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【成才之路】2015-2016学年高中数学 1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征课件 新人教A版必修2_图文

成才之路 ·数学
人教版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第一章
空间几何体

这是世界著名的七星级酒店——迪拜的帆船酒店,近距离观
察能发现很多几何元素,如圆柱、棱柱、球等,世界上许许多 多的建筑设计大师设计出了很多闻名于世的建筑,这些建筑风 格各异,它们都离不开这样的一些基本的几何元素. 事实上,纷繁复杂的物质世界都是由那些既有大小又有一

定几何形状的物质构成的,把这些物体的其他特征忽略,只看
它们的形状和大小,这就是本章要研究的内容.

第一章 1.1 空间几何体的结构

1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征

1

优 效 预 习

3

当 堂 检 测

2

高 效 课 堂

4

课后强化作业

优效预习

●知识衔接 1 .在初中,我们已经直观地认识了一些简单的几何体, 如正方体、长方体、圆锥、圆柱、球等,仔细观察这些几何体 的结构特征,通过总结,我们可以将正方体、长方体作为一类 几何体,它们都是由平面多边形围成的几何体,称为多面体;

圆锥、圆柱、球作为另一类几何体,它们是由平面图形旋转而
成的几何体,称为旋转体.

2 .我们看到的各种各样的建筑物,大都是由我们熟悉的
几何体组成的.如国家游泳中心是2008年北京奥运会的标志性 建筑之一,它的外观是长方体形状;国家奥林匹克主体育场 “鸟巢”内部是半球形碗状坐席,如图.

●自主预习 1.空间几何体

名称

定义

在我们周围存在着各种各样的物体,它们都占据着空 形状 和_____ 大小 , 空间几 间的一部分.如果我们只考虑物体的_____ 何体 而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间 图形就叫做空间几何体 平面多边形 围成的几何体 一般地,我们把由若干个____________ 叫做多面体,围成多面体的各个多边形叫做多面体的 多面体 面 公共边 叫做多面体的棱; _____;相邻两个面的__________ 公共点 叫做多面体的顶点 棱与棱的__________ 直线 我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定____ 封闭几何体 叫做旋转体,这条定直线 旋转体 旋转所形成的____________ 轴 叫做旋转体的_______

[归纳总结] 对多面体概念的理解,注意以下几个方面: (1)多面体是由平面多边形围成的,不是由圆面或其它曲面

围成,也不是由空间多边形围成.
(2)本章所说的多边形,一般包括它内部的平面部分,故多 面体是一个“封闭”的几何体.

(3)围成一个多面体至少要四个面.
(4)规定:在多面体中,不在同一面上的两个顶点的连线叫 做多面体的对角线,不在同一面上的两条侧棱称为多面体的不 相邻侧棱,侧棱和底面多边形的边统称为棱. (5)一个多面体是由几个面围成,那么这个多面体称为几何

体.

2.棱柱
平行 一般地,有两个面互相__________ ,其余各面都是 四边形 ,并且每__________ 相邻 两个四边形的公共边 __________ 平行 多面体 都互相__________ ,由这些面所围成的__________ 叫做棱柱 棱柱中,两个互相______ 平行 的面叫做棱柱的底面,简称 公共边 有关 底;其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的________ 概念 叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的__________ 公共顶点 叫做棱 柱的顶点

定义

图形

表示棱柱,如上图中 表示 用表示底面各顶点的__________ 字母 法 的棱柱可记为棱柱ABCDE-A′B′C′D′E′ 分类 按底面多边形的__________ 分为三棱柱、四棱柱、 边数

五棱柱??

[归纳总结] 棱柱的简单性质:
(1)侧棱互相平行且相等;侧面都是平行四边形. (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形,如图① 所示.

(3) 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形,如图②所 示.

3.棱锥 一般地,有一个面是______________ ,其余各面都是 多边形 有一个公共顶点 定义 __________________ 的三角形,由这些面所围成的多 面体叫做棱锥 多边形面叫做棱锥的底面或底;有____________ 公共顶点 的各 公共顶点 有关 个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的____________ 概念 叫做棱锥的顶点;相邻侧面的__________ 公共边 叫做棱锥的 侧棱

图形

字母 表示,如上图中 表示 用表示顶点和底面各顶点的________ 法 的棱锥可记为棱锥__________ S-ABCD

按底面多边形的________ 边数 分为三棱锥、四棱锥、五棱 分类 锥??,其中三棱锥又叫__________ 四面体

[归纳总结] 棱锥的性质:
(1)侧棱有公共点,即棱锥的顶点;侧面都是三角形. (2)底面与平行于底面的截面是相似多边形,如图①所示. (3)过不相邻的两条侧棱的截面是三角形,如图②所示.

4.棱台
平行于 棱锥底面的平面去截棱锥, 用一个__________ 定义 底面与截面 之间的部分叫做棱台 ______________ 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的__________ 和 下底面 上底面 ;其它各面叫做棱台的_________ 有关 _________ 侧面 ;相邻 概念 侧面的_________ 公共边 叫做棱台的侧棱;底面与_______ 侧面 的公共顶点叫做棱台的顶点

图形

字母 表示棱台,如上图中 表示 用表示底面各顶点的________ 法 的棱台可记为棱台______________________ ABCD-A′B′C′D′ 按底面多边形的__________ 分为三棱台、四棱台、 边数 分类 五棱台??

[归纳总结] 棱台的性质:
(1)侧棱延长后交于一点;侧面是梯形. (2)两个底面与平行四行于底面的截面是相似多边形,如图 ①所示.

(3)过不相邻的两条侧棱的截面是梯形,如图②所示.

5.棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较 结构特征 底面 侧面 侧棱 平行于底 面的截面 过不相邻两 侧棱的截面 棱柱 两个底面是全 等的多边形 平行四边形 平行且相等 与两个底面 是全等的多边形 平行四边形 棱台 两个底面是相 多边形 似的多边形 三角形 梯形 延长线交 相交于顶点 于一点 与底面是相 与两个底面是 似的多边形 相似的多边形 三角形 梯形 棱锥

●预习自测

1.下列物体不能 抽象成旋转体的是( .. A.篮球 C.电线杆
[答案] D

)

B.日光灯管 D.国家游泳馆水立方

[解析]

水立方是多面体,不能抽象成旋转体;篮球、日

光灯管、电线杆都可抽象成旋转体.

2.下列说法中正确的是( A.所有的棱柱都有一个底面 B.棱柱的顶点至少有6个 C.棱柱的侧棱至少有4条

)

D.棱柱的棱至少有4条
[答案] B

3.下列棱锥有6个面的是( A.三棱锥 C.五棱锥 [答案] C

) B.四棱锥

D.六棱锥

[ 解析 ]

三棱锥有 4 个面;四棱锥有 5 个面;五棱锥有 6 个

面;六棱锥有7个面.

4.下列四个几何体中,是棱台的是(

)

[答案] C

高效课堂

●互动探究

棱柱的结构特征
下列关于棱柱的说法:

(1)所有的面都是平行四边形;
(2)每一个面都不会是三角形; (3)两底面平行,并且各侧棱也平行; (4)被平面截成的两部分可以都是棱柱. 其中正确说法的序号是________.

[探究] (1)棱柱定义中的三个要点是什么? (2)棱柱的面、顶点、棱是怎样定义的? [解析] (1)错误,棱柱的底面不一定是平行四边形; (2)错误,棱柱的底面可以是三角形;

(3)正确,由棱柱的定义易知;
(4)正确,棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱, 所以说法正确的序号是(3)(4). [答案] (3)(4)

规律总结:(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨 析 ①两个面互相平行; ②其余各面是四边形; ③相邻两个四边形的公共边互相平行,求解时,首先看是

否有两个平行的面作为底面,再看是否满足其它特征.
(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.

(1)下列说法正确的是( A.棱柱的侧面都是矩形 B.棱柱的侧棱都相等 C.棱柱的棱都平行

)

D.棱柱的侧棱总与底面垂直

(2) 已知三棱柱有 5 个面、 6 个顶点、 9 条棱,四棱柱有 6 个
面、 8 个顶点、 12 条棱,五棱柱有 7 个面、 10 个顶点、 15 条 棱?,由此可以推测 n 棱柱有 ________ 个面、 ________ 个顶 点、________条棱.

[答案] (1)B (2)n+2 2n

3n

[解析]

由棱柱的定义知,棱柱的侧面都是平行四边形,

故A不正确;而平行四边形的对边相等,故侧棱都相等,所以 B 正确;对选项 C ,侧棱都平行,但底边不一定平行,所以错 误;棱柱的侧棱可以与底面垂直也可以不与底面垂直,故D不

正确.
(2)n棱柱的底面是n边形,所以有两个底面和n个侧面,共n +2个面、2n个顶点、2n+n=3n条棱.

棱锥、棱台的结构特征 (1)棱台不具有的性质是( A.两底面相似 B.侧面都是梯形 C.侧棱长都相等 D.侧棱延长后交于一点 )

(2)下列几种说法中正确的有(
台;

)

①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱 ②棱台的侧面一定不会是平行四边形; ③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体

是棱台.
A.0个 C.2个 B.1个 D.3个

[探究] (1)棱台是如何定义的? (2)棱锥和棱台有哪些结构特征?

[解析]

(1)棱台是由平行于棱锥的底面的平面截棱锥得到

的,棱锥的侧棱长不一定相等,所以棱台的侧棱长也不一定相 等.A,B,D选项都正确. (2)必须用一个平行于底面的平面去截棱锥,棱锥底面和截 面之间的部分才是棱台,故 (1) 不正确;棱台的侧面一定是梯

形,故(2)正确;有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形
的六面体不一定是棱台,因为各条侧棱不一定相交于一点,故 (3)不正确. [答案] (1)C (2)B

规律总结: 关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方
法 (1)举反例法. 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结 构特征的某些说法不正确.

(2)直接法.
棱锥 只有一个面是多边形,此 定底面 面即为底面 棱台 两个互相平行的面, 即为底面

看侧棱

相交于一点

延长后相交于一点

下列关于棱锥、棱台的说法:
①棱台的底面一定不会是平行四边形; ②棱锥的侧面只能是三角形; ③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥; ④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 其中正确说法的序号是________. [答案] ②③

[解析]

①不正确,棱台的底面可以是平行四边形还可以

是其它多边形; ②正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形; ③正确,由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥; ④错误,如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.

●探索延拓

空间几何体的平面展开图
如图是三个几何体的侧面展开图,请问各是什 么几何体?

[探究] 由题目可获取以下主要信息:
(1)都是多面体;(2)①中的折痕是平行线,是棱柱; ②中折痕交于一点,是棱锥; ③中侧面是梯形,是棱台. [解析] ①五棱柱;②五棱锥;③三棱台.如图所示.

规律总结: 立体图形的展开或平面图形的折叠是培
养空间想象能力的好方法,解此类问题可以结合常见几何体的 定义与结构特征,进行空间想象,或亲自动手制作平面展开图 进行实践.

纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、
东、南、西、北,如下图 1 ,现在沿该正方体的一些棱将正方 体剪开,外面朝上展平,得到右侧的平面图形,如图 2. 则标 “△”的面的方位是( )

A.南 C.西 [答案] B [解析]

B.北 D.下 将所给图形还原为正方体,如图3所示,最上面为

△,最左面为东,最里面为上,将正方体旋转后让左面向东,
让“上”面向上可知“△”的方位为北.

●误区警示 易错点 对棱柱、棱锥、棱台的概念理解不透 有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边 形,这些面围成的几何体是否一定是棱柱?

[错解] 一定是棱柱.
[错因分析] 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面 都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,这

些面围成的几何体叫做棱柱.题中漏掉了“并且每相邻两个四
边形的公共边都互相平行”这一条件,因此所围成的几何体可 能不是棱柱.

[正解]

满足题目条件的几何体不一定是棱柱,如图所示

的几何体满足题中条件,但都不是棱柱.

如图所示,几何体的正确说法的序号为________.
①这是一个六面体;②这是一个四棱台;③这是一个四棱 柱;④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到;⑤此几何体 可由四棱柱截去一个三棱柱得到.

[答案] ①③④⑤

[解析] ①正确,因为有六个面,属于六面体的范围;
②错误,因为侧棱的延长线不能交于一点,所以不正确; ③正确,如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱; ④⑤都正确,如图所示.

当堂检测

1.棱柱的侧棱( A.相交于一点 B.平行但不相等 C.平行且相等

)

D.可能平行也可能相交于一点
[答案] C

2.八棱锥的侧面个数是( A.8 C.10 [答案] A

) B.9 D.11

3.棱台一定具有的性质是(
A.两底面全等 C.侧棱长都相等 [答案] D

)

B.侧面都是等腰梯形 D.侧棱延长后都交于一点

4.有两个面平行的多面体不可能是( A.棱柱 C.棱台 [答案] B B.棱锥 D.长方体

)

[ 解析 ]

棱锥的任意两个面都相交,不可能有两个面平

行,所以不可能是棱锥.

5.下列说法中正确的是(
A.所有的棱柱都有一个底面 B.棱柱的顶点至少有6个 C.棱柱的侧棱至少有4条 D.棱柱的棱至少有4条

)

[答案] B
[ 解析 ] 棱柱有两个底面,所以 A 项不正确;棱柱底面的 边数至少是3,则在棱柱中,三棱柱的顶点数至少是6,三棱柱 的侧棱数至少是 3 ,三棱柱的棱数至少是 9 ,所以 C 、 D 项不正 确,B项正确.


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