .因此 p 是 q 的必要不充分条件.

a < 1. b

a a > 1 ,当 b > 0 时, < 1 ,故 a < b 不一定有 b b a a a < 1 ;当 a > 0 ,b > 0 时, < 1 ,可以推出 a < b ;当 a < 0 ,b < 0 , < 1 b b b 时,可以推出 a > b .因此 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
(4)由于 a < b,当 b < 0 时, 下列命题为真的是______. ①“x = 3”是"x 2 = 9"的充分而不必要条件;
2

+

2

?4

②设x,y ∈ R,则“x ? 2” 且y ? 2“是"x2 + y 2 ? 4 "的充要条件; ③”m < 解:①

1 “是”一元二次方程x2 + x + m = 0 有实数解“的必要不充分条件. 4

命题① ,x = 3 时,x 2 = 9 ;但 x2 = 9时,x = 3 或 x = ?3.所以 “x = 3” 是 “ x2 = 9” 的充分但不必要条件; 命题②,由 x ? 2 且 y ? 2,即知 x2 ? 4 且 y 2 ? 4,故 x2 + y 2 ? 4 ,但 x ? ?2,y ? ?2 时仍有 x 2 + y 2 ? 4 成立.从而可知“x ? 2 且 y ? 2”是"x2 + y 2 ? 4 "的充分而不必要条 件. 命题③,当 m <

1 时,一元二次方程 Δ > 0 ,所以此方程有实数解; x2 + x + m = 0 有实 4 1 1 数解,所以 Δ ? 0 ,即 m ? ,所以“m < ” 是" 一元二次方程 x2 + x + m = 0 有实数 4 4
解"的充分不必要条件. 已知 p : ∣1 ?

件,求实数 m 的取值范围. 解:设 A = {x ∣ ∣1 ?

∣ ∣

x?1∣ ∣ ? 2 ,q : x2 ? 2x + 1 ? m 2 ? 0(m > 0) ,若 p 是 q 的充分不必要条 3 ∣ ∣∣ ∣∣ x?1∣ ∣ ? 2}, B = {x|x2 ? 2x + 1 ? m 2 ? 0} ,整理得 3 ∣ A = {x| ? 2 ? x ? 10}, B = {x|1 ? m ? x ? 1 + m}.

因为 p 是 q 的充分不必要条件,所以 A ? B.故

{ 1 + m ? 10, 或{ 1 + m > 10, 1 ? m < ?2, 1 ? m ? ?2,
解得 m ? 9 ,故实数 m 的取值范围是 [9, +∞).

2.若则命题的四种形式 描述: 若则命题 命题的常见形式为“若 p 则 q ”,其中 p 叫做命题的条件, q 叫做命题的结论. 逆命题 对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称 为互逆命题.其中一个命题称为原命题(original proposition),另一个称为原命题的逆命 题(inverse proposition).也就是说,如果原命题为“若 p ,则 q ”,那么它的逆命题 为“若 q ,则 p ”. 否命题 对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定,那么 这两个命题称为互否命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的否命题(negative proposition).也就是说,如果原命题为“若 p ,则 q ”,那么它的否命题为“若 ?p ,则 ?q ”. 逆否命题 对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,那么 这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆否命 题(inverse and negative proposition).也就是说,如果原命题为“若 p ,则 q ”,那么

它的逆否命题为“若 ?q ,则 ?p ”. 四种命题的相互关系 四种命题的真假关系 ① 互为逆否的两个命题,它们有相同的真假性; ② 互逆或互否的两个命题,它们的真假性没有关系. 例题: 把下列命题改写成“若 p ,则 q ” 的形式,并判断命题的真假. (1)当 ac > bc 时, a > b ; (2)已知 x ,y 为正整数,且 y = x + 1 ,当 y = 3 时,x = 2; (3)当 m > (4)菱形的对角线互相垂直. 解:(1)若 ac > bc,则 a > b,假命题; (2)已知 x ,y 为正整数,且 y = x + 1 ,若 y = 3,则 x = 2 ,真命题; (3)若 m > (4)若一个四边形是菱形,则它的对角线互相垂直,真命题.

1 时,mx 2 ? x + 1 = 0 无实数根; 4

1 ,则 mx 2 ? x + 1 = 0 无实数根,真命题; 4

写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假. (1)若 m ? n < 0 ,则方程 mx 2 ? x + n = 0 有实数根; (2)若 m ? 0 或 n ? 0,则 m + n ? 0 . 解:(1)逆命题:若方程 mx 2 ? x + n = 0 有实数根,则 m ? n < 0 ,假命题 ; 否命题:若 m ? n ? 0 ,则方程 mx2 ? x + n = 0 没有实数根,假命题 ; 逆否命题:若方程 mx 2 ? x + n = 0 没有实数根,则 m ? n ? 0 ,真命题. (2)逆命题:若 m + n ? 0 ,则 m ? 0 或 n ? 0 ,真命题; 否命题:若 m > 0 且 n > 0,则 m + n > 0 ,真命题 ; 逆否命题:若 m + n > 0 ,则 m > 0 且 n > 0 ,假命题 .

3.全称命题与特称命题 描述: 全称量词与全称命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词(universal quantifier),并用符 号“ ? ”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题.通常,将含有变量 x 的语句用 p(x) , q(x) , r(x) , ? 来表示,变量 x 的取值范围用 M 表示,那么,全称命题“对 M 中任意 一个 x ,有 p(x) 成立”可用符号简记为 ?x ∈ M , p(x) . 特称量词与特称命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词(existential quantifier),并 用符号“ ? ”表示.含有特称量词的命题,叫做特称命题.特称命题“存在 M 中元素 x 0 , 使 p(x) 成立”可用符号简记为 ?x ∈ M , p(x) .

四、课后作业

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1. 命题"若 α = A.若 α ≠

π ,则 tan α ≠ 1 4 π C.若 tan α ≠ 1,则 α ≠ 4
答案: C

π ,则 tan α = 1 "的逆否命题是 ( 4

) π ,则 tan α ≠ 1 4 π D.若 tan α ≠ 1,则 α = 4
B.若 α =

2. 设集合 A = {x ∣ C.充要条件
答案: A

∣x?1 < 0},B = {x || x ? 1 | < a} ,则" a = 1 "是" A ∩ B ≠ ? "的 ( ∣x+1
B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

)

A.充分不必要条件

? ? 3. 设 p : √? 2? x? ? 1 ? 1 , q : (x ? a) [x ? (a + 1)] ? 0 ,若 q 是 p 的必要而不充分条件,则实数 a 的
取值范围是 ( A.[0,

)

C.(?∞, 0] ∪ [
答案: A 解析: 若

1 ] 2

1 , +∞) 2

B.(0,

D.(?∞, 0) ∪ (

1 ) 2

1 , +∞) 2

q 是 p 的必要而不充分条件,则 p ? q.
条件.

4. 条件甲: x ≠ 1 且 y ≠ 2 ;条件乙: x + y ≠ 3 , 则乙是甲的
答案: 既不充分也不必要 解析: 使用逆否命题判断较简单.

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