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2018_2019高中数学第二章数列2.3.3第2课时等比数列前n项和的性质及应用课件苏教版必修5 (1)_图文

第2章 2.3.3 等比数列的前n项和 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 学习目标 1.理解等比数列前n项和公式的函数特征. 2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题. 3.会用错位相减法求和. 内容索引 问题导学 题型探究 达标检测 问题导学 知识点一 思考 等比数列前n项和公式的函数特征 若数列{an}的前n项和Sn=2n-1,那么数列{an}是不是等比数列? 若数列{an}的前n项和Sn=2n+1-1呢? 答案 当Sn=2n-1时, ? ? ?S1,n=1, ?1,n=1, an=? =? n-1 n∈N*是等比数列; ? ? ?Sn-Sn-1,n≥2 ?2 ,n≥2 当Sn=2n+1-1时, ? ? ?S1,n=1, ?3,n=1, an=? =? n n∈N*不是等比数列. ? ? ?Sn-Sn-1,n≥2 ?2 ,n≥2 梳理 当公比q≠1时,设A= a1 ,等比数列的前n项和公式是 q-1 Sn=A(qn-1).即Sn是n的指数型函数. 当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,Sn是n的正比例函数. 知识点二 等比数列前n项和的性质 思考 若公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn, S3n-S2n成等比数列吗? 梳理 等比数列{an}前n项和的三个常用性质: (1)数列{an}为公比不为-1的等比数列,Sn为其前n项和,则Sn,S2n- Sn,S3n-S2n仍构成等比数列. (2)若{an}是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+qnSm(n,m∈N*). (3)若{an}是公比为q的等比数列,S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇 S偶 数项和,则:①在其前2n项中, =q ; S奇 ②在其前2n+1项中,S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1 a1+a2n+1q a1+a2n+2 = = (q≠-1). 1-?-q? 1+q [思考辨析 判断正误] 1.对于公比q≠1的等比数列{an}的前n项和公式,其qn的系数与常数项 互为相反数.( √ ) 2.当{an}为等差数列,{bn}为公比不是1的等比数列时,求数列 前n项和,适用错位相减法.( √ ) ? ?a n ? ? ? ? ? ?b n ? ? 的 题型探究 类型一 等比数列前n项和公式的函数特征应用 例1 已知数列{an}的前n项和Sn=an-1(a是不为零且不等于1的常数), 求证:数列{an}为等比数列. 证明 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(a-1)· an-1; 当n=1时,a1=a-1,满足上式, ∴an=(a-1)· an-1,n∈N*. an+1 ∴ a =a, n ∴数列{an}是等比数列. 证明 反思与感悟 ? ?S1,n=1, (1)已知 Sn,通过 an=? 求通项 an,应特别 ? ?Sn-Sn-1,n≥2 注意 n≥2 时,an=Sn-Sn-1. (2)若数列{an}的前 n 项和 Sn=A(qn-1), 其中 A≠0, q≠0 且 q≠1, 则{an} 是等比数列. 1 -3 跟踪训练1 若{an}是等比数列,且前n项和为Sn=3n-1+t,则t=________. 解析 显然q≠1,此时应有Sn=A(qn-1), 1 n 1 又 Sn=3· 3 +t,∴t=-3. 解析 答案 类型二 等比数列前n项和的性质 命题角度1 连续n项之和问题 例2 已知等比数列前n项,前2n项,前3n项的和分别为Sn,S2n,S3n, 2 求证:S2 + S n 2n=Sn(S2n+S3n). 证明 反思与感悟 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法: (1)运用等比数列的前n项和公式,要注意公比q=1和q≠1两种情形,在 解有关的方程(组)时,通常用约分或两式相除的方法进行消元. (2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质整体处理. 跟踪训练2 在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n. 解 由等比数列前n项和的性质得, Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列, ∴122=48(S3n-60), 解得S3n=63. 解答 命题角度2 不连续n项之和问题 例3 a1+a3+a5+a7 1 -3 已知等比数列{an}的公比 q=-3,则 =______. a2+a4+a6+a8 解析 ∵a2+a4+a6+a8 =a1q+a3q+a5q+a7q =q(a1+a3+a5+a7), a1+a3+a5+a7 1 ∴ =q=-3. a2+a4+a6+a8 解析 答案 反思与感悟 注意观察序号之间的联系,发现解题契机;整体思想能使 问题的解决过程变得简洁明快. 跟踪训练3 设数列{an}是以2为首项,1为公差的等差数列;数列{bn}是以 1 2 3 6 126 1为首项,2为公比的等比数列,则 ba +ba +ba + ? +ba =____. 解析 ∵ ba n +1 ba = b1 ? q an+1 an ?1 ?1 n b1 ? q ? q an+1 -an =2, ∴{ ba }是首项为b2,公比为2的等比数列. n b2?1-26? 7 ∴ ba1 +ba2 + ? +ba6 = =2 -2=126. 1-2 解析 答案 类型三 错位相减法求和 例4 ? ?n? ? 求数列? n?的前 ? ?2 ? ? n 项和. 1 2 3 n 解 设 Sn=2+22+23+…+2n, n-1 1 1 2 n 则有2Sn=22+23+…+ 2n + n+1, 2 1 1 1 1 1 n 两式相减,得 Sn-2Sn=2+22+23+…+2n- n+1, 2 1? 1? ? ? 1 - n? 2 2? 1 1 n n ? ? 即2Sn= 1 -2n+1=1-2n-2n+1.