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广东省云浮市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析


广东省云浮市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(文科)
一.选择题(每题 5 分,共 50 分) 2 1. (5 分)命题“若 x>2,则 x ﹣3x+2>0”的逆否命题是() 2 2 A.若 x ﹣3x+2<0,则 x≥2 B. 若 x≤2,则 x ﹣3x+2≤0 2 2 C. 若 x ﹣3x+2≤0,则 x≥2 D.若 x ﹣3x+2≤0,则 x≤2 2. (5 分)已知直线 ax+y+2=0 的倾斜角为 A.1 B.﹣1 ,则 a 等于() C. D.﹣2

3. (5 分)已知椭圆 A.2

+

=1(b>0)的一个焦点为(2,0) ,则椭圆的短轴长为() C. 6
2

B. 4

D.4

4. (5 分)已知 f′(x)是函数 f(x)=x ﹣ (x≠0)的导函数,则 f′(﹣1)等于() A.﹣3 B.﹣2 C.﹣1 D.2

5. (5 分)已知双曲线 x ﹣ A.2 B. 3

2

=1(b>0)的离心率 C. 4

,则 b 等于() D.5

6. (5 分)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()

A.

B.
2 2

C. 1

D.2

7. (5 分)直线 l 过圆 x +y ﹣2x+4y﹣4=0 的圆心,且在 y 轴上的截距等于圆的半径,则直 线 l 的方程为() A.5x+y﹣3=0 B.5x﹣y﹣3=0 C.4x+y﹣3=0 D.3x+2y﹣6=0

8. (5 分)曲线 f(x)=(2x﹣m)e 在 x=0 处的切线与直线 x+3y=0 垂直,则 m 等于() A. B. 2 C. D.﹣1

x

9. (5 分)已知直线 a,平面 α,β,且 a?α,则“a⊥β”是“α⊥β”的() A.充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 10. (5 分)设抛物线 x =8y 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足, 如果直线 AF 的倾斜角等于 60°,那么|PF|等于() A.2 B. 4 C. D.4
2

二.填空题 11. (5 分)命题“?x∈Z,x +2x+m≤0”的否定是. 12. (5 分)已知球 O 的表面积是其半径的 6π 倍,则该球的体积为. 13. (5 分)函数 f(x)= x ﹣3x +2015 在区间上的最小值为.
2 2 2 2 3 2 2

14. (5 分)已知圆 C:x +y ﹣4x+m=0 与圆(x﹣3) +(y+2 点,则点 P 到直线 mx﹣4y+4=0 的距离的最大值为.

) =4 外切,点是圆 C 一动

三.解答题 15. (12 分)已知直线 l:x﹣2y﹣1=0,直线 l1 过点(﹣1,2) . (1)若 l1⊥l,求直线 l1 与 l 的交点坐标; (2)若 l1∥l,求直线 l1 的方程. 16. (13 分)设条件 p:x ﹣6x+8≤0,条件 q:a≤x≤a+1.若 p 是 q 的必要不充分条件,求实 数 a 的取值范围. 17. (13 分)如图,四边形 ABCD 是矩形,平面 ABCD⊥平面 BCE,BE⊥EC. (1)求证:平面 AEC⊥平面 ABE; (2)点 F 在 BE 上.若 DE∥平面 ACF,求 的值.
2

18. (14 分)已知圆 C:x +y +Dx+Ey+3=0,圆 C 关于直线 x+y﹣1=0 对称,圆心在第二象 限,半径为 ( Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)已知不过原点的直线 l 与圆 C 相切,且在 x 轴、y 轴上的截距相等,求直线 l 的方程. 19. (14 分)已知抛物线 C1:y =2px(p>0)的准线截圆 C2:x +y =1 所得的弦长为 (1)求抛物线 C1 的方程; (2) 倾斜角为
2 2 2

2

2



且经过点 (2, 0) 的直线 l 与抛物线 C1 相交于 A、 B 两点, 求证: OA⊥OB.

20. (14 分)已知函数 f(x)=alnx+bx 在 x=1 处的切线与直线 x﹣y+1=0 平行,函数 f(x) 在上是单调函数且最小值为 0. (1)求实数 a,b; 2 (2)对一切 x∈(0,+∞) ,xf(x)≤x ﹣cx+12 恒成立,求实数 c 的取值范围.

广东省云浮市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一.选择题(每题 5 分,共 50 分) 2 1. (5 分)命题“若 x>2,则 x ﹣3x+2>0”的逆否命题是() 2 2 A.若 x ﹣3x+2<0,则 x≥2 B. 若 x≤2,则 x ﹣3x+2≤0 2 2 C. 若 x ﹣3x+2≤0,则 x≥2 D.若 x ﹣3x+2≤0,则 x≤2 考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据逆否命题的定义写出命题的逆否命题即可. 2 解答: 解:命题“若 x>2,则 x ﹣3x+2>0”的逆否命题是: 2 若 x ﹣3x+2≤0,则 x≤2, 故选:D. 点评: 本题考查了四种命题之间的关系,是一道基础题.

2. (5 分)已知直线 ax+y+2=0 的倾斜角为 A.1 B.﹣1

,则 a 等于() C. D.﹣2

考点: 直线的倾斜角. 专题: 直线与圆. 分析: 利用直线的斜率与倾斜角的关系即可得出. 解答: 解:∵直线 ax+y+2=0 的倾斜角为 ∴﹣a= , ,

∴a=1. 点评: 本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系,属于基础题.

3. (5 分)已知椭圆 A.2

+

=1(b>0)的一个焦点为(2,0) ,则椭圆的短轴长为() C. 6 D.4

B. 4

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用椭圆 求出椭圆的短轴长. 解答: 解:因为椭圆
2

+

=1(b>0)的一个焦点为(2,0) ,可得 8﹣b =4,求出 b,即可

2

+

=1(b>0)的一个焦点为(2,0) ,

所以 8﹣b =4, 所以 b=2, 所以 2b=4, 故选:B. 点评: 本题考查椭圆的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础.
2

4. (5 分)已知 f′(x)是函数 f(x)=x ﹣ (x≠0)的导函数,则 f′(﹣1)等于() A.﹣3 B.﹣2 C.﹣1 D.2

考点: 导数的运算. 专题: 导数的综合应用. 分析: 利用导数的运算法则可得:f′(x)=2x+ 解答: 解:f′(x)=2x+ , ,代入即可得出.

∴f′(﹣1)=﹣2+1=﹣1. 故选:C. 点评: 本题考查了导数的运算法则,属于基础题.

5. (5 分)已知双曲线 x ﹣ A.2 B. 3

2

=1(b>0)的离心率 C. 4

,则 b 等于() D.5

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由双曲线 x ﹣ 出 b 的值. 解答: 解:∵双曲线 x ﹣ ∴a=1,c= ∴b= , =3,
2 2

=1(b>0)的离心率

,可得 a=1,c=

,求出 b,即可求

=1(b>0)的离心率为



故选:B. 点评: 本题主要考查双曲线的简单性质的应用,属于基础题. 6. (5 分)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()

A.

B.

C. 1

D.2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱, 底面是直角三角形, 利用三视图的数 据,直接求出棱柱的体积即可.

解答: 解:由题意可知几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱,底面是直角三角形, 直角边分别为:1, ,棱柱的高为 ,所以几何体的体积为: =1.

故选 C. 点评: 本题考查三视图与几何体的关系,考查想的视图能力与空间想象能力. 7. (5 分)直线 l 过圆 x +y ﹣2x+4y﹣4=0 的圆心,且在 y 轴上的截距等于圆的半径,则直 线 l 的方程为() A.5x+y﹣3=0 B.5x﹣y﹣3=0 C.4x+y﹣3=0 D.3x+2y﹣6=0 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 首先将圆的方程化为标准方程,明确圆心即半径,利用两点式求出直线方程. 2 2 解答: 解:由已知得圆的方程为(x﹣1) +(y+2) =9, 所以圆心为(1,﹣2) ,半径为 3, 由两点式导弹直线方程为: ,
2 2

化简得 5x+y﹣3=0. 故选 A. 点评: 本题考查了直线与圆的位置关系以及两点式求直线方程,属于基础题目. 8. (5 分)曲线 f(x)=(2x﹣m)e 在 x=0 处的切线与直线 x+3y=0 垂直,则 m 等于() A. B. 2 C. D.﹣1
x

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用;直线与圆. 分析: 求出函数的导数,求得切点处的切线的斜率,由两直线垂直的条件可得斜率为 3, 即可解得 m 的值. x x 解答: 解:f(x)=(2x﹣m)e 在的导数为 f′(x)=(2x﹣m+2)e , 即有 f(x)在 x=0 处的切线斜率为 k=2﹣m, 由在 x=0 处的切线与直线 x+3y=0 垂直, 即有 2﹣m=3, 解得 m=﹣1. 故选:D. 点评: 本题考查导数的几何意义: 函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率, 同 时考查两直线垂直的条件,正确求出导数是解题的关键. 9. (5 分)已知直线 a,平面 α,β,且 a?α,则“a⊥β”是“α⊥β”的() A.充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 空间位置关系与距离;简易逻辑.

分析: 根据线面垂直和面面垂直之间的关系, 结合充分条件和必要条件的定义进行判断即 可. 解答: 解:由面面垂直的判定定理得,若 a⊥β,∵a?α,∴α⊥β 成立, 反之,若 α⊥β,则 a 与 β 位置关系不确定, 故“a⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件, 故选:B. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据线面垂直和面面垂直之间的关系是 解决本题的关键. 10. (5 分)设抛物线 x =8y 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足, 如果直线 AF 的倾斜角等于 60°,那么|PF|等于() A.2 B. 4 C. D.4
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先求出|AF|,过 P 作 PB⊥AF 于 B,利用|PF|= 解答: 解:在△ APF 中,由抛物线的定义,可得|PA|=|PF|, ∵|AF|sin 60°=4,∴|AF|= , = . ,求出|PF|.

又∠PAF=∠PFA=30°,过 P 作 PB⊥AF 于 B,则|PF|= 故选:C.

点评: 抛物线的定义,可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离. 二.填空题 2 2 11. (5 分)命题“?x∈Z,x +2x+m≤0”的否定是“?x∈Z,x +2x+m>0. 考点: 专题: 分析: 解答: 命题的否定. 简易逻辑. 根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论. 解: 命题为特 称命题,

则命题“?x∈Z,x +2x+m≤0”的否定是:“?x∈Z,x +2x+m>0” 2 故答案为:?x∈Z,x +2x+m>0 点评: 本题主要 考查含有量词的命题的否定,比较基础.

2

2

12. (5 分)已知球 O 的表面积是其半径的 6π 倍,则该球的体积为 π.

考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;球. 分析: 设球 O 的半径为 r ,由球的表面积公式,解方程求得 r,再由球的体积公式,计算 即可得到. 解答: 解:设球 O 的半径为 r, 则 4πr =6πr, 解得 r= , 则球的体积为 V= πr = π× = π. 故答案为: π. 点评: 本题考查球的表面积和体积的公式的运用,考查运算能力,属于基础题.
3 2 3 2

13. (5 分)函数 f(x)= x ﹣3x +2015 在区间上的最小值为 1997.

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求导数,确定函数在区间上的单调性,从而可得结论 解答: 解:∵f(x)= x ﹣3x +2015 ∴f′(x)=x ﹣6x=x(x﹣6) ∴函数在上,f ′(x)<0,函数单调递减, ∴函数在 x=3 处取得最小值 f(3)=1997, 故答案为:1997 点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的最值,确定函数的单调性是关键. 14. (5 分)已知圆 C:x +y ﹣4x+m=0 与圆(x﹣3) +(y+2 点,则点 P 到直线 mx﹣4y+4=0 的距离的最大值为 3. 考点: 专题: 分析: 解答:
2 2 2 2 3 2

) =4 外切,点是圆 C 一动

2

圆与圆的位置关系及其判定. 直线与圆. 根据两圆外切求出 m 的值,利用直线和圆的位置关系即可得到结论. 2 2 解:圆 C 的标准方程为(x﹣2) +y =4﹣m,

∵两圆相外切, ∴ ,解得 m=3, ,

∵圆心 C(2,0)到 3x﹣4y+4=0 的距离 d=0

∴点 P 到直线 3x﹣4y+4=0 的距离的最大值为 2+1=3, 故答案为:3 点评: 本题主要考查点到直线距离的求解,根据圆与圆的位置关系求出 m 是解决本题的 关键. 三.解答题 15. (12 分)已知直线 l:x﹣2y﹣1=0,直线 l1 过点(﹣1,2) . (1)若 l1⊥l,求直线 l1 与 l 的交点坐标; (2)若 l1∥l,求直线 l1 的方程. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1) 由 l1⊥l, 可设直线 l1 的方程为 2x+y+m=0, 把点 (﹣1, 2) 代入可得﹣2+2+m=0, 解得 m,联立直线方程即可得出交点. (2)由 l1∥l,直线 l1 的方程为 x﹣2y+n=0,把点(﹣1,2)代入即可得出. 解答: 解: (1)∵l1⊥l,∴可设直线 l1 的方程为 2x+y+m=0,把点(﹣1,2)代入可得﹣ 2+2+m=0,解得 m=0.∴直线 l1 的方程为 2x+y=0.

联立

,解得

,∴交点为



(2)∵l1∥l,∴直线 l1 的方程为 x﹣2y+n=0, 把点(﹣1,2)代入可得﹣1 ﹣4+n=0,解得 n=5. ∴直线 l1 的方程为 x﹣2y+5=0. 点评: 本题考查了相互垂直、平行的直线斜率之间的关系、直线的交点,属于基础题. 16. (13 分)设条件 p:x ﹣6x+8≤0,条件 q:a≤x≤a+1.若 p 是 q 的必要不充分条件,求实 数 a 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用不等式的解法,利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 2 解答: 解:由 x ﹣6x+8≤0 得 2≤x≤4, 若 p 是 q 的必要不充分条件, 则 ,
2

解得 2≤a≤3, 故实数 a 的取值范围是.

点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用, 利用不等式的解法求出不等式的解是解 决本题的关键,比较基础. 17. (13 分)如图,四边形 ABCD 是矩形,平面 ABCD⊥平面 BCE,BE⊥EC . (1)求证:平面 AEC⊥平面 ABE; (2)点 F 在 BE 上.若 DE∥平面 ACF,求 的值.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的性质. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)根据平面 ABCD⊥平面 BCE,利用面面垂直的性质可得 AB⊥平面 BCE,从 而可得 CE⊥AB,由 CE⊥BE,根据线面垂直的判定可得 CE⊥平面 ABE,从而可 得平面 AEC⊥平面 ABE; (2)连接 BD 交 AC 于点 O,连接 OF.根据 DE∥平面 ACF,可得 DE∥OF,根据 O 为 BD 中点,可得 F 为 BE 中点,从而可得结论. 解答: (1)证明:因为 ABCD 为矩形,所以 AB⊥BC. 因为平面 ABCD⊥平面 BCE,平面 ABCD∩平面 BCE=BC,AB?平面 ABCD, 所以 AB⊥平面 BCE. …(3 分) 因为 CE?平面 BCE,所以 CE⊥AB. 因为 CE⊥BE,AB?平面 ABE,BE?平面 ABE,AB∩BE=B, 所以 CE⊥平面 ABE. …(6 分) 因为 CE?平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 ABE. …(8 分) (2)解:连接 BD 交 AC 于点 O,连接 OF. 因为 DE∥平面 ACF,DE?平面 BDE,平面 ACF∩平面 BDE=OF, 所以 DE∥OF. …(12 分) 又因为矩形 ABCD 中,O 为 BD 中点, 所以 F 为 BE 中点,即 = . …(14 分)

点评: 本题考查线面、面面垂直的判定与性质,考查线面平行,掌握线面、面面垂直的 判定与性质是关键.

18. (14 分)已知圆 C:x +y +Dx+Ey+3=0,圆 C 关于直线 x+y﹣1=0 对称,圆心在第二象 限,半径为 (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)已知不过原点的直线 l 与圆 C 相切,且在 x 轴、y 轴上的截距相等,求直线 l 的方程. 考点: 圆的标准方程;圆的切线方程. 分析: (Ⅰ)由圆的方程写出圆心坐标,因为圆 C 关于直线 x+y﹣1=0 对称,得到圆心在 直线上代入得到①, 把圆的方程变成标准方程得 到半径的式子等于 得到②, ①②联立 求出 D 和 E,即可写出圆的方程; (Ⅱ)设 l:x+y=a,根据圆心到切线的距离等于半径列出式子求出 a 即可. 解答: 解: (Ⅰ)由 x +y +Dx+Ey+3=0 知圆心 C 的坐标为(﹣ ,﹣ ) ∵圆 C 关于直线 x+y﹣1=0 对称 ∴点(﹣ ,﹣ )在直线 x+y﹣1=0 上
2 2

2

2

即 D+E=﹣2,①且

=2②

又∵圆心 C 在第二象限∴D>0,E<0 由①②解得 D=2,E=﹣4 2 2 ∴所求圆 C 的方程为:x +y +2x﹣4y+3=0 (Ⅱ)∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零,设 l:x+y=a 2 2 ∵圆 C: (x+1) +(y﹣2) =2 ∴圆心 C(﹣1,2)到切线的距离等于半径 , 即| |= ,∴a=﹣1 或 a=3

所求切线方程 x+y=﹣1 或 x+y=3 点评: 考查学生会把圆的方程变为标准方程的能力, 理解直线与圆相切即为圆心到直线的 距离等于半径. 19. (14 分)已知抛物线 C1:y =2px(p>0)的准线截圆 C2:x +y =1 所得的弦长为 (1)求抛物线 C1 的方程; (2) 倾斜角为
2 2 2



且经过点 (2, 0) 的直线 l 与抛物线 C1 相交于 A、 B 两点, 求证: OA⊥OB.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用弦心距、半弦长与半径之间的关系计算即得结论; (2)通过设直线 l 的方程并与抛物线方程联立,利用韦达定理及向量数量积计算即得结论. 解答: (1)解:∵抛物线 C1 的直线方程为:x=﹣ , ∴圆心(0,0)到其距离为 ,

由已知得 2
2

=

,解得 p=1,

∴抛物线 C1 的方程为:y =2x; (2)证明:直线 l 的方程为:y=x﹣2, 联立 ,消去 y 得:x ﹣6x+4=0,
2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由韦达定理知:x1+x2=6,x1x2=4, ∵ =(x1,y1)?(x2,y2)

=x1x2+(x1﹣2) (x2﹣2) =2x1x2﹣2(x1+x2)+4 =2×4﹣2×6+4 =0, ∴OA⊥OB. 点评: 本题考查求抛物线方程,考查直线与直线的垂直关系,注意解题方法的积累,属于 中档题. 20. (14 分)已知 函数 f(x)=alnx+bx 在 x=1 处的切线与直线 x﹣y+1=0 平行,函数 f(x) 在上是单调函数且最小值为 0. (1)求实数 a,b; 2 (2)对一切 x∈(0,+∞) ,xf(x)≤x ﹣cx+12 恒成立,求实数 c 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究曲线 上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)求出 f(x)的导数,求得切线的斜率,由两直线平行的条件,可得 a+b=1, 讨论 f(x)在的单调性,可得最小值,解方程即可得到 a,b,注意检验; (2)运用参数分离,可得 c≤x+ ﹣lnx 在(0,+∞)恒成立.令 g(x)=x+ ﹣lnx,x>0,

求得导数和单调区间,即可得到最小值,即可得到 c 的范围. 解答: 解: (1)函数 f(x)=alnx+bx 的导数为 f′(x)=b+ , 即有在 x=1 处的切线斜率为 a+b, 由题意可得 a+b=1, 若函数 f(x)在上是单调递增,则 f(1)=0, 即有 b=0,a=1; 若函数 f(x)在上是单调递减,则 f(e)=0, 即有 a+be=0,解得 a= 即有 f′(x)= ﹣ ,b= ,

,在上 f′(x)>0,

即有 f(x)在上递增,不成立. 则有 a=1,b=0;

(2)f(x)=lnx, 对一切 x∈(0,+∞) ,xf(x)≤x ﹣cx+12 恒成立, 即有 c≤x+ ﹣lnx 在(0,+∞)恒成立. ﹣lnx,x>0,
2

令 g(x)=x+

g′(x)=1﹣

﹣ =



当 x>4 时,g′(x)>0,g(x)递增; 当 0<x<4 时,g′(x)<0,g(x)递减. 即有 g(x)在 x=4 处取得极小值,也为最小值,且为 7﹣2ln2, 则有 c≤7﹣2ln2. 则 c 的取值范围是(﹣∞,7﹣4ln2]. 点评: 本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间、极值和最值,主要考查导数的几 何意义和二次不等式的解法,运用参数分离和函数的单调性是解题的关键.


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