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浙江专用2018版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.2命题及其关系充分条件与必要条件


(浙江专用)2018 版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑 用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件教师用书

1.四种命题及相互关系

2.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件与必要条件 (1)如果 p? q,则 p 是 q 的充分条件,同时 q 是 p 的必要条件; (2)如果 p? q,但 q

p,则 p 是 q 的充分不必要条件;

(3)如果 p? q,且 q? p,则 p 是 q 的充要条件; (4)如果 q? p,且 p (5)如果 p

q,则 p 是 q 的必要不充分条件; p,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.

q,且 q

【知识拓展】 1.两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性. 2.若 A={x|p(x)},B={x|q(x)},则 (1)若 A? B,则 p 是 q 的充分条件; (2)若 A? B,则 p 是 q 的必要条件; (3)若 A=B,则 p 是 q 的充要条件; (4)若 A?B,则 p 是 q 的充分不必要条件; (5)若 A?B,则 p 是 q 的必要不充分条件; (6)若 A

B 且 A?B,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.

【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“x +2x-3<0”是命题.( × ) (2)命题“若 p,则 q”的否命题是“若 p,则綈 q”.( × (3)若一个命题是真命题,则其逆否命题也是真命题.( √ ) )
1
2

(4)当 q 是 p 的必要条件时,p 是 q 的充分条件.( √ ) (5)当 p 是 q 的充要条件时,也可说成 q 成立当且仅当 p 成立.( √ ) )

(6)若 p 是 q 的充分不必要条件,则綈 p 是綈 q 的必要不充分条件.( √

1.下列命题为真命题的是( 1 1 A.若 = ,则 x=y

) B.若 x =1,则 x=1 D.若 x<y,则 x <y
2 2 2

x y

C.若 x=y,则 x= y 答案 A 2.下列命题中为真命题的是( )

A.命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题 B.命题“若 x>1,则 x >1”的否命题 C.命题“若 x=1,则 x +x-2=0”的否命题 D.命题“若 x >0,则 x>1”的逆否命题 答案 A 解析 对于 A,其逆命题是若 x>|y|,则 x>y,是真命题,这是因为 x>|y|≥y,必有 x>y. 3.(2016·慈溪中学高三适应性考试)设 a,b 为实数,则“log2a>log2b”是“ a> b”的 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2 2 2

A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 A 解析 由 log2a>log2b,得 a>b>0, 而 a> b?a>b≥0,

故 log2a>log2b 是 a> b的充分不必要条件. 4.在下列三个结论中,正确的是________.(写出所有正确结论的序号) ①若 A 是 B 的必要不充分条件,则綈 B 也是綈 A 的必要不充分条件;
?a>0, ? ②“? 2 ?Δ =b -4ac≤0 ?
2

”是“一元二次不等式 ax +bx+c≥0 的解集为 R”的充要条件;

2

③“x≠1”是“x ≠1”的充分不必要条件. 答案 ①② 解析 易知①②正确.对于③,若 x=-1,则 x =1,充分性不成立,故③错误.
2

2

题型一 命题及其关系 例 1 (2016·湖州一模)有下列四个命题: ①若“xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题; ②“面积相等的三角形是全等三角形”的否命题; ③“若 m≤1,则 x -2x+m=0 有实数解”的逆否命题; ④“若 A∩B=B,则 A? B”的逆否命题. 其中真命题为( A.①② C.①④ 答案 D 解析 ①的逆命题:“若 x,y 互为倒数,则 xy=1”是真命题;②的否命题:“面积不相 等的三角形不是全等三角形”是真命题;③的逆否命题:“若 x -2x+m=0 没有实数解, 则 m>1”是真命题;命题④是假命题,所以它的逆否命题也是假命题.故选 D. 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意: ①对于不是“若 p,则 q“形式的命题,需先改写; ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题 直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假. (1)命题“若 x>0,则 x >0”的否命题是( A.若 x>0,则 x ≤0 B.若 x >0,则 x>0 C.若 x≤0,则 x ≤0 D.若 x ≤0,则 x≤0 (2)某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”,这句话的等价命题是( A.不拥有的人们会幸福 B.幸福的人们不都拥有 C.拥有的人们不幸福 D.不拥有的人们不幸福 答案 (1)C (2)D 题型二 充分必要条件的判定 )
2 2 2 2 2 2 2

) B.②③ D.①②③

)

3

例 2 (1)(2016·北京)设 a,b 是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

)

(2)已知条件 p:x>1 或 x<-3,条件 q:5x-6>x ,则綈 p 是綈 q 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 (1)D (2)A

)

解析 (1)若|a|=|b|成立,则以 a,b 为邻边构成的四边形为菱形,a+b,a-b 表示该菱 形的对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以 |a+b|=|a-b|不一定成立;反之,若|a +b|=|a-b|成立,则以 a,b 为邻边构成的四边形为矩形,而矩形的邻边不一定相等,所 以|a|=|b|不一定成立,所以“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条 件. (2)由 5x-6>x ,得 2<x<3, 即 q:2<x<3. 所以 q? p,p
2

q,所以綈 p? 綈 q,綈 q

綈 p,

所以綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,故选 A. 思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法 (1)定义法:根据 p? q,q? p 进行判断,适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法:根据 p,q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字 母的范围的推断问题. (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进 行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题. (1)(2016·四川)设 p:实数 x,y 满足 x>1 且 y>1,q:实数 x,y 满足 x+y>2, 则 p 是 q 的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

A.充分不必要条件 C.充要条件

(2)已知 p:x+y≠-2,q:x,y 不都是-1,则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 (1)A (2)A

4

解析 (1)当 x>1,y>1 时,x+y>2 一定成立,即 p? q, 当 x+y>2 时,可以 x=-1,y=4,即 q 故 p 是 q 的充分不必要条件. (2)(等价法)因为 p:x+y≠-2,q:x≠-1 或 y≠-1, 所以綈 p:x+y=-2,綈 q:x=-1 且 y=-1, 因为綈 q? 綈 p 但綈 p 綈 q,

p,

所以綈 q 是綈 p 的充分不必要条件, 即 p 是 q 的充分不必要条件,故选 A. 题型三 充分必要条件的应用 例 3 已知 P={x|x -8x-20≤0}, 非空集合 S={x|1-m≤x≤1+m}. 若 x∈P 是 x∈S 的必 要条件,求 m 的取值范围. 解 由 x -8x-20≤0,得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}, 由 x∈P 是 x∈S 的必要条件,知 S? P. 1-m≤1+m, ? ? 则?1-m≥-2, ∴0≤m≤3. ? ?1+m≤10, ∴当 0≤m≤3 时,x∈P 是 x∈S 的必要条件,即所求 m 的取值范围是[0,3]. 引申探究 1.若本例条件不变,问是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件. 解 若 x∈P 是 x∈S 的充要条件,则 P=S,
?1-m=-2, ? ∴? ?1+m=10, ?
2 2

方程组无解,

即不存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件. 2.本例条件不变,若 x∈綈 P 是 x∈綈 S 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 解 由例题知 P={x|-2≤x≤10}, ∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条件, ∴P? S 且 S

P.

∴[-2,10]?[1-m,1+m].
? ?1-m≤-2, ∴? ?1+m>10 ?

或?

? ?1-m<-2, ?1+m≥10. ?

∴m≥9,即 m 的取值范围是[9,+∞). 思维升华 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:

5

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列 出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. (1)已知命题 p:a≤x≤a+1,命题 q:x -4x<0,若 p 是 q 的充分不必要条件, 则 a 的取值范围是________________. (2)已知条件 p:2x -3x+1≤0,条件 q:x -(2a+1)x+a(a+1)≤0.若綈 p 是綈 q 的必要 不充分条件,则实数 a 的取值范围是________. 1 答案 (1)(0,3) (2)[0, ] 2 解析 (1)令 M={x|a≤x≤a+1},N={x|x -4x<0}={x|0<x<4}. ∵p 是 q 的充分不必要条件,∴M?N, ∴?
?a>0, ? ? ?a+1<4,
2 2 2 2

解得 0<a<3.

1 (2)命题 p 为{x| ≤x≤1}, 2 命题 q 为{x|a≤x≤a+1}. 1 綈 p 对应的集合 A={x|x>1 或 x< }, 2 綈 q 对应的集合 B={x|x>a+1 或 x<a}. ∵綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,

a+1>1, ? ? ∴? 1 a≤ ? ? 2
1 ∴0≤a≤ . 2

a+1≥1, ? ? 或? 1 a< , ? ? 2

1.等价转化思想在充要条件中的应用

典例 (1)(2016·绍兴柯桥区二模)已知 x, y∈R, 则“(x-1) +(y-2) =0”是“(x-1)(y -2)=0”的( )

2

2

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6

(2)已知条件 p:x +2x-3>0;条件 q:x>a,且綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p,则 a 的 取值范围是( A.[1,+∞) C.[-1,+∞) ) B.(-∞,1] D.(-∞,-3]

2

思想方法指导 等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题,在解题 中经常用到.本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化. 解析 (1)∵{(x,y)|(x-1) +(y-2) =0} ={(x,y)|x=1 且 y=2}, {(x,y)|(x-1)(y-2)=0}={(x,y)|x=1 或 y=2}. ∴{(x,y)|(x-1) +(y-2) =0}?{(x,y)|(x-1)(y-2)=0}, 故“(x-1) +(y-2) =0”是“(x-1)(y-2)=0”的充分不必要条件. (2)由 x +2x-3>0,得 x<-3 或 x>1,由綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p,可知綈 p 是綈
2 2 2 2 2 2 2

q 的充分不必要条件,等价于 q 是 p 的充分不必要条件.
∴{x|x>a}?{x|x<-3 或 x>1},∴a≥1. 答案 (1)A (2)A

1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 答案 B

)

解析 依题意,得原命题的逆命题:若一个数的平方是正数,则它是负数. 2.命题“如果 x≥a +b ,那么 x≥2ab”的逆否命题是( A.如果 x<a +b ,那么 x<2ab B.如果 x≥2ab,那么 x≥a +b C.如果 x<2ab,那么 x<a +b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

D.如果 x≥a +b ,那么 x<2ab 答案 C 解析 命题“若 p,则 q”的逆否命题是“若綈 q,则綈 p”,“≥”的否定是“<”.故答 案 C 正确. 3.(2016·浙江重点中学模拟)已知命题 p:“正数 a 的平方不等于 0”,命题 q:“若 a 不

7

是正数,则它的平方等于 0”,则 q 是 p 的( A.逆命题 C.逆否命题 答案 B B.否命题 D.否定

)

解析 命题 p:“正数 a 的平方不等于 0”写成“若 a 是正数,则它的平方不等于 0”,从 而 q 是 p 的否命题. 1 4.(2017·宁波十校联考)设 a∈R,则“a<1”是“ >1”的(

a

)

A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 B 1 a-1 解析 由 1- = <0,得 0<a<1,

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

a

a

所以“a<1”是“0<a<1”的必要不充分条件,故选 B. 5.(2016·山东)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 α ,β 内,则“直线 a 和直线 b 相 交”是“平面 α 和平面 β 相交”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 A 解析 若直线 a 和直线 b 相交,则平面 α 和平面 β 相交; 若平面 α 和平面 β 相交,那么直线 a 和直线 b 可能平行或异面或相交,故选 A. 1 x 6.已知集合 A={x∈R| <2 <8},B={x∈R|-1<x<m+1},若 x∈B 成立的一个充分不必要条 2 件是 x∈A,则实数 m 的取值范围是( A.{m|m≥2} C.{m|m>2} 答案 C 1 x 解析 A={x∈R| <2 <8}={x|-1<x<3}, 2 ∵x∈B 成立的一个充分不必要条件是 x∈A, ∴A?B,∴m+1>3, 即 m>2,故选 C. 7.设 x>0,则“a=1”是“x+ ≥2 恒成立”的( A.充分不必要条件 ) B.{m|m≤2} D.{m|-2<m<2} )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

a x

)

B.必要不充分条件

8

C.充要条件 答案 A

D.既不充分也不必要条件

解析 因为 x+ ≥2,x>0 恒成立?a≥(2x-x )max=1,x>0, 所以“a=1”是“x+ ≥2 恒成立”的充分不必要条件,故选 A. 8.设 U 为全集,A,B 是集合,则“存在集合 C 使得 A? C,B? ?UC”是“A∩B=?”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 由 Venn 图易知充分性成立.反之,A∩B=?时,由 Venn 图(如图)可知,存在 A=C, 同时满足 A? C,B? ?UC. )

a x

2

a x

故“存在集合 C 使得 A? C,B? ?UC”是“A∩B=?”的充要条件.
? ?log2x,x>0, 9.函数 f(x)=? x ?-2 +a,x≤0 ?

有且只有一个零点的充分不必要条件是( 1 B.0<a< 2 D.a≤0 或 a>1

)

A.a<0 1 C. <a<1 2 答案 A

解析 因为函数 f(x)过点(1,0), 所以函数 f(x)有且只有一个零点?函数 y=-2 +a(x≤0) 没有零点?函数 y=2 (x≤0)与直线 y=a 无公共点.由数形结合,可得 a≤0 或 a>1. 观察选项,根据集合间关系得{a|a<0}?{a|a≤0 或 a>1},故选 A. *10.(2016·杭州二模)设函数 f(x)=asin(x+α )+bsin(x+β )+csin(x+γ ),则“p:
x

x

f( )=0”是“q:f(x)为偶函数”的(
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

π 2

)

9

答案 C 解析 f(x)可化为 f(x)=Asin(x+φ )的形式, π π 由 f( )=0 可得 sin( +φ )=0,即 cos φ =0. 2 2 易知 cos φ =0?f(x)为偶函数, 所以 p 是 q 成立的充要条件. 11.有三个命题: ①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ②“若 a>b,则 a >b ”的逆否命题; ③“若 x≤-3,则 x +x-6>0”的否命题. 其中真命题的序号为____________. 答案 ① 解析 命题①为“若 x, y 互为相反数, 则 x+y=0”是真命题; 因为命题“若 a>b, 则 a >b ” 是假命题,故命题②是假命题;命题③为“若 x>-3,则 x +x-6≤0”,因为 x +x-6≤0 ?-3≤x≤2,故命题③是假命题.综上知只有命题①是真命题. 12. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且以 2 为周期, 则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x) 为[3,4]上的减函数”的________条件. (填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不 充分也不必要”) 答案 充要 解析 若当 x∈[0,1]时,f(x)是增函数, 又∵y=f(x)是偶函数,∴当 x∈[-1,0]时,f(x)是减函数. 当 x∈[3,4]时,x-4∈[-1,0], ∵T=2,∴f(x)=f(x-4). 故 x∈[3,4]时,f(x)是减函数,充分性成立. 反之,若 x∈[3,4]时,f(x)是减函数, 此时 x-4∈[-1,0], ∵T=2,∴f(x)=f(x-4), 则当 x∈[-1,0]时,f(x)是减函数. ∵y=f(x)是偶函数, ∴当 x∈[0,1]时,f(x)是增函数,必要性也成立. 故“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件. 13. 若 x<m-1 或 x>m+1 是 x -2x-3>0 的必要不充分条件, 则实数 m 的取值范围是________. 答案 [0,2] 解析 由已知易得{x|x -2x-3>0}?{x|x<m-1 或 x>m+1}, 又{x|x -2x-3>0}={x|x<-1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

10

或 x>3},
?-1≤m-1, ? ∴? ?m+1<3, ?

或?

?-1<m-1, ? ?m+1≤3, ?
2 *

∴0≤m≤2. 的取值范围是

14 . 若 “ 数 列 an = n - 2λ n(n∈N ) 是 递 增 数 列 ” 为 假 命 题 , 则 λ ________________. 3 答案 [ ,+∞) 2

解析 若数列 an=n -2λ n(n∈N )为递增数列, 则有 an+1-an>0, 即 2n+1>2λ 对任意的 n∈N 3 都成立,于是可得 3>2λ ,即 λ < . 2 3 故所求 λ 的取值范围是[ ,+∞). 2 *15.下列四个结论中: ①“λ =0”是“λ a=0”的充分不必要条件; ②在△ABC 中,“AB +AC =BC ”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件; ③若 a,b∈R,则“a +b ≠0”是“a,b 全不为零”的充要条件; ④若 a,b∈R,则“a +b ≠0”是“a,b 不全为零”的充要条件. 正确的是________.(填序号) 答案 ①④ 解析 由 λ =0 可以推出 λ a=0,但是由 λ a=0 不一定推出 λ =0 成立,所以①正确;
2 2 2 2 2 2 2

2

*

*

由 AB +AC =BC 可以推出△ABC 是直角三角形,但是由△ABC 是直角三角形不能确定哪个角 是直角,所以②不正确; 由 a +b ≠0 可以推出 a,b 不全为零, 反之,由 a,b 不全为零可以推出 a +b ≠0, 所以“a +b ≠0”是“a,b 不全为零”的充要条件,而不是“a,b 全不为零”的充要条件, ③不正确,④正确. 3 3 2 *16.已知集合 A={y|y=x - x+1, x∈[ , 2]}, B={x|x+m2≥1}, 若“x∈A”是“x∈B” 2 4 的充分条件,求实数 m 的取值范围. 3 2 解 y=x - x+1 2 3 2 7 =(x- ) + , 4 16 3 7 ∵x∈[ ,2],∴ ≤y≤2. 4 16
2 2 2 2 2 2

2

2

2

11

7 ∴A={y| ≤y≤2}. 16 由 x+m ≥1,得 x≥1-m , ∴B={x|x≥1-m }. ∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件, 7 2 ∴A? B,∴1-m ≤ , 16 3 3 解得 m≥ 或 m≤- , 4 4 3 3 故实数 m 的取值范围是(-∞,- ]∪[ ,+∞). 4 4
2 2 2

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