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河北省衡水市冀州中学2015-2016学年高二数学下学期期末考试试题B卷 文

试卷类型:B 卷

河北冀州中学 2015—2016 学年度下学期期末考试 高二年级数学试题(文)
考试时间 120 分钟 试题分数 150 分 一、选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的.) 1.已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5}, A ? ?1, 2,3? , B ? ?3, 4? , 则CU ( A ? B) =( A.{5} B.{3} C.{1,2,4,5}
2

).

D.{1,2,3,4} )
2

2.命题“ ?x ? R , x ? 2 x ? 2 ? 0 ”的否定是( A. ?x ? R , x ? 2 x ? 2 ? 0
2

B. ?x ? R , x ? 2 x ? 2 ? 0 D. ?x ? R , x ? 2 x ? 2 ? 0
2

C. ?x ? R , x ? 2 x ? 2 ? 0
2

3.设 a ? R ,则 a ? 1 是

1 ? 1 的( a
0.3

) D.必要但不充分条件

A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分但不必要条件 4. 设 a ? log 1 3 , b ? ? ?
2

?1? , c ? ln ? ,则( ?3?
C. a ? c ? b

) D. b ? a ? c )

A. c ? a ? b

B. a ? b ? c

5.已知等比数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且 S3 ? 7 a1 ,则数列 {an } 的公比 q 的值为( A.2 B.3 C.2 或 3 D.2 或-3

6.正三角形 ABC 中, AB ? 3 , D 是边 BC 上的点,且满足 BC =2 BD ,则 AB ? AD =( ) A.

??? ?

????

??? ? ????

9 2

B.

13 2

C.

21 2

D.

27 4

7.执行如右图所示的程序框图,若输出的 k ? 5 ,则输入的整数 p 的最大值为( ) A.31 B.16 C.15 D.14

8.已知某几何体的三视图如图所示,当 xy 取得最大值时, 该几何体的体积为( A. 16 7 B. 8 7
正视图 y 侧视图



10

x

C. 4 7

D. 2 7
俯视图

2 7

1

π 9.函数 f(x)=sin(ω x+φ ),(其中|φ |< )的图象如图所示,为了得到 g(x)=sinω x 的 2 图象,则只要将 f(x)的图象( ) π π A.向右平移 个单位 B.向右平移 个单位 12 6 π π C.向左平移 个单位 D.向左平移 个单位 12 6 10.偶函数 f(x)满足 f(x-1)=f(x+1),且在 x∈[0,1]时,f(x)=x ,则关于 x 的方程

f(x)= log 4 x 在 x∈[0,4]上解的个数是(
A.4
2

) D.1

B.3
2

C.2

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线的右 2 a b 支上,且 | PF 为( ) 1 |? 4 | PF 2 | ,则此双曲线的离心率 e 的值不可能 ...
11.已知双曲线 A.

5 3

B.

4 3
x

C.

5 4
2

D. 2

12.已知函数 f(x)=e -1,g(x)=-x +4x-4.若存在实数 a , b 使得 f(a)=g(b)成立,则 b 的取值范围为( ) A.[1,3] B.(1,3) C.[2- 2,2+ 2] D.(2- 2,2+ 2)

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.函数 f ( x) ? e sin x 的图象在点 (0, f (0)) 处的切线的倾斜角为__________.
x

14.若命题: ?x ∈R, x 2 -2ax+a>0”为真命题,则

2a 2+1 的最小值是__________. a

15.如图,点(x,y)在四边形 ABCD 内部和边界上运动, 那么 3x-y 的最小值为________. 16.在数列 ?a n ? 中, n ? N * ,若

a n ? 2 ? a n ?1 ? k (k 为常数), a n ?1 ? a n

则称 ?a n ? 为“等差比数列”,下列是对“等差比数列”的判断: ①k 不可能为 0;②等差数列一定是“等差比数列”; ③等比数列一定是“等差比数列”;④“等差比数列”中可以有无数项为 0.其中正确判断 命题的序号是_________

2

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)
1 已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? , x ? R. 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值和最小正周期 ; (Ⅱ) ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别 a , b, c, 且 c ? 3 , f (C ) ? 0 ,若 sin( A ? C ) ? 2sin A, 求 a , b 的 值.

18. (本小题满分 12 分) 某高校在 2015 年的自主招生考试成绩中随机抽取 40 名学生的笔试成绩,按成绩共分成五组: 第 1 组[75,80),第 2 组[80,85),第 3 组[85,90),第 4 组[90,95),第 5 组[95,100],得到的频率 分布 直方图如图所示,同时规定成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生为“优秀”, 成绩小于 90 分 的学 生为“良好”,且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格.

(I)求“优秀”和“良好”学生的人数; (11)如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中选出 10 人,求“优秀”和“良 好” 的学生分别选出几人? (III)已知甲是在(II)选出的“优秀”学生中的一个,若从选出的“优秀”学生中再选 2 人 参加某专项测 试,求甲被选中的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形 E, F 分别为 PC,BD 的中点, 侧面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA=PD= (Ⅰ)求证:EF//平面 PAD;

2 AD. 2

3

(Ⅱ)求三棱锥 C—PBD 的体积.

20. (本小题满分 12 分) 已知:圆 O1 过点(0,1),并且与直线 y ? ?1 相切,则圆心 O1 的轨迹为 C ,过一点 A(1,1) 作直 线 l 与曲线 C 交于不同两点 M , N ,分别在 M , N 两点处作曲线 C 的切线 l1 , l2 ,直线 l1 , l2 的 交点 为 P。 (1)求曲线 C 的轨迹方程. (2)求证:直线 l1 , l2 的交点 P 在一条直线上,并求出此直线方程. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? a ln x (Ⅰ)当 a=﹣2 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 g(x)= f ( x) + 【选考题】 请考生在第 22、23、24 题中任选一道作答,多答、不答按本选考题的首题进行评分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示, PA 为圆 O 的切线, A 为切点,

2 在 [ 1,+∞)上是单调函数,求实数 a 的取值范围. x

PA ? 20 , PB ? 10, PO交圆O于B, C两点,
?BAC 的角平分线与 BC 和圆 O 分别交于点 D 和 E .
(I) 求证 AB ? PC ? PA ? AC (II) 求 AD ? AE 的值.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系 xOy ,以 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, ,曲线 C 的 参数方程为 ? 为 ( ?1 ,

? x ? 2 cos? , (?为参数) 。点 A, B 是曲线 C 上两点,点 A, B 的极坐标分别 ? y ? 2 ? 2sin ? ,

5? )。 3 6 (I)写出曲线 C 的普通方程和极坐标方程; ), ( ? 2,
4

?

(II)求 AB 的值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? a |, a ?R. (I)当 a ? 3 时,解不等式

f ?x ? ? 0 ;

(II)当 x ? (??, 2) 时, f ( x) ? 0 .求 a 的取值范围。 河北冀州中学 2015—2016 学年度下学期期末考试 高二年级数学答案(文)
一. 选择题:

A 卷:BAACC B 卷:ABCBD 二. 填空题:

BBDAD DCABA

BD DB

?
4

2 2

2

①④

三.解答题: 17. (本小题满分 12 分) 解:(1) f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 2 2 6

则 f ( x ) 的最大值为 0, x ? 最小正周期是 T ?

?
3

? k? (k ? Z ) 时取到; -------------5 分

2? ? ? [------------------------------6 分 2

) ? 1 ? 0 则 sin(2C ? ) ? 1 6 6 ? ? 11 ? ? ? ? 0 ? C ? ? ? 0 ? 2C ? 2? ?? ? 2C ? ? ? ? 2C ? ? ? C ? 6 6 6 6 2 3 a 1 ?sin( A ? C ) ? 2sin A 由正弦定理得 ? ① b 2
2 2 2 由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos

(2) f (C ) ? sin(2C ?

?

?

?

3

2 2 即 a ? b ? ab ? 9 ②

由①②解得 a ? 3

b ? 2 3 ----------------------------12 分

18. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)依题意良好学生的人数是 40 ? ? 0.01 ? 0.07 ? 0.06? ? 5 ? 28 , 优秀学生人数是

40 ? 28 ? 12

----------------------- 4 分

5

(Ⅱ)优秀与良好的人数之比是 3: 7 ,所以采用分层抽样抽取的 10 人中优秀人数是 3,良 好人数是 7 ------------------------ 8 分

(Ⅲ) 将(Ⅱ)中选取的优秀学生记作甲,乙,丙,则从这 3 人中选取 2 人的基本事件是甲乙, 乙丙,甲丙共 3 个,其中含甲的基本事件是甲乙,甲丙共 2 个,所以甲被选中的概率是 ----------------------------12 分 19. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)证明:连接 AC,则 F 是 AC 的中点, E 为 PC 的中点,故在 ? CPA 中,EF//PA, 且 PA ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD,∴EF//平面 PAD---6 分 (Ⅱ)取 AD 的中点 M,连接 PM,∵PA=PD,∴PM⊥AD, 又平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,∴PM⊥平面 ABCD. 在直角 ? PAM 中,求得 PM= ∴ VC ? PBD ? V P ? BCD

2 3

1 a, 2

a3 1 ? S ?BCD ? PM= ---------12 分 3 12

20.解: (1)由定义可知 C 的轨迹方程为 x2 ? 4 y . -----------------4 分 (2)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , 直线 MN 的方程 y ? 1 ? k ( x ? 1) 在 M 处的切线方程为 x1 x ? 2( y ? y1 ) 在 N 处的切线方程为 x2 x ? 2( y ? y2 ) 解得 P 点坐标为( 而?

x1 ? x2 x1 x2 , ) ---------------------8 分 2 4
2 ,整理得 x ? 4kx ? 4k ? 4 ? 0

? y ? 1 ? k ( x ? 1)
2 ?x ? 4 y

所以 x ? 2k , y ? k ? 1 故 k 点所在直线方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 . ----------------------12 分 21.解:(Ⅰ) f ( x) 的单调递增区间是(1,+∞), f ( x) 的单调递减区间是(0,1). -----4 分 (Ⅱ)由题意得 g ?( x) ? 2 x ?

a 2 ? ,函数 g(x)在 [ 1,+∞)上是单调函数. x x2

若函数 g(x)为 [ 1,+∞)上的单调增函数,则 g ?( x) ? 0 在 [ 1,+∞)上恒成立,

6

即a ?

2 2 ? 2 x 2 在 [ 1,+∞)上恒成立,设 ? ( x) ? ? 2 x 2 ,-------------8 分 x x

∵ ? ( x) 在 [ 1,+∞)上单调递减, ∴ ? ( x)max ? ? (1) ? 0 ,∴a≥0 ---------------------------------10 分 ②若函数 g(x)为 [ 1,+∞)上的单调减函数,则 g ?( x) ? 0 在 [ 1,+∞)上恒成立,不可能. ∴实数 a 的取值范围 [ 0,+∞)-----------------------------------12 分 23. (本题满分 10 分) 解:(1) 参数方程 ? 分 普通方程 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ? ? ? 4sin ? 方法 1: A( ?1 , 方 法 2 ( ?1 , ------10 分 24.(本题满分 10 分)

? x ? 2cos? , (?为参数) ? 普通方程 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 y ? 2 ? 2sin ? , ?

------3

(?为参数)

------6 分

?
3

), B( ? 2,

?
3

), ( ? 2,

5? ) ? 直 角 坐 标 A( 3 , 3B ) ,? ( 6

5? ? ) 可知 ?AOB ? , AB 为直径, AB ? 4 6 2
两 ? 3,1 ) 点 间 距 离 AB ? 4

? ?1 ? x, x ? 2 ? 3 ? 解: (1) f ( x) ? ?5 ? 3 x, ?x?2 2 ? 3 ? x ? 1, x ? ? ? 2


------2

当x ? 2时, 1 ? x ? 0, 即x ? 1, 解得? 3 5 3 5 当 ? x ? 2时, 5 ? 3x ? 0, 即x ? , 解得 ? x ? 2 3 2 3 3 3 当x ? 时,x ? 1 ? 0, 即x ? 1, 解得1 ? x ? 2 2 ? 5? 不等式解集为 ? x 1 ? x ? ? 3? ?
------5 分

7

(2) 2 ? x ? | 2 x ? a |? 0 ? 2 ? x ?| 2 x ? a |? x ? a ? 2或x ? 即a ? 4 分

a?2 恒成立 3
------10

8