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2011年福州市高中毕业班质量检查(2011届数学理科试卷110312) (成稿 发中心组)

2011 年福州市高中毕业班质量检查

数学理科试卷
(满分 150 分,考试时间 120 分钟) 参考公式: 样本数据 x1,x2,… ,xn 的标准差

锥体体积公式
2

s=

1 n

? ( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? … ? ( x n ? x ) ? ? ?
2 2

V=

1 3

Sh

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 为底面面积,h 为高

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式
S ? 4 ? R ,V ?
2

4 3

?R

3

其中 R 为球的半径

一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是是正确的, 将正确答案填写在答题卷相应位置. ) 1.如果复数 z=(a2-3a+2)+(a-1)i 为纯虚数,则实数 a 的值 ( A.等于 1 或 2 B.等于 1 C.等于 2 ). D.不存在 )

2.曲线 f(x)=x3+x-2 在 P0 点处的切线平行于直线 y=4x-1,则 P0 点的坐标为( A.(1,0)或(-1,-4) B.(0,1) C.(1,0) D.(-1,-4)

3. 已知数列 { a n } 为等差数列,且 a 1 ? a 7 ? a 1 3 ? ? , 则 ta n ( a 2 ? a 1 2 ) 的值为(
3 3



A. 3 4. 给定下列四个命题:

B. ? 3

C. ? 3

D. ?

①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直, 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( A. ①和② ) B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④

5.某学校开展研究性学习活动,某同学获得一组实验数据如下表: x y 1.99 1.5 3 4.04 4 7.5 5.1 12 6.12 18.01 )

对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是(

A.y=2x-2

1 B.y=( )x 2

C.y=log2x

1 D.y= (x2-1) 2

6.设 x ,

y 满足约束条件

?x ? y ? 5 ? 0 ? 2 , 则 ( x ? 1) ? y ?x ? y ? 0 ?x ? 3 ?

2

的最大值为(

)

A. 80
?? ?? ?

B. 4 5

C.25
??

D.
?

17 2

开始
3 , 1 ? ? 是 2 ? ?

7. 已 知 a 1 , a 2 均 为 单 位 向 量 , 那 么 a 1 ? ? ?
?? ?? ? a1 ? a 2 ?

S=1,k=1

? 2

?

3 ,1 的(

?

) B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )
是 S=2S

k>2010? 否 S<1? 否



A.充分不必要条件 C.充分必要条件

8.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 S 的值为( A.1 B.
1 2

S= 1 S
8

C.
x
2

1 4

D.
y
2

1 8

k=k+1

9.已知 F1、F2 为椭圆

?

? 1 的左、右焦点,若 M 为椭圆上

25

16

输出 S

一点,且△MF1F2 的内切圆的周长等于 3? ,则满足条件的点 M 有 ( A.0 )个. B.1 C.2 D.4

结束

(第 8 题)

10.已知函数 f(x+1)是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x1、x2,不等式
( x 1 ? x 2 ) [ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ] ? 0 恒成立,则不等式 f(1-x)<0 的解集为(

).

A.(1,+∞)

B.(0,+∞)

C.(-∞,0)

D.(-∞,1)

二. 填空题 (本大题共 5 小题, 每小题 4 分, 20 分, 共 将正确答案填写在答题卷相应位置. ) 11.二项式 ? 1 ?
? ? 1 ? ? 2x ?
10

的展开式中第六项的系数等于__________(用数字作答)

12. 在等比数列 ?a n ? 中, 首项 a 1 ? 则公比 q 为

2 3

a ,4 ?

? ?1 ? 2 x ? d x ,
1

4

主 视 a 图 D 俯 视 图 A a B C a

左 视 图

.

13.四棱锥 P ? A B C D 的顶点 P 在底面 ABCD 中的投影恰好 是 A,其三视图如右图所示,根据图中的信息,在四棱锥 P ? A B C D 的任两个顶点的连线中,互相垂直的异面直线对 数为 .

14.在区间 [ ? π , π ] 内随机取两个数分别记为 a , b ,则使得函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 a x ? b 2 ? ? 2 有零点 的概率为 . 15.将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成 0,得到如图 1 所示的 0—1 三角数表.从上往下 数,第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行,第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行,…,第 n 次全 行的数都为 1 的是第 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 行.

…… …………………………………… 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写在答题卷相应位置,要写出文字说明、 证明过程或演算过程. ) 16. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ?
3 2 s in ? x ? 1 2 cos ? x , x ? R .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值和最小值; (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在 [ ? 1,1] 上的图象与 x 轴的交点从左到右分别为 M、N,图象的最高 点为 P,求 P M 与 P N 的夹角的余弦. 17. (本小题满分 13 分) “石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏,其规则是:用三种不 同的手势分别表示石头、 剪刀、 两个玩家同时出示各自手势 1 次记为 1 次游戏, 布; “石 头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,“布”胜“石头”;双方出示的手势相同时,不分胜负.现 假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的. (Ⅰ)求出在 1 次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率; (Ⅱ)若玩家甲、乙双方共进行了 3 次游戏,其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变 量 X ,求 X 的分布列及其期望. 18. (本小题满分 13 分) 如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直,BE//CF,BC⊥CF, A D ? BE=3,CF=4. (Ⅰ)求证:EF⊥平面 DCE;
3 ,EF=2,

???? ?

????

(Ⅱ)当 AB 的长为何值时,二面角 A-EF-C 的大小为 60° . 19. (本小题满分 13 分)

D

已知点 M(k,l)、P(m,n),(klmn≠0)是曲线 C 上的两点,点 M、N 关于 x 轴对称,直线 MP、 NP 分别交 x 轴于点 E(xE,0)和点 F(xF,0), (Ⅰ)用 k、l、m、n 分别表示 x E 和 x F ; (Ⅱ)当曲线 C 的方程分别为: x 2
? y
2

? R (R ? 0)
2



x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

时,探究

x E ? x F 的值是否与点 M、N、P 的位置相关;

(Ⅲ)类比(Ⅱ)的探究过程,当曲线 C 的方程为 y 2

? 2 px( p ? 0)

时,探究 x E 与 x F 经

加、减、乘、除的某一种运算后为定值的一个正确结论.(只要求写出你的探究结论,无须证 明). 20. (本小题满分 14 分) 设函数 f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)-g(x). (Ⅰ)若 x=0 是 F(x)的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)当 a=1 时,设 P(x1,f(x1)), Q(x2, g(x 2))(x1>0,x2>0), 且 PQ//x 轴,求 P、 两点间的最短距离; Q (Ⅲ):若 x≥0 时,函数 y=F(x)的图象恒在 y=F(-x)的图象上方,求实数 a 的取值范围. 21. (本小题满分 14 分)本题共有(1)(2)(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任 、 、 选 2 题作答,满分 14 分.如果多做,则以所做的前 2 题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答 题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知二阶矩阵 M 有特征值 ?
?3

及对应的一个特征向量 e 1

?1 ? ? ? ? ?1 ?

,并且矩阵 M 对应的变

换将点 ( ? 1, 2 ) 变换成 (9 ,1 5 ) . 求矩阵 M. (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 x O y 中,已知曲线 C 的参数方程是 ?
? x ? 2 ? 2 s in ? , ? y ? 2 cos ?

( ? 是参数) .

现以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,写出曲线 C 的极坐标方程. (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 解不等式 2 x ? 1 ? x ? 4 ? 2 .

2011 年福州市高中毕业班质量检查

数学理科试卷参考答案和评分标准
一.选择题 1.C 2.A 3.B 4.D 5.D 6.A 7.B 8.C 9.C 10.C 二.填空题 11. ? 三.解答题 16.解: (Ⅰ)∵ f ( x ) ? = s in ( ? x ? ∵x? R
3 2 s in ? x ? 1 2 cos ? x
63 8

12.3

13.6

14.1-

?
4

15. 2 n ? 1

?
6

) .-----------------------------2 分

∴ ? 1 ? s in ( ? x ?

?
6

) ?1,

∴函数 f ( x ) 的最大值和最小值分别为 1,—1.---------------4 分 (Ⅱ)解法 1:令 f ( x ) ? s in ( ? x ? ∵ x ? [ ? 1,1] 由 s in ( ? x ?
?

?
6 5 6

) ? 0 得? x ?

?
6

? k? , k ? Z , 5 6 1 , 0 ), -----------------------6 分

∴x ? ?

1 6

或x ?

∴ M (?
1

1 6

, 0 ), N (

) ? 1 ,且 x ? [ ? 1,1] 得 x ?

∴ P ( ,1), -----------------------------8 分
3

6 3 ???? ? ???? 1 1 ∴ P M ? ( ? , ? 1), P N ? ( , ? 1), 2 2 ???? ???? ? ???? ???? ? 3 PM ? PN ? ???? ? ∴ c o s ? P M , P N ? ? ???? 5 | PM | ? | PN |

------------------------------------------10 分

.---------------------------------------13 分

解法 2:过点 P 作 P A ? x 轴于 A ,则 | P A | ? 1, 由三角函数的性质知 | M N | ?
1 2

1 2

T ? 1,

---------------6 分

| P M |? | P N |?

1 ? (
2

)

2

?

5 2

,-----------------------------------------------------------8 分

2 2 2 ???? ???? ? | PM | ? | PN | ? | M N | 由余弦定理得 c o s ? P M , P N ? ? ---------------------------10 分 2 | PM | ?| PN |

5

? 2 ?1 2? 5 4 ?

=4

3 5

.---13 分

解法 3:过点 P 作 P A ? x 轴于 A ,则 | P A | ? 1,

由三角函数的性质知 | M N
1 2

|?

1 2

T ? 1 ,----------------------6



| P M |? | P N |?

1 ? (
2

)

2

?

5 2

----------------------------------------8 分

在 R t ? P A M 中, c o s ? M P A ?

| PA | | PM |

?

1 5 2

?

2 5

5

-------------------------------10 分

∵PA 平分 ? M P N
2 5 5 3 5

∴ cos ? M P N ? cos 2? M P A ? 2 cos ? M P A ? 1
2

? 2?(

) ?1 ?
2

.------------------------------------------------------13 分

17.解: (Ⅰ)玩家甲、乙双方在 1 次游戏中出示手势的所有可能结果是: (石头,石头) ; (石头,剪刀) (石头,布) (剪刀,石头) (剪刀,剪刀) (剪刀,布) (布,石 ; ; ; ; ; 头) (布,剪刀) (布,布) ; ; .共有 9 个基本事件,--------------------3 分 玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是: (石头,剪刀) (剪刀,布) (布,石头) ; ; ,共有 3 个.所以,在 1 次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率 P ? (Ⅱ) X 的可能取值分别为 0,1,2,3.
3 9 ? 1 3

.--------------------6 分

P

?

8 ? 2? , X ? 0? ? C3 ?? ? ? 27 ? 3?
0 1 2

3

12 ?1? ? 2? , P ? X ? 1? ? C 3 ? ? ? ? ? ? ? 27 ?3? ? 3?
1

6 ?1? ?2? , P ? X ? 2? ? C3 ?? ? ?? ? ? 27 ?3? ?3?
2

2

1

1 3 ? 1 ? .--------------------10 分 P ? X ? 3? ? C3 ?? ? ? 27 ?3?

3

X 的分布列如下:-------------------11 分 X
P
EX ? 0 ? 8 27

0
8 27

1
12 27

2
6 27

3
1 27

? 1?

12 27

? 2?

6 27

? 3?

1 27 1 3

?1 ?1) .------------------13 分

(或: X ~ B (3, ) , E X ? n p ? 3 ?
3

1

18 . 解 : 方 法 一 :( Ⅰ ) 证 明 : 在 △BCE 中 , BC⊥CF,BC=AD= 3 ,BE=3,∴EC= 2 3 , ∵在△FCE 中,CF =EF +CE ,∴EF⊥CE………………3 分 由已知条件知,DC⊥平面 EFCB,∴DC⊥EF, 又 DC 与 EC 相交于 C,……………………………………5 分
2 2 2

D A B F H E C

∴EF⊥平面 DCE……………………6 分
(Ⅱ)过点 B 作 BH⊥EF 交 FE 的延长线于 H,连结 AH.

由平面 ABCD⊥平面 BEFC,平面 ABCD∩平面 BEFC=BC,AB⊥BC,得 AB⊥平面 BEFC, 从而 AH⊥EF.所以∠AHB 为二面角 A-EF-C 的平面角.……8 分 在 Rt△CEF 中,因为 EF=2,CF=4.EC= 2 3 ∴∠CEF=60° ,由 CE∥BH,得∠BHE=60° , 又在 Rt△BHE 中,BE=3, ∴ B H ? B E ? s in ? B E H ?
3 2 3

…………10 分

由二面角 A-EF-C 的平面角∠AHB=60° , 在 Rt△AHB 中,解得 A B ? B H ? ta n ? A H B ? 所以当 A B ?
9 2

9 2



时,二面角 A-EF-C 的大小为 60°……………………13 分

方法二: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)如图,以点 C 为坐标原点,以 CB,CF 和 CD 分别作 为 x 轴,y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系 A C-xyz.……………………7 分 设 AB=a(a >0) ,则 C(0,0,0),A( 3 ,0,a),B( 3 ,0,0) x , E( 3 ,3,0) ,F(0,4,0) . 从而 E F ? ( ? 3 , 1, 0 ) , A E ? ( 0 , 3 , ? a ) , ………………9 分 设平面 AEF 的法向量为 n ? ( x , y , z ) ,由 E F ? n ? 0 , A E ? n ? 0 得,
?? 3x ? y ? 0 ? ,取 x=1,则 y ? ? ?3 y ? az ? 0 ?
3, z ? 3 a 3
? ???? ? ???? ? ???? ????

z D C B F E y



即 n ? (1, 3 ,

?

3 a

3

) ,…………………………11 分
??? ?

不妨设平面 EFCB 的法向量为 B A ? ( 0 , 0 , a ) ,
? ??? ? 由条件,得 | c o s ? n , B A ? | ? ? ??? ? n ? BA ? ??? ? ? | n || B A | a 3 3a
2

?

1 2

4a ? 27

解得 a

?

9 2

.所以当 A B

?

9 2

时,二面角 A-EF-C 的大小为 60° .………………13 分

19.解: (Ⅰ)依题意 N(k,-l),且∵klmn≠0 及 MP、NP 与 x 轴有交点知:……2 分 M、P、N 为不同点,直线 PM 的方程为 y ? 则 xE ?
nk ? m l n?l n?l m ?k ( x ? m ) ? n ,……3 分

, .……5 分

同理可得 x F ?

nk ? m l n?l

(Ⅱ)∵M,P 在圆 C:x2+y2=R2 上,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ?m ? R ? n n k ?m l n ( R ? l ) ? ( R ? n )l 2 ? ? R (定值). , xE ? xF ? ?? 2 2 2 2 2 2 2 n ?l n ?l ? k ? R ?l

2

2

2

∴ x E ? x F 的值是与点 M、N、P 位置无关. ……8 分 同理∵M,P 在椭圆 C:
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

上,

2 2 2 2 ? 2 a n a l a n 2 2 2 2 2 n (a ? ) ? (a ? )l 2 2 2 2 ?m ? a ? 2 2 2 n k ?m l ? b 2 b b , xE ? xF ? ? ? a (定值). ?? 2 2 2 2 2 2 n ?l n ?l a l 2 ? 2 k ? a ? 2 ? b ?

∴ x E ? x F 的值是与点 M、N、P 位置无关. ………11 分 (Ⅲ)一个探究结论是: x E ? x F ? 0 . ………13 分 证明如下:依题意, x E ?
nk ? m l n?l

, xF ?

nk ? m l n?l

.

∵M,P 在抛物线 C:y2=2px(p>0)上,∴n2=2pm,l2=2pk.
xE ? xF ? 2(n k ? m l )
2 2

n ?l
2

2

?

2(2 pm k ? 2 pm k ) n ?l
2 2

? 0.

∴ x E ? x F 为定值.

20.解:(Ⅰ)F(x)= ex+sinx-ax, F '( x ) ? e ? c o s x ? a .
x

因为 x=0 是 F(x)的极值点,所以 F '( 0 ) ? 1 ? 1 ? a ? 0 , a ? 2 .………2 分 又当 a=2 时,若 x<0, F '( x ) ? e ? c o s x ? a ? 0 ;若 x>0, F '( x ) ? e ? c o s x ? a ? 0 .
x x

∴x=0 是 F(x)的极小值点, ∴a=2 符合题意. ………4 分 (Ⅱ) ∵a=1, 且 PQ//x 轴,由 f(x1)=g(x2)得: x 2 ? e
x x
x1

? s in x 1 ,所以 x 2 ? x 1 ? e

x1

? s in x 1 ? x 1 .

令 h ( x ) ? e ? s in x ? x , h '( x ) ? e ? c o s x ? 1 ? 0 当 x>0 时恒成立. ∴x∈[0,+∞ ) 时,h(x)的最小值为 h(0)=1.∴|PQ|min=1. ………9 分 (Ⅲ)令 ? ( x ) ? F ( x ) ? F ( ? x ) ? e ? e
x ?x

? 2 s in x ? 2 a x .
x ?x

则 ? '( x ) ? e ? e
x x

?x

? 2 c o s x ? 2 a . S ( x ) ? ? ''( x ) ? e ? e
?x

? 2 s in x .

因为 S '( x ) ? e ? e

? 2 c o s x ? 0 当 x≥0 时恒成立, ………11 分

所以函数 S(x)在 [ 0 , ? ? ) 上单调递增, ………12 分 ∴S(x)≥S(0)=0 当 x∈[0,+∞ ) 时恒成立; 因此函数 ? '( x ) 在 [ 0 , ? ? ) 上单调递增, ? '( x ) ? ? '( 0 ) ? 4 ? 2 a 当 x∈[0,+∞ ) 时恒成立. 当 a≤2 时, ? '( x ) ? 0 , ? ( x ) 在[0,+∞ ) 单调递增,即 ? ( x ) ? ? ( 0 ) ? 0 . 故 a≤2 时 F(x)≥F(-x)恒成立. ………13 分
当 a ? 2 时 , ? '( x ) ? 0 , 又 ? ? '( x ) 在 ? 0 , ? ? ? 单 调 递 增 , 总 存 在 x 0 ? ( 0 , ? ? ) , ? 使 得 在 区 间 ? 0 , x 0 ? 上 ? '( x ) ? 0 .导 致 ? ( x ) 在 ? 0 , x 0 ? 递 减 , 而 ? ( 0 ) ? 0 , ? 当 x ? ( 0 , x 0 )时 , ? ( x ) ? 0 , 这 与 F ( x ) ? F ( ? x ) ? 0 对 x ? ? 0 , ? ? ? 恒 成 立 不 符 , ? a ? 2 不 合 题 意 . 综 上 a 取 值 范 围 是 ? - ? , 2 ? .? ? ? 1 4 分

21. (1)解:设 M= ?
b ? ? ? 1? ? ? ? d? ? 2 ?

?a ?c

b? ? d?

,则 ?

?a ?c

b ? ?1 ? ? ? ? d ? ?1 ?

=3 ?

?1 ? ? ?1 ?

=?

?3? ? ?3?

,故 ?

? a ? b ? 3, ?c ? d ? 3.

……………3 分

?a ? ?c

=?

? 9 ? ? ?1 5 ?

,故 ?

? ? a ? 2b ? 9, ??c ? 2d ? 15.

……………5 分

联立以上两方程组解得 a= ? 1 ,b=4,c= ? 3 ,d=6,故 M= ?
2 2

??1 ??3

4? ? 6?



………7 分

(2)解:曲线 C 的直角坐标方程是 ( x ? 2 ) ? y ? 4 ,……3 分

因为 x ? y ? ? , y ? ? c o s ? ,…5 分
2 2 2

故曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 ? c o s ? ? 0 ,即 ? ? 4 c o s ? .……7 分
2

(3)解:令 y ? 2 x ? 1 ? x ? 4 ,则
y
1 ? ? x ? 5, x≤ ? , ? 2 ? 1 ? ... y ? ? 3 x ? 3, ? ? x ? 4, ....3 分 2 ? ? x ? 5, x ≥ 4. ? ?

y ? 2

?

O 1
2

4

x

作出函数 y ? 2 x ? 1 ? x ? 4 的图象,
?5 ? ?

2 它与直线 y ? 2 的交点为 ( ? 7, ) 和 ? , ? .... 分 ....6 2 ? 3

? ? 所以 2 x ? 1 ? x ? 4 ? 2 的解集为 ( ? x, 7 ) ? ? , x ? .... 分 ....7 ?3 ?

?5

?