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2014-2015学年山西省太原五中高一(下)段考数学试卷 Word版含解析

2014-2015 学年山西省太原五中高一(下)段考数学试卷
一、选择题(每小题 3 分,共 36 分,每小题只有一个正确答案) 1.若 sinα?tanα>0,则角 α 的终边在( ) A. 第一象限 B. 第四象限 C. 第一或四象限 限 2.cos45°?cos15°+sin45°?sin15°=( A. B. ) C. D.

D. 第二或三象

3.如图,在正六边形 ABCDEF 中,点 O 为其中心,则下列判断错误的是(



A.

=

B.



C.

D.

4.函数 y=2cos (x﹣

2

)﹣1 是(

) B. 最小正周期为 π 的偶函数 D. 最小正周期为 的偶函数

A. 最小正周期为 π 的奇函数 C. 最小正周期为 的奇函数

5.下列四式不能化简为 A. C.

的是( B. D.



6.为了得到函数 y=2sin(2x+ A. 向左平移 B. 向左平移

)的图象,只需把函数 y=2sinx 的图象(



个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) 个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变) 个单位长

C. 各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的 2 倍,再把所得图象向左平移 度

D. 各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的 倍,再把所得图象向左平移

个单位长度

7.若 P 为△ ABC 所在平面内的一点,满足 A. P 在△ ABC 的内部 C. P 在 AB 边所在的直线上

+

+

=

,则点 P 的位置为(



B. P 在△ ABC 的外部 D. P 在 AC 边所在的直线上 )

8.函数 y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图,此函数的解析式为(

A. y=2sin(2x+ (2x﹣ )

) B. y=2sin(2x+



C. y=2sin( ﹣

) D. y=2sin

9.设 a= cos6°﹣ A. a>b>c 10.已知

sin6°,b=2sin13°cos13°,c= B. a<b<c C. b<c<a

,则有(

) D. a<c<b

,且 sinθ+cosθ=a,其中 a∈(0,1) ,则关于 tanθ 的值,在以下四 ) C. D . ﹣3 或

个答案中,可能正确的是( A. ﹣3

B. 3 或

11.E,F 是等腰直角△ ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan∠ECF=(



A.

B.

C.

D.

12.已知函数 f(x)=sinωx+cosωx(ω>0) ,如果存在实数 x1,使得对任意的实数 x,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x1+2015)成立,则 ω 的最小值为( ) A. B. C. D.

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.在△ ABC 中,cosA= sinA,则 A=



14.若|

=|

|=3,∠AOB=60°,则| .

+

|=



15.=

16.若函数 f(x)=2sin(3x﹣ ①函数 f(x)的图象关于点( ②函数 f(x)的图象关于直线 x= ③在 x∈[ ,

) ,有下列结论: ,0)对称; π 对称;

π]为单调增函数. . (填相应结论对应的序号)

则上述结论题正确的是

三、解答题(共 48 分,每题 12 分) 17.已知 的值. (2)求 的值. ,求

1015 春?太原校级月考)已知 α、β∈(0,π) ,且 tanα、tanβ 是方程 x +5 (Ⅰ)求 α+β 的值; (Ⅱ)求 cos(α﹣β)的值. 1015 春?太原校级月考)已知函数 ,

2

x+6=0 的两根.



(I)求函数 h(x)=f(x)+g(x)的单调递增区间. (II)设 x=x0 是函数 y=f(x)图象的一条对称轴,求 g(x0)的值. 2015 春?太原校级月考)如图,点 A,B 是单位圆上的两点,A,B 点分别在第一、二象限, 点 C 是圆与 x 轴正半轴的交点,△ AOB 是正三角形,记∠COA=α. (1)若点 A 的坐标为( , ) ,求 cos2α 的值; (2)分别过 A,B 作 x 轴的垂线,垂足为 D,E,求当角 α 为何值时,三角形 AED 面积最 大?并求出这个最大面积.

2014-2015 学年山西省太原五中高一(下)段考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 3 分,共 36 分,每小题只有一个正确答案) 1.若 sinα?tanα>0,则角 α 的终边在( ) A. 第一象限 B. 第四象限 C. 第一或四象限 限 考点:三角函数值的符号;象限角、轴线角. 专题:计算题;三角函数的求值. 分析:根据同角三角函数的关系化简得 sinα?tanα= 以 cosα>0.由此即可得到角 α 的终边所在的象限. 解答: 解:∵tanα= ∴sinα?tanα=sinα? ∵sinα?tanα>0, 即 >0,可得 cosα 是正数. = , , ,结合题意得

D. 第二或三象

>0,所

∴角 α 的终边在第一或四象限. 故选:C 点评:本题给出 sinα?tanα>0,求角 α 的终边所在的象限.考查了三角函数的定义及其符号 判断的知识,属于基础题. 2.cos45°?cos15°+sin45°?sin15°=( A. B. ) C. D.

考点:两角和与差的余弦函数. 专题:三角函数的求值. 分析:由两角差的余弦公式和题意可得答案. 解答: 解:由两角差的余弦公式可得 cos45°?cos15°+sin45°?sin15° =cos(45°﹣15°)=cos30°= 故选:B 点评:本题考查两角差的余弦公式,属基础题. 3.如图,在正六边形 ABCDEF 中,点 O 为其中心,则下列判断错误的是( )

A.

=

B.



C.

D.

考点:平行向量与共线向量. 专题:平面向量及应用. 分析:根据正六边形性质及相等向量的定义可得答案. 解答: 解:由图可知, ,但 不共线,故 ,

故选 D. 点评:本题考查平行向量与共线向量、相等向量的意义,属基础题.
2

4.函数 y=2cos (x﹣

)﹣1 是(

) B. 最小正周期为 π 的偶函数 D. 最小正周期为 的偶函数

A. 最小正周期为 π 的奇函数 C. 最小正周期为 的奇函数

考点:三角函数的周期性及其求法;函数奇偶性的判断. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式,求出周期,判定奇偶性. 解答: 解:由 y=2cos (x﹣
2

)﹣1=cos(2x﹣
2

)=sin2x, )﹣1 是奇函数.

∴T=π,且 y=sin2x 奇函数,即函数 y=2cos (x﹣

故选 A. 点评:本题考查三角函数的周期性及其求法,函数奇偶性的判断,是基础题.

5.下列四式不能化简为 A. C.

的是( B. D.



考点:向量加减混合运算及其几何意义. 专题:证明题. 分析:由向量加法的三角形法则和减法的三角形法则,分别将 B、C、D 三个选项中的向量 式化简,利用排除法得正确选项 解答: 解:由向量加法的三角形法则和减法的三角形法则,

= = = = = 故排除 C

=

=

,故排除 B

,故排除 D

故选 A 点评:本题考查了向量加法的三角形法则和减法的三角形法则及其应用,排除法解选择题

6.为了得到函数 y=2sin(2x+ A. 向左平移 B. 向左平移

)的图象,只需把函数 y=2sinx 的图象(



个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) 个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变) 个单位长

C. 各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的 2 倍,再把所得图象向左平移 度 D. 各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的 倍,再把所得图象向左平移

个单位长度

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由条件利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解答: 解:把函数 y=2sinx 的图象向左平移 (x+ ) , 个单位长度,得到的函数解析式为:y=2sin

再把所得各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变) ,得到的函数解析式为:y=2sin (2x+ ) ,

故选:B. 点评:本题考查的知识要点:函数图象的变换问题平移变换和伸缩变换,属于基础题型.

7.若 P 为△ ABC 所在平面内的一点,满足 A. P 在△ ABC 的内部 C. P 在 AB 边所在的直线上 考点:向量的加法及其几何意义. 专题:计算题;平面向量及应用.

+

+

=

,则点 P 的位置为(



B. P 在△ ABC 的外部 D. P 在 AC 边所在的直线上

分析:用向量的运算法则将等式变形,得到 P 在 AC 边所在的直线上. 解答: 解:∵ ∴ ∴ + + = =2 + ﹣ , + , = ,

= ﹣2

,据三点共线的充要条件得出结论:

=﹣2

∴P 是 AC 边的一个三等分点. 故选:D.

点评:本题考查了向量的加法及其几何意义.分析出

=﹣2

是解题的难点.

8.函数 y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图,此函数的解析式为(



A. y=2sin(2x+ (2x﹣ )

) B. y=2sin(2x+



C. y=2sin( ﹣

) D. y=2sin

考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 分析:根据已知中函数 y=Asin(ωx+?)在一个周期内的图象经过(﹣ ,2)和(﹣ ,

2) ,我们易分析出函数的最大值、最小值、周期,然后可以求出 A,ω,φ 值后,即可得到 函数 y=Asin(ωx+?)的解析式. 解答: 解:由已知可得函数 y=Asin(ωx+?)的图象经过(﹣ 则 A=2,T=π 即 ω=2 则函数的解析式可化为 y=2sin(2x+?) ,将(﹣ ,2)代入得 ,2)点和(﹣ ,2)



+?=

+2kπ,k∈Z, +2kπ,k∈Z,

即 φ=

当 k=0 时,φ= 此时 故选 A 点评:本题考查的知识点是由函数 y=Asin(ωx+?)的部分图象确定其解析式,其中 A= | 最大值﹣最小值|,|ω|= ,φ=L?ω(L 是函数图象在一个周期内的第一点的向左平移量) .

9.设 a= cos6°﹣ A. a>b>c

sin6°,b=2sin13°cos13°,c= B. a<b<c C. b<c<a

,则有(

) D. a<c<b

考点:两角和与差的正弦函数. 专题:三角函数的求值. 分析:化简可得 a=sin24°,b=sin26°,c=sin25°,由三角函数的单调性可得. 解答: 解:化简可得 a= cos6°﹣ b=2sin13°cos13°=sin26°; c= = =sin25°, sin6°=sin(30°﹣6°)=sin24°;

由三角函数的单调性可知 a<c<b 故选:D 点评:本题考查三角函数公式的应用,涉及三角函数的单调性,属基础题. ,且 sinθ+cosθ=a,其中 a∈(0,1) ,则关于 tanθ 的值,在以下四 ) C. D . ﹣3 或

10.已知

个答案中,可能正确的是( A. ﹣3

B. 3 或

考点:同角三角函数间的基本关系. 专题:计算题. 分析:由 θ 的范围,得到 cosθ 大于 0,把已知的等式两边平方,利用同角三角函数间的基 本关系化简后,由 a 的范围得到 2sinθcosθ 的值大于 0,进而得到 sinθ 的值小于 0,又根据 sinθ+cosθ=a,a 大于 0,得到 cosθ>﹣sinθ>0,再利用不等式的基本性质及同角三角函数间 的基本关系化简,得到 tanθ 值的范围,即可判断出符合题意的 tanθ 值的可能值.

解答: 解:由

,得到 cosθ>0,

所以把 sinθ+cosθ=a 两边平方得: 2 2 (sinθ+cosθ) =a , 2 2 2 即 sin θ+cos θ+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ=a ,又 a∈(0,1) , 2 所以 2sinθcosθ=a ﹣1<0,所以 sinθ<0, 又 sinθ+cosθ=a>0, 所以 cosθ>﹣sinθ>0, 则﹣1<tanθ<0. 故选 C 点评:此题考查了同角三角函数间的基本关系, 要求学生掌握余弦函数的图象与性质, 不等 式的基本性质, 以及同角三角函数间的基本关系, 解本题的思路是利用同角三角函数间的基 本关系及不等式的基本性质求出 tanθ 的范围. 11.E,F 是等腰直角△ ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan∠ECF=( )

A.

B.

C.

D.

考点:余弦定理. 专题:计算题. 分析:约定 AB=6,AC=BC= ,先在△ AEC 中用余弦定理求得 EC,进而在△ ECF 中利 用余弦定理求得 cosECF,进而用同角三角函数基本关系求得答案. 解答: 解:约定 AB=6,AC=BC= , 由余弦定理可知 cos45°= 解得 CE=CF= , = , = ;

再由余弦定理得 cos∠ECF= ∴

点评:考查三角函数的计算、解析化应用意识. 12.已知函数 f(x)=sinωx+cosωx(ω>0) ,如果存在实数 x1,使得对任意的实数 x,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x1+2015)成立,则 ω 的最小值为( ) A. B. C. D.

考点:两角和与差的正弦函数;正弦函数的图象. 专题:计算题;三角函数的图像与性质. 分析:由题意可得区间[x1, x1+2015]能够包含函数的至少一个完整的单调区间, 利用两角和 的正弦公式求得 f(x)= sin(ωx+ ) ,由 2015≥ ? 求得 ω 的最小值.

解答: 解:显然要使结论成立,只需保证区间[x1,x1+2015]能够包含函数的至少一个完整 的单调区间即可, 又∵f(x)=sinωx+cosωx= ∴ω≥ , , sin(ωx+ ) ,则 2015≥ ? ,

则 ω 的最小值为:

故选:B. 点评:本题主要考查两角和的正弦公式,正弦函数的单调性和周期性,属于中档题. 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.在△ ABC 中,cosA= sinA,则 A=

30° .

考点:同角三角函数基本关系的运用. 专题:三角函数的求值. 分析:已知等式变形后,利用同角三角函数间基本关系求出 tanA 的值,即可确定出 A 的度 数. 解答: 解:∵在△ ABC 中,cosA= sinA,即 tanA= ,

∴A=30°, 故答案为:30°. 点评:此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.

14.若|

=|

|=3,∠AOB=60°,则|

+

|=

3



考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:由已知求出 的数量积,然后将所求平方展开,求值.

解答: 解:由已知得到 | + |= + |= =3 ;
2

=3 × = , =3 +3 +9=27,
2 2

2

所以|

故答案为:3 . 点评:本题考查了平面向量的数量积公式的运用以及没有坐标表示的向量的模的求法; 经常 考查,注意掌握. 15.= 2 .

考点:两角和与差的正切函数. 专题:三角函数的求值. 分析:由于原式=1+tan17°+tan28°+tan17°?tan28°,再由 tan(17°+28°) = =tan45°=1,可得 tan17°+tan28°=1﹣tan17°?tan28°,代入原式可得结

果. 解答: 解:原式=1+tan17°+tan28°+tan17°?tan28°,又 tan(17°+28°) = =tan45°=1,

∴tan17°+tan28°=1﹣tan17°?tan28°, 故 (1+tan17°) (1+tan28°)=2, 故答案为 2. 点评:本题主要考查两角和的正切公式的应用,属于中档题.

16.若函数 f(x)=2sin(3x﹣ ①函数 f(x)的图象关于点( ②函数 f(x)的图象关于直线 x= ③在 x∈[ ,

) ,有下列结论: ,0)对称; π 对称;

π]为单调增函数.

则上述结论题正确的是 ①②③ . (填相应结论对应的序号) 考点:正弦函数的图象. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可得到结论. 解答: 解:①f( 对称,故①正确, ②f( π)=2sin(3× π﹣ )=2sin =2,则图象关于直线 x= π 对称,故②正确, )=2sin(3× ﹣ )=2sinπ=0,则函数图象关于点( ,0)

③当 x∈[



π],3x﹣

∈[

],此时函数单调递增,故③正确,

故答案为:①②③. 点评:本题主要考查与三角函数命题有关的真假判断, 根据三角函数的图象和性质是解决本 题的关键. 三、解答题(共 48 分,每题 12 分) 17.已知 的值. (2)求 的值. ,求

考点: 两角和与差的余弦函数;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由条件利用同角三角函数的基本关系求得 cos(α+β)和 cos(β﹣ 再利用两角和差的三角公式求得 =cos[(α+β)﹣(β﹣ )的值,

)]的值.

(2)由条件利用同角三角函数的基本关系,二倍角公式、诱导公式求得所给式子的值. 解答: 解: (1)∵已知 , ∴α+β∈ ( 2π) ,β﹣ ∈( , ) , = , cos (β﹣ =cos[(α+β)﹣(β﹣ ﹣ )= +(﹣ )? ) =﹣ =﹣ . ,

∴cos (α+β) =

)]=cos(α+β)cos(β﹣ =﹣ .

)+sin(α+β)sin(β

(2) =sin50°? =cos40°? = =1. =sin50°?

点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式,两角和差的三角公式,以及 三角函数在各个象限中的符号,属于基础题. 1015 春?太原校级月考)已知 α、β∈(0,π) ,且 tanα、tanβ 是方程 x +5 (Ⅰ)求 α+β 的值; (Ⅱ)求 cos(α﹣β)的值.
2

x+6=0 的两根.

考点:两角和与差的正切函数;两角和与差的余弦函数. 专题:三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)由条件利用韦达定理、两角和的正切公式求得 tan(α+β)的值,再结合 α+β 的范围,求得 α+β 的值. (2)由(1)得 cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣ ,再根据 tanα?tanβ= 和 cosαcosβ 的值,可得 cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ 的值. 解答: 解: (Ⅰ)由 tanα、tanβ 是方程 x +5 tanα?tanβ=6, ∴tan(α+β)= = . ,π) ,∴α+β∈(π,2π ) ,
2

=6,求得 sinαsinβ

x+6=0 的两根,可得 tanα+tanβ=﹣5



再结合 α、β∈(0,π) ,tanα<0、tanβ<0,可得 α、β∈( ∴α+β= .

(Ⅱ)由(1)得 cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ=cos 再根据 tanα?tanβ= =6 ②, , .

=﹣

①,

由①②求得 sinαsinβ= ,cosαcosβ= ∴cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ=

点评:本题主要考查韦达定理、两角和差的三角公式,同角三角函数的基本关系,属于基础 题.

1015 春?太原校级月考)已知函数





(I)求函数 h(x)=f(x)+g(x)的单调递增区间. (II)设 x=x0 是函数 y=f(x)图象的一条对称轴,求 g(x0)的值. 考点:三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题:计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (I) 由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 h (x) = sin (2x+ 令 2k ≤2x+ ≤2k ,即可解得函数 h(x)的单调递增区间. =kπ, 解得 2x0=k (k∈Z) , ) ,

(II) 由 x=x0 是函数 y=f (x) 图象的一条对称轴, 可求 2x0+ 从而可得 g(x0)=1+ sin(k

) ,分情况讨论即可得解. )]+1+ sin2x,…(1 分)

解答: 解: (I)h(x)=f(x)+g(x)= [1+cos(2x+

= [cos(2x+ = (

)+sin2x]+

cos2x+ sin2x)+ …(2 分) ) ≤2x+ ≤x≤k …(3 分) ≤2k ,…(4 分) (k∈Z)时,…(5 分) ,k )]. . =kπ,…(8 分) ](k∈Z)…(6 分)

= sin(2x+ 由 2k 得k

故函数 h(x)的单调递增区间是[k (II)由题设知 f(x)= [1+cos(2x+

因为 x=x0 是函数 y=f(x)图象的一条对称轴,所以 2x0+ 即 2x0=k (k∈Z)…(9 分) ) ,…(10 分)

所以 g(x0)=1+ sin2x0=1+ sin(k 当 k 为偶数时,g(x0)=1+ sin(﹣ 当 k 为奇数时,g(x0)=1+ sin

)=1﹣ = ,…(11 分)

=1+ = .…(12 分)

点评:本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用, 正弦函数的图象和性质, 属于基本知识 的考查. 2015 春?太原校级月考)如图,点 A,B 是单位圆上的两点,A,B 点分别在第一、二象限, 点 C 是圆与 x 轴正半轴的交点,△ AOB 是正三角形,记∠COA=α. (1)若点 A 的坐标为( , ) ,求 cos2α 的值; (2)分别过 A,B 作 x 轴的垂线,垂足为 D,E,求当角 α 为何值时,三角形 AED 面积最 大?并求出这个最大面积.

考点:任意角的三角函数的定义. 专题:三角函数的求值.

分析: (1)由条件利用任意角的三角函数的定义,二倍角的余弦公式,求得 cos2α 的值. (2)化简 S△ AED= AD?DE 为 sin(2α﹣ )+ ,由 0<α< 及 < α+ <π,

利用正弦函数的定义域和值域,求得三角形 AED 面积的最大值. 解答: (1)由题意可得 sinα= ,cosα= ,故 cos2α=cos α﹣sin α= (2)AD=sinα,OD=cosα,OE=﹣cos(α+ DE=OD+OE=cosα﹣cos(α+ 故 S△ AED= = = AD?DE= ) , )] sin α
2 2 2



) ,

sinα?[cosα﹣cos(α+ sinα)= = sin(2α﹣

sinα?(cosα﹣ cosα+ sin2α﹣ 及 cos2α+ <α+ <

sinα?cosα+ )+ . ,

由 0<α<

<π,可得 =

<α<

从而 0<2α﹣

,故当 2α﹣

,即 α=

时,S△ AED 取得最大值 +



点评:本题主要考查任意角的三角函数的定义,二倍角的余弦公式,三角恒等变换,正弦函 数的定义域和值域,属于中档题.


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