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人教版高数必修三第10讲:事件与概率(2)(教师版)

事件与概率(2)

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1.正确理解概率的意义;利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题. 2.正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念;通过事件的 关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养学生的类比与归纳的数学思想.

一. 概率的意义 m 1. 一般地,在 n 次重复进行的试验中,事件 A 发生的频率为 ;当 n 很大时,频率总是在某个 n 常数附近摆动,随着 n 的增加,摆动幅度越来越小,这时就把这个常数叫做事件 A 的______,记作 ______. 从定义中,可以看出随机事件 A 的概率 P(A)满足____________.这是因为在 n 次试验中,事件 m A 发生的频率 m 满足 0≤m≤n,所以 0≤ ≤1.当 A 是必然事件时,__________,当 A 是不可能事件 n 时____________. 2. 概率是可以通过______来“测量”的,或者说频率是概率的一个________,概率从______上 反映了一个事件发生的可能性的大小. 概率 P(A) 0≤P(A)≤1

P(A)=1

P(A)=0

频率

近似值

数量

二、事件的关系与运算 1.互斥事件 不可能同时发生的两个事件叫______________(或称为______________). 互斥事件 互不相容事件 2.并(和)事件 若事件 A 和事件 B 中至少有一个发生,则 C 发生;若 C 发生,则 A、B 中至少有一个发生,称事 件 C 为 A 与 B 的并(或和).
1

一般地,由事件 A 和 B 至少有一个发生所构成的事件 C,称为事件 A 与 B 的并(或和). (1)与集合定义类似,并事件可如图表示.

(2)事件 A 与事件 B 的并事件等于事件 B 与事件 A 的并事件,即 A∪B=B∪A.

(3)并事件包含三种情形:事件 A 发生,事件 B 不发生;事件 A 不发生,事件 B 发生;事件 A、

B 同时发生.
(4)推广:如果事件 A1、A2、…、An 中的任何两个都互斥,就称事件 A1、A2、…、An 彼此互斥, 从集合角度看,n 个事件彼此互斥是指各个事件所含结果的集合彼此不相交. 如在一次投掷骰子的实验中,若

C1={出现 1 点};C2={出现 2 点};C3={出现 3 点}; C4={出现 4 点或出现 5 点};C5={出现 6 点};
则事件 C1,C2,C3,C4,C5 彼此互斥. 3.对立事件 不可能同时发生且必有一个发生的两个事件互为对立事件. (1)事件 A 与 B 对立是指事件 A 与事件 B 在一次试验中有且仅有一个发生. (2)对立事件是针对两个事件来说的, 一般地, 两个事件对立, 则两个事件必是互斥事件; 反之, 两个事件是互斥事件,却未必是对立事件. (3)对立事件是一种特殊的互斥事件, 若 A 与 B 是对立事件, 则 A 与 B 互斥且 A∪B 为必然事件. (4)从集合角度看,事件 A 的对立事件,是全集中由事件 A 所含结果组成的集合的补集. (5)设事件 A 的对立事件为 A ,则 P( A )=1-P(A)

三、概率的几条基本性质 1.概率 P(A)的取值范围 由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在 0 和 1 之间,从而任何事件的概率在 0 到 1 之间,即 0≤P(A)≤1. (1)必然事件 B 一定发生,则 P(B)=1. (2)不可能事件 C 一定不发生,因此 P(C)=0. 2.互斥事件的概率加法公式 如果 A、B 是互斥事件,在 n 次试验中,事件 A 出现的频数为 n1,事件 B 出现的频数为 n2,则 事件 A∪B 出现的频数为 n1+n2,事件 A∪B 的频率为
2

n1+n2 n1 n2 n1 n2 = + ,而 、 分别为事件 A、B 出 n n n n n

现的频率,由概率的统计定义可知 P(A∪B)=P(A)+P(B).

(1)用频率可以估计概率,因此概率应具有频率的性质. (2)加法公式的前提条件是:事件 A 与事件 B 互斥,如果没有这一条件,加法公式将不能应用. 如掷骰子试验中, “出现偶数点” , “出现 2 点” 分别记为事件 A、 B, 则 A、 B 不互斥, P(A∪B)≠P(A) +P(B). (3)如果事件 A1、A2、…、An 彼此互斥,那么

P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) .
即彼此互斥的事件并的概率等于它们的概率的和. (4)在求某些复杂的事件的概率时,可将其分解成一些较易求的彼此互斥的事件,化整为零,化 难为易. 3.对立事件的概率公式 若事件 A 与 B 互为对立事件, 则 A∪B 为必然事件, 所以 P(A∪B)=1, 又 P(A∪B)=P(A)+P(B), ∴P(A)=1-P(B). (1)公式使用的前提必须是对立事件,否则不能使用此公式. (2)当一事件的概率不易直接求, 但其对立事件的概率易求时, 可运用此公式使用间接法求概率.

类型一 概率的意义 例 1:有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面向上的概率为 0.5,那么连续抛掷一枚硬币两次,一 定是一次正面朝上,一次反面朝上,你认为这种想法正确吗? [解析] 这种想法显然是错误的,通过具体试验验证便知.用概率的知识来理解,就是:尽管每 次抛掷硬币的结果出现正、反面朝上的概率都是 0.5,但连续两次抛掷硬币的结果不一定恰好是正面 朝上、反面朝上各一次,只有通过大量实验,会发现正面向上的频率随实验次数的增加越来越稳定 在 0.5 附近,即与 0.5 的差越来越小. 练习 1:解释下列概率的含义: (1)某厂生产产品合格的概率为 0.9; (2)一次抽奖活动中,中奖的概率为 0.2. [答案] (1)说明该厂产品合格的可能性为 90%,也就是说,100 件该厂的产品中大约有 90 件是合格品. (2)说明参加抽奖的人中有 20%的人可能中奖, 也就是说, 若有 100 人参加抽奖, 约有 20 人中奖. 练习 2:气象台预测“本市明天降雨的概率是 90%” ,对预测的正确理解是( A.本市明天将有 90%的地区降雨 C.明天出行不带雨具肯定会淋雨 [答案] D 类型二 频率与概率的关系及求法 例 2:下表是某乒乓球的质量检查统计表: 抽取球数 优等品数 优等品频率 (1)计算各组优等品频率,填入上表; (2)根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率.
3

)

B.本市明天将有 90%的时间降雨 D.明天出行不带雨具可能会淋雨

50 45

100 92

200 194

500 470

1 000 954

2 000 1 902

[解析]

(1) 根 据 优 等 品 频 率 =

优等品数 ,可得优等品的频率从左到右依次为: 抽取球数

0.9,0.92,0.97,0.94,0,954,0.951. (2)由(1)可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在 0.95 附近,故优等品的概率是 0.95. 练习 1:下表是某地区从某年起几年之内的新生婴儿数统计表: 时间范围 新生婴儿数 男婴数 男婴出生频率 (1)计算各组年内男婴出生频率,填入上表; (2)根据频率的稳定性估计事件“新生婴儿是男婴”的概率. [答案] (1)男婴出生频率从左到右依次为 0.519,0.517, 0.517,0.517. (2)由于以上的频率在常数 0.517 附近摆动,故这一地区男婴出生的概率约为 0.517. 练习 2:对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层 抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1、p2、p3,则( ) A.p1=p2<p3 [答案] D 类型三 概率的求法 例 3:盒中只装有 4 只白球、5 只黑球,从中任意取出一只球. (1)“取出的球是黄球”是什么事件?它的概率是多少? (2)“取出的球是白球”是什么事件?它的概率是多少? (3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件?它的概率是多少? [解析] 概率是 0. 4 (2)“取出的球是白球”是随机事件,它的概率为 . 9 (3)“取出的球是白球或是黑球”在题设条件下必然要发生,因此,它是必然事件,它的概率为 1. 练习 1:某班主任对全班 50 名学生进行了作业量多少的调查,数据如下表: 认为作业多 喜欢电脑游戏 不喜欢电脑游戏 总数 18 8 26 认为作业不多 9 15 24 总数 27 23 50 (1)“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生,因此,它是不可能事件,它的 B.p2=p3<p1 C.p1=p3<p2 D.p1=p2=p3 1 年内 5 554 2 883 2 年内 9 607 4 970 3 年内 13 520 6 994 4 年内 17 190 8 892

如果校长随机地问这个班的一名学生,下面事件发生的概率是多少? (1)认为作业多; (2)喜欢电脑游戏并认为作业不多. [答案] (1)记“认为作业多”为事件 A,则由公式可知,

4

26 P(A)= =0.52. 50 9 (2)记“喜欢电脑游戏并认为作业不多”为事件 B,则由公式知,P(B)= =0.18. 50 类型四 概率在实际中的应用 例 4:李老师在某大学连续 3 年主讲经济学院的高等数学,下表是李老师这门课 3 年来的考试 成绩分布: 成绩 90 分以上 80 分~89 分 70 分~79 分 60 分~69 分 50 分~59 分 50 分以下 人数 43 182

260

90

62 8

经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课,用已有的信息估计她得以下分 数的概率(结果保留到小数点后三位):(1)90 分以上;(2)60 分~69 分;(3)60 分以上. [解析] 随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定, 但是在大量重复试验的情况下, 它 的发生呈现出一定的规律性,可以用事件发生的频率去“测量” ,因此可以通过计算事件发生的频率 去估算概率. 根据公式可计算出修李老师的高等数学课的人数考试成绩在各个段上的频率依次为(总人数为 43 182 260 90 62 43+182+260+90+62+8=645) ≈0.067, ≈0.282, ≈0.403, ≈0.140, ≈0.096, 645 645 645 645 645 8 ≈0.012. 645 用已有的信息可以估计出王小慧下学期修李老师的高等数学课得分的概率如下: (1)得“90 分以上”记为事件 A,则 P(A)=0.067. (2)得“60 分~69 分”记为事件 B,则 P(B)=0.140. (3)得“60 分以上”记为事件 C,则

P(C)=0.067+0.282+0.403+0.140=0.892.
练习 1:为了测试贫困地区和发达地区同龄儿童的智力,出了 10 个智力题,每个题 10 分,然 后作了统计,下表是统计结果. 贫困地区: 参加测试的人数 30 50 100 200 500 800

5

得 60 分以上的人数 得 60 分以上的频率 发达地区: 参加测试的人数 得 60 分以上的人数 得 60 分以上的频率

16

27

52

104

256

402

30 17

50 29

100 56

200 111

500 276

800 440

(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得 60 分以上的频率; (2)求两个地区参加测试的儿童得 60 分以上的概率; (3)分析贫富差距为什么会带来人的智力的差别. [解析] (1)贫困地区: 参加测试的人数 得 60 分以上的人数 得 60 分以上的频率 发达地区: 参加测试的人数 得 60 分以上的人数 得 60 分以上的频率 30 17 0.567 50 29 0.580 100 56 0.560 200 111 0.555 500 276 0.552 800 440 0.550 30 16 0.533 50 27 0.540 100 52 0.520 200 104 0.520 500 256 0.512 800 402 0.503

(2)随着测试人数的增加,贫困地区和发达地区得 60 分以上的频率逐渐趋于 0.5 和 0.55,故概率 分别为 0.5 和 0.55. (3)经济上的贫困导致该地区生活水平落后,儿童的健康和发育会受到一定的影响;另外经济落 后也会使教育事业发展落后,导致智力出现差别. 练习 2:有 3 只箱子,第 1 只箱内装有 2 条红色毛巾,第 2 只箱内装有 2 条白色毛巾,第 3 只 箱内装有 1 条红色和 1 条白色毛巾,箱子上标有毛巾的颜色.现在 3 只箱子的标签被人换了,每只 箱子上的标签都是错的.允许你从任意 1 只箱子中拿 1 条毛巾,但拿毛巾时不准看箱子里面,然后 根据拿出的毛巾判断 3 只箱子里毛巾的颜色,最少需要拿几次? [答案] 先从标着红白的箱子里取毛巾, 如果从这只箱子里取出的毛巾是白色的, 则这个箱子里 两条毛巾都是白色的.这样就可以判断,标签上标着两白的箱子装了两条红毛巾,另一只箱子里的 毛巾就是一红一白;如果从这只箱子里取出的毛巾是红色的,则这个箱子里装了两条红色毛巾,这 样就可以判断,标签上标着两红的箱子装了两条白毛巾,另一只箱子里的毛巾就是一条红色一条白 色. 类型五 互斥事件的概念 例 5:判断下列每对事件是否为互斥事件. (1)将一枚硬币抛两次,事件 A:两次出现正面,事件 B:只有一次出现正面; (2)某人射击一次,事件 A:中靶,事件 B:射中 9 环; (3)某人射击一次,事件 A:射中环数大于 5,事件 B:射中环数小于 5. [解析] (1)若“两次出现正面”发生,则“只有一次出现正面”不发生,反之亦然,即事件 A
6

与 B 不可能同时发生,∴A、B 互斥. (2)某人射击一次中靶不一定击中 9 环,但击中 9 环一定中靶,即 B 发生则 A 一定发生,∴A、B 不互斥. (3)事件 A 发生,则事件 B 一定不发生,故 A、B 互斥. 练习 1:某小组有 3 名男生和 2 名女生,从中任选 2 名同学参加演讲比赛.判断下列每对事件 是不是互斥事件,如果是,再判别它们是不是对立事件. (1)恰有一名男生与两名全是男生; (2)至少有 1 名男生与全是男生; (3)至少有 1 名男生与全是女生; (4)至少有 1 名男生与至少有 1 名女生. [答案] 判别两个事件是否互斥,就是考察它们是否能同时发生;判别两个互斥事件是否对立, 就要考察它们是否必有一个发生. (1)因为“恰有 1 名男生”与“两名全是男生”不可能同时发生,所以它们是互斥事件;当两名 都是女生时它们都不发生,所以它们不是对立事件. (2)因为“两名全是男生”发生时“至少有一名男生”也同时发生,所以它们不是互斥事件. (3)因为“至少有一名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥;由于它们必有一 个发生,所以它们对立. (4)由于选出的是“一名男生一名女生”时“至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生, 所以它们不是互斥事件. 练习 2:如果事件 A、B 互斥,那么( A.A∪B 是必然事件 C. A 与 B 一定互斥 [答案] B 类型六 对立事件的概念 例 6:抛掷一个骰子,用图形画出下列每对事件所含结果所形成的集合之间的关系,并说明二 者之间是否构成对立事件. (1)“朝上的一面出现奇数”与“朝上的一面出现偶数”; (2)“朝上的一面数字不大于 4”与“朝上的一面的数字大于 4”. [解析] 对立事件的含义是:两个事件在一次试验中有且仅有一个发生,类比集合.可用 Venn 图揭示事件之间的关系. (1)根据题意作出 Venn 图. 从图(1)中可以看到: “朝上的一面出现奇数”与“朝上的一面出现偶数”各自所含结果所组成的 集合互为补集,因此它们构成对立事件. (2)根据题意作出 Venn 图. ) B. A ∪ B 是必然事件 D. A 与 B 一定不互斥

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从 Venn 图(2)中可以看到:“朝上的一面的数字不大于 4”与“朝上的一面的数字大于 4”各自 所含结果组成的集合互为补集,它们构成对立事件. 练习 1:从一堆产品(其中正品与次品的件数都大于 2)中任取 2 件,下列每对事件是对立事件的 是( ) A.恰好有 2 件正品与恰好有 2 件次品 B.至少有 1 件正品与至少有 1 件次品 C.至少 1 件次品与全是正品 D.至少 1 件正品与全是正品 [答案] C 类型七 互斥事件与对立事件的概率 例 7:一盒中装有各色球 12 只,其中 5 红、4 黑、2 白、1 绿,从中取 1 球.求: (1)取出球的颜色是红或黑的概率; (2)取出球的颜色是红或黑或白的概率. [解析] 解法一:(1)从 12 只球中任取 1 球得红球有 5 种取法,得黑球有 4 种取法,得红球或黑 球共有 5+4=9 种不同取法,任取一球有 12 种取法. 9 3 ∴任取 1 球得红球或黑球的概率为 P1= = . 12 4 (2)从 12 只球中任取 1 球得红球有 5 种取法,得黑球有 4 种方法,得白球有 2 种取法,从而得红 5+4+2 11 或黑或白球的概率为 P2= = . 12 12 解法二:利用互斥事件求概率. 记事件 A1:从 12 只球中任取 1 球得红球; A2:从中任取 1 球得黑球; A3:从中任取 1 球得白球; A4:从中任取 1 球得绿球, 5 4 2 1 则 P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= ,P(A4)= . 12 12 12 12 根据题意,A1、A2、A3、A4 彼此互斥,由互斥事件概率得(1)取出红球或黑球的概率为 5 4 3 P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)= + = ; 12 12 4 (2)取出红或黑或白球的概率为 5 4 2 11 P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= + + = . 12 12 12 12 解法三 :利用对立事件求概率.
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(1)由解法二,取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球,即 A1∪A2 的对立事件为 A3∪A4, ∴取出红球或黑球的概率为 2 1 9 3 P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4)=1- - = = . 12 12 12 4 (2)A1∪A2∪A3 的对立事件为 A4. 1 11 P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=1- = 即为所求. 12 12 练习 1:在数学考试中,小明的成绩在 90 分以上的概率是 0.18,在 80~89 分的概率是 0.51, 在 70~79 分的概率是 0.15,在 60~69 分的概率是 0.09,60 分以下的概率是 0.07.计算下列事件的概 率: (1)小明在数学考试中取得 80 分以上; (2)小明考试及格. [答案] 小明的成绩在 80 分以上可以看做是互斥事件“80~89 分” 、 “90 分以上”的并事件,小 明考试及格可看做是“60~69 分” 、 “70~79 分” 、 “80~89 分” 、 “90 分以上”这几个彼此互斥的事 件的并事件,又可看做是“不及格”的对立事件. 分别记小明的成绩在“90 分以上” 、在“80~89 分” 、在“70~79 分” 、在“60~69 分”为事件 B、C、D、E,这四个事件彼此互斥. (1)小明的成绩在 80 分以上的概率是 P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69. (2)解法一:小明考试及格的概率是 P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93. 解法二:小明考试不及格的概率是 0.07,所以小明考试及格的概率是 P(A)=1-0.07=0.93. ∴小明在数学考试中取得 80 分以上成绩的概率是 0.69,考试及格的概率是 0.93. 练习 2:抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现 1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点的概率 1 都是 ,记事件 A 为“出现奇数”,事件 B 为“向上的数不超过 3”,求 P(A∪B). 6 [答案] 记事件“出现 1 点”,“出现 2 点”,“出现 3 点”,“出现 5 点”分别为 A1,A2, 1 1 1 1 2 A3,A4,这四个事件彼此互斥,故 P(A∪B)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)= + + + = . 6 6 6 6 3

1.下列说法正确的是( ) A.某事件发生的频率为 P(A)=1.1 B.不可能事件的概率为 0,必然事件的概率为 1 C.小概率事件就是不可能发生的事件,大概率事件就是必然要发生的事件 D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 [答案] B 2.下列说法正确的是( ) A.事件 A、B 中至少有一个发生的概率一定比 A、B 中恰有一个发生的概率大 B.事件 A、B 同时发生的概率一定比事件 A、B 恰有一个发生的概率小 C.互斥事件一定是对立事件,对立事件并不一定是互斥事件 D.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件 [答案] D
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3. 从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋中任取 2 个球, 那么下列事件中, 互斥事件的个数是( ) ①至少有 1 个白球与都是白球; ②至少有 1 个白球与至少有 1 个红球; ③恰有 1 个白球与恰有 2 个红球; ④至少有 1 个白球与都是红球. A.0 B.1 C.2 D.3 [答案] C 4.下列说法:①频率反映的是事件发生的频繁程度,概率反映的是事件发生的可能性大小;② m 做 n 次随机试验,事件 A 发生 m 次,则事件 A 发生的频率 就是事件的概率;③百分率是频率,但 n 不是概率;④频率是不能脱离具体的 n 次的试验值,而概率是确定性的、不依赖于试验次数的理论 值;⑤频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.其中正确的说法是________. [答案] ①④⑤ 5.如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ构成,射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为 0.35、 0.30、0.25,则不命中靶的概率是________.

[答案] 0.10 6.甲、乙两人下象棋,甲获胜的概率为 30%,两人下成和棋的概率为 50%,则乙获胜的概率为 ________,甲不输的概率为________. [答案] 20% 80% 7.在某一时期内,一条河流某处的最高水位在各个范围内的概率如下: 年最高水位 (单位:m) 概率 [8,10) 0.1 [10,12) 0.28 [12,14) 0.38 [14,16) 0.16 [16,18) 0.08

计算在同一时期内,河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率: (1)[10,16)(m);(2)[8,12)(m);(3)[14,18)(m). [答案] 记河流年最高水位在“[8,10)”为事件 A,“[10,12)”为事件 B,“[12,14)”为事件 C,“[14,16)”为事件 D,“[16,18)”为事件 E,则 A、B、C、D、E 为互斥事件,由互斥事件的概 率的加法公式,得 (1)最高水位在[10,16)的概率为 P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.28+0.38+0.16=0.82. (2)最高水位在[8,12)的概率为 P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+0.28=0.38. (3)最高水位在[14,18]的概率为 P(D∪E)=P(D)+P(E)=0.16+0.08=0.24.

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基础巩固(1) 一、选择题 1.每道选择题有 4 个选择支,其中只有 1 个选择支是正确的.某次考试共有 12 道选择题,某 1 人说:“每个选择支正确的概率是 ,我每题都选择第一个选择支,则一定有 3 道题选择结果正确” 4 这句话( ) B.错误 D.无法解释

A.正确 C.不一定 [答案] B

[解析] 3 道题选择结果可能都正确,也可能都错误,还可能仅 1 道题正确,或仅 2 道题正确. 2.从一批准备出厂的电视机中随机抽取 10 台进行质量检查,其中有 1 台是次品,若用 C 表示 抽到次品这一事件,则对 C 的说法正确的是( 1 A.概率为 10 1 C.概率接近 10 [答案] B 1 [解析] 概率是一个客观存在的常数,不随试验的变化而变化,不能得出概率接近 的结论. 而 10 由频率的概念可知,选项 B 正确. 3.成语“千载难逢”意思是说某事( A.一千年中只能发生一次 C.发生的概率很小 [答案] C [解析] 根据概率的意义可知选项 A、B、D 都不正确. 4.给出下列三个命题,其中正确命题的个数为( ) ) B.一千年中一次也不能发生 D.为不可能事件,根本不会发生 ) 1 B.频率为 10 D.每抽 10 台电视机,必有 1 台次品

①设有一批产品,已知其次品率为 0.1,则从中任取 100 件,必有 10 件是次品; 3 ②做 7 次抛硬币的试验,结果 3 次出现正面,因此出现正面的概率是 ; 7 ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. A.0 个 C.2 个 [答案] A [解析] 频率是事件发生的次数 m 与试验次数 n 的比值;当 n 很大时,可以将事件发生的频率
11

B.1 个 D.3 个

作为事件发生的概率的近似值,故选 A. 5.下列结论正确的是( )

A.事件 A 的概率为 P(A),则必有 0<P(A)<1 B.事件 A 的概率 P(A)=0.999,则事件 A 是必然事件 C.用某种药物对患有胃溃疡的 500 名病人治疗,结果有 380 人有明显的疗效,现在胃溃疡的病 人服用此药,则估计有明显疗效的可能性为 76% D.某奖券中奖率为 50%,则某人购买此券 10 张,一定有 5 张中奖 [答案] C [解析] A 不正确,因为 0≤P(A)≤1;若 A 是必然事件,则 P(A)=1,故 B 不正确;对于 D,奖 券中奖率为 50%,若某人购买此券 10 张,则可能会有 5 张中奖,所以 D 不正确,故选 C. 6.有以下一些说法: ①一年按 365 天计算,两名学生的生日相同的概率是 1 ; 365

②买彩票中奖的概率是 0.001,那么买 1 000 张彩票一定能中奖; ③乒乓球比赛前,用抽签来决定谁先发球,抽签方法是从 1~10 共 10 个数中各抽取 1 个,再比 较大小,这种抽签方法是公平的; ④昨天没有下雨,则说明关于气象局预报昨天“降水概率为 90%”是错误的. 其中说法正确的是( A.①③ C.①②③ [答案] A [解析] 根据概率的意义逐一判断可知①③正确,②④不正确. 二、填空题 7.一个容量为 20 的样本,数据的分组及各组的频数如下:[10,20)2 个;[20,30)3 个;[30,40)x 个;[40,50)5 个;[50,60)4 个;[60,70)2 个,并且样本在[30,40)之间的频率为 0.2.则 x 等于________; 根据样本的频率分布估计,数据落在[10,50)的频率约为________. [答案] 4 0.7 14 [解析] 样本总数为 20 个,∴x=20-16=4,∴P= =0.7. 20 8.样本容量为 200 的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落 在[6,10)内的频数为______,数据落在[2,10)内的概率约为________. ) B.②③ D.①②③④

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[答案] 64

0.4

[解析] 由于在[6,10)范围内,频率/组距=0.08,所以频率=0.08×组距=0.32,而频数=频率× 样本容量,所以频数=0.32×200=64.同样,在[2,6)范围内的概率为(0.02+0.08)×4=0.4. 三、解答题 9.某出版社对某教辅图书的写作风格进行了 5 次“读者问卷调查”,结果如下: 被调查人数 n 满意人数 m m 满意频率 n (1)计算表中的各个频率; (2)读者对此教辅图书满意的概率 P(A)约是多少? (3)根据(1)(2)说明读者对此教辅图书满意情况. [解析] (1)表中各个频率依次是 0.998,0.998,0.998,0.999,1. (2)由第(1)问的结果,知某出版社在 5 次“读者问卷调查”中,收到的反馈信息是“读者对某教 辅图书满意的概率约是 P(A)=0.998.” 用百分数表示就是 P(A)=99.8%. (3)由(1)、(2)可以看出,读者对此教辅图书满意程度较高,且呈上升趋势. 基础巩固(2) 一、选择题 1.把红、黑、蓝、白 4 张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人,每人分得 1 张,事件“甲 分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( A.对立事件 C.互斥但不对立事件 [答案] C [解析] 由互斥事件的定义可知,甲、乙不能同时得此红牌.由对立事件的定义可知,甲、乙可 能都得不到红牌,即“甲或乙分得红牌”的事件可能不发生.故选 C. 2.1 人在打靶中连续射击 2 次,事件“至少有 1 次中靶”的对立事件是( A.至多有 1 次中靶 C.2 次都不中靶 B.2 次都中靶 D.只有 1 次中靶
13

1 001 999

1 000 998

1 004 1 002

1 003 1 002

1 000 1 000

) B.不可能事件 D.以上答案都不对

)

[答案] C [解析] “至少有 1 次中靶”包括两种情况:①有 1 次中靶;②有 2 次中靶.其对立事件为“2 次都不中靶”. 3.一个战士在一次射击中,命中环数大于 8,大于 5,小于 4,小于 6 这四个事件中,互斥事 件有( ) B.4 对 D.3 对

A.2 对 C.6 对 [答案] B

[解析] 按照互斥事件的定义, 两个事件不可能同时发生, 所以命中环数大于 8 与命中环数小于 4 是互斥事件;命中环数大于 8 与命中环数小于 6 是互斥事件;命中环数大于 5 与命中环数小于 4 是互斥事件.命中环数大于 5 与命中环数小于 6 也是互斥事件,故选 B. 4.若把一副扑克牌中的 4 个 K 随机分给甲、乙、丙、丁四人,每人得到 1 张扑克牌,则事件 “甲分到红桃 K”与事件“乙分到梅花 K”是( A.对立事件 C.互斥但非对立事件 [答案] D [解析] 由题意,对一次试验(即分一次牌),有可能“甲分到红桃 K”和“乙分到梅花 K”同时 发生. 5.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于 4.8 g 的概率是 0.3,质量不小于 4.85 g 的概率是 0.32,那么质量大于 4.8g,不大于 4.85g 的概率是( A.0.62 C.0.02 [答案] B [解析] 记事件 A=“质量不大于 4.85g”,事件 B=“质量小于 4.8g”,事件 C=“质量不小 于 4.8g,不大于 4.85g”,则 A=B∪C,且 B、C 互斥,所以 P(A)=P(B∪C)=P(B)+P(C),由此可 得 P(C)=P(A)-P(B)=(1-0.32)-0.3=0.38. 6.从 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这九个数字中任取两个数,分别有下列事件: ①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数; ②至少有一个是奇数和两个数都是奇数; ③至少有一个是奇数和两个数都是偶数; ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 其中为互斥事件的是( A.① C.③ [答案] C
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) B.不可能事件 D.以上都不对

)

B.0.38 D.0.68

) B.②④ D.①③

[解析] 所取两个数可能都是奇数,也可能都是偶数,还可能一个奇数一个偶数,故只有③中两 个事件互斥. 二、填空题 1 1 7.甲、乙两人下棋,和棋的概率为 ,乙获胜的概率为 ,则甲胜的概率为________,甲不输的 2 3 概率为________. [答案] 1 2 6 3

1 1 1 [解析] “甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件, 所以甲胜的概率为 1-( + )= ,“甲不输” 2 3 6 1 2 是“乙胜”的对立事件,所以甲不输的概率为 1- = . 3 3 8.如果事件 A 和 B 是互斥事件,且事件 A∪B 的概率是 0.8,事件 A 的概率是事件 B 的概率的 3 倍,则事件 B 的对立事件的概率为________. [答案] 0.8 [解析] 根据题意有 P(A∪B)=P(A)+P(B)=4P(B)=0.8,∴P(B)=0.2,则事件 B 的对立事件的 概率为 1-0.2=0.8. 三、解答题 9.(2014· 陕西文,19)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每 辆车的赔付结果统计如下: 赔付金额(元) 车辆数(辆) 0 500 1 000 130 2 000 100 3 000 150 4 000 120

(1)若每辆车的投保金额均为 2 800 元,估计赔付金额大于投保金额的概率; (2)在样本车辆中,车主是新司机的占 10%,在赔付金额为 4 000 元的样本车辆中,车主是新司 机的占 20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为 4 000 元的概率. [解析] (1)设 A 表示事件“赔付金额为 3 000 元”,B 表示事件“赔付金额为 4 000 元”,以频 率估计概率得 150 120 P(A)= =0.15,P(B)= =0.12. 1 000 1 000 由于投保金额为 2 800 元,赔付金额大于投保金额对应的情形是 3 000 元和 4 000 元,所以其概 率为 P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27. (2)设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔 4 000 元”,由已知,样本车辆中车主为新司机的有 0.1×1 000=100 辆,而赔付金额为 4 000 元的车辆中,车主为新司机的有 0.2×120=24 辆. 24 所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4 000 元的频率为 =0.24. 100 由频率估计概率得 P(C)=0.24.

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能力提升(1) 一、选择题 1. 从 16 个同类产品(其中有 14 个正品, 2 个次品)中任意抽取 3 个, 下列事件中概率为 1 的是( A.3 个都是正品 C.3 个中至少有一个是正品 [答案] C [解析] 16 个同类产品中,只有 2 个次品,抽取 3 个产品,A 是随机事件,B 是不可能事件,C 是必然事件,D 是随机事件,又必然事件的概率为 1,∴选 C. 2.下列说法中,不正确的是( ) B.3 个都是次品 D.3 个中至少有一个是次品 )

A.某人射击 10 次,击中靶心 8 次,则他击中靶心的频率是 0.8 B.某人射击 10 次,击中靶心 7 次,则他击不中靶心的频率是 0.7 1 C.某人射击 10 次,击中靶心的频率是 ,则他击中靶心 5 次 2 D.某人射击 10 次,击中靶心的频率是 0.6,则他击不中靶心的次数为 4 [答案] B [解析] 某人射击 10 次,击中靶心 7 次,则他击中靶心的频率为 0.7,故选项 B 错误. 3. 设某厂生产的某产品的次品率为 2%, 估算该厂生产 8 000 件产品中合格品的件数可能为( A.160 C.7 998 [答案] B [解析] 次品率为 2%,则 8 000 件产品中可能有 160 件次品,所以合格品可能为 8 000-160=7 840(件). 4.一袋中有红球 5 个、黑球 4 个,现从中任取 5 个球,至少有 1 个红球的概率为( 5 A. 9 4 C. 5 [答案] D [解析] 这是一个必然事件,其概率为 1. 二、填空题 3 5. 一个口袋装有白球、 红球共 100 个, 若摸出一个球为白球的概率为 , 则估计这 100 个球内, 4 有白球____________个. [答案] 75 3 [解析] 白球个数为 100× =75(个) 4 6. 玲玲和倩倩是一对好朋友, 她俩都想去观看周杰伦的演唱会, 可手里只有一张票, 怎么办呢?
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)

B.7 840 D.7 800

)

4 B. 9 D.1

玲玲对倩倩说:“我向空中抛两枚同样的一元硬币,如果落地后一正一反,我就去;如果落地后两 面一样,你就去!”你认为这个游戏________.(“公平”或“不公平”) [答案] 公平 [解析] 向空中同时抛两枚同样的一元硬币,落地后的结果有“正正”、“反正”、“正反”、 1 “反反”四种情况,其中“一正一反”和“两面一样”的概率都是 ,因此游戏是公平的. 2 三、解答题 7.某射击运动员进行双向飞碟射击训练,各次训练的成绩如下表: 射击次数 击中飞碟数 击中飞碟的频率 (1)将各次击中飞碟的频率填入表中; (2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少? [解析] 利用频率公式依次计算出击中飞碟的频率. 81 (1)射中次数 100,击中飞碟数是 81,故击中飞碟的频率是 =0.81,同理可求得下面的频率依 100 次是 0.792,0.820,0.820,0.793,0.794,0.807; (2)击中飞碟的频率稳定在 0.81,故这个运动员击中飞碟的概率约为 0.81. 8. 在一个试验中, 一种血清被注射到 500 只豚鼠体内. 最初, 这些豚鼠中有 150 只有圆形细胞, 250 只有椭圆形细胞,100 只有不规则形状细胞.被注射这种血清之后,具有圆形细胞的豚鼠没有被 感染,50 只具有椭圆形细胞的豚鼠被感染,具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染.根据实验结果 估计,分别具有圆形细胞、椭圆形细胞、不规则形状细胞的豚鼠被这种血清感染的概率. [解析] (1)记“具有圆形细胞的豚鼠被感染”为事件 A,则由题意可知,A 为不可能事件,所以 P(A)=0. 50 1 (2)记“具有椭圆形细胞的豚鼠被感染”为事件 B,则由题意,得 P(B)= = =0.2. 250 5 (3)记“具有不规则形状细胞的豚鼠被感染”为事件 C,则由题意可知,C 为必然事件,P(C)= 1. 能力提升(2) 一、选择题 1.一箱产品中有正品 4 件,次品 3 件,从中任取 2 件. ①恰有 1 件次品和恰有 2 件次品; ②至少有 1 件次品和全是次品; ③至少有 1 件正品和至少有 1 件次品; ④至少有 1 件次品和全是正品. 以上事件中互斥事件的组数是( )
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100 81

120 95

150 123

100 82

150 119

160 127

150 121

A.1 组 C.3 组 [答案] B

B.2 组 D.4 组

[解析] ①④中的两事件互斥,②③中的两事件不互斥. 2.一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6,将这个玩具抛掷一次,设事件 A 表示向上的一面出现奇数点(指向上的一面的点数是奇数), 事件 B 表示向上的一面的点数不超过 3, 事件 C 表示向上的一面出现的点数不小于 4,则( A.A 与 B 是互斥而非对立事件 B.A 与 B 是对立事件 C.B 与 C 是互斥而非对立事件 D.B 与 C 是对立事件 [答案] D [解析] 事件 A 与事件 B 可以同时发生,故排除选项 A、B;事件 B 与事件 C 是对立事件,故排 除选项 C,应选 D. 3.某家庭电话,有人时打进的电话响第一声时被接的概率为 1 3 ,响第二声时被接的概率为 , 10 10 ) )

2 1 响第三声时被接的概率为 ,响第四声时被接的概率为 ,则电话在响前四声内被接的概率为( 5 10 1 A. 2 3 C. 10 [答案] B 1 3 2 1 9 [解析] 电话在响前四声内被接的概率为 P= + + + = . 10 10 5 10 10 9 B. 10 4 D. 5

4.(2013· 陕西文,5)对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,下图为检测结果的频率分布 直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)上为一等品,在区间[15,20)和[25,30)上为二等品,在区 间[10,15)和[30,35]上为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取 1 件,则其为二等品的 概率是( )

A.0.09 C.0.25 [答案] D

B.0.20 D.0.45

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[解析] 由图可知,抽得一等品的概率为 0.3,抽得三等品的概率为 0.25,则抽得二等品的概率 为 1-0.3-0.25=0.45. 二、填空题 5.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出 1 个球,摸出红球的概率是 0.42, 摸出白球的概率是 0.28,那么摸出黑球的概率是____________. [答案] 0.3 [解析] P=1-0.42-0.28=0.3. 3 6.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为 ,乙 7 1 夺得冠军的概率为 ,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为____________. 4 [答案] 19 28

3 1 [解析] 设事件 A 为“甲夺得冠军”,事件 B 为“乙夺得冠军”,则 P(A)= ,P(B)= ,因为 7 4 3 1 19 事件 A 和事件 B 是互斥事件,所以 P(A∪B)=P(A)+P(B)= + = 7 4 28 三、解答题 7.某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件 A 为“只订甲报”,事件 B 为“至少订一种 报”,事件 C 为“至多订一种报”,事件 D 为“不订甲报”,事件 E 为“一种报也不订”,判断下 列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件. (1)A 与 C;(2)B 与 E;(3)B 与 D; (4)B 与 C;(5)C 与 E. [解析] (1)由于事件 C“至多订一种报”中有可能只订甲报,即事件 A 与事件 C 有可能同时发 生,故 A 与 C 不是互斥事件. (2)事件 B“至少订一种报”与事件 E“一种报也不订”是不可能同时发生的,故 B 与 E 是互斥 事件.由于事件 B 不发生可导致事件 E 一定发生,且事件 E 不发生会导致事件 B 一定发生,故 B 与 E 是对立事件. (3)事件 B“至少订一种报”中有可能只订乙报,即有可能不订甲报,即事件 B 发生时事件 D 也 可能发生,故 B 与 D 不互斥. (4)事件 B“至少订一种报”中有这些可能: “只订甲报”、 “只订乙报”、 “订甲、 乙两种报”; 事件 C“至多订一种报”中有这些可能:“什么报也不订”、“只订甲报”、“只订乙报”,由于 这两个事件可能同时发生,故 B 与 C 不是互斥事件. (5)由(4)的分析, 事件 E“一种报也不订”只是事件 C 的一种可能, 事件 C 与事件 E 有可能同时 发生,故 C 与 E 不互斥. 8.某射手在一次射击训练中,射中 10 环、9 环、8 环、7 环的概率分别为 0.21,0.23,0.25,0.28, 计算这个射手在一次射击中:
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(1)射中 10 环或 7 环的概率; (2)不够 7 环的概率. [解析] (1)设“射中 10 环”为事件 A,“射中 7 环”为事件 B,由于在一次射击中,A 与 B 不 可能同时发生,故 A 与 B 是互斥事件.“射中 10 环或 7 环”的事件为 A∪B. 故 P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49. ∴射中 10 环或 7 环的概率为 0.49. (2)不够 7 环从正面考虑有以下几种情况:射中 6 环、5 环、4 环、3 环、2 环、1 环、0 环,但由 于这些概率都未知, 故不能直接求解, 可考虑从反面入手, 不够 7 环的反面大于等于 7 环, 即 7 环、 8 环、9 环、10 环,由于此两事件必有一个发生,另一个不发生,故是对立事件,可用对立事件的 方法处理. 设“不够 7 环”为事件 E, 则事件 E 为“射中 7 环或 8 环或 9 环或 10 环”, 由(1)可知“射中 7 环”、“射中 8 环”等是彼此互斥事件,∴P( E )=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,从而 P(E)=1- P( E )=1-0.97=0.03. ∴不够 7 环的概率为 0.03.

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