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2013高考数学(理)一轮复习教案:第二篇-函数与基本初等函数Ⅰ第9讲-函数的应用

第9讲 函数的应用 【2013年高考会这样考】 1.考查二次函数模型的建立及最值问题. 2.考查分段函数模型的建立及最值问题. 3.考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题. 【复习指导】 函数模型的实际应用问题,主要抓好常见函数模型的训练,解答应用问 题的重点在信息整理与建模上,建模后利用函数知识分析解决问题. 基础梳理 1.常见的函数模型及性质 (1)几类函数模型 ①一次函数模型:y=kx+b(k≠0). ②二次函数模型:y=ax2+bx+c(a≠0). ③指数函数型模型:y=abx+c(b>0,b≠1). ④对数函数型模型:y=mlogax+n(a>0,a≠1). ⑤幂函数型模型:y=axn+b. (2)三种函数模型的性质   函数 性质   y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 在(0,+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳

图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax 一个防范 特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域. 四个步骤 (1)审题:深刻理解题意,分清条件和结论,理顺其中的数量关系,把握 其中的数学本质; (2)建模:由题设中的数量关系,建立相应的数学模型,将实际问题转化 为数学问题; (3)解模:用数学知识和方法解决转化出的数学问题; (4)还原:回到题目本身,检验结果的实际意义,给出结论. 双基自测 1.(人教A版教材习题改编)从1999年11月1日起,全国储蓄存款征收利 息税,利息税的税率为20%,由各银行储蓄点代扣代收,某人2011年6 月1日存入若干万元人民币,年利率为2%,到2012年6月1日取款时被银 行扣除利息税138.64元,则该存款人的本金介于(  ). A.3~4万元 B.4~5万元 C.5~6万元 D.2~3万元 解析 设存入的本金为x,则x·2%·20%=138.64,∴x==34 660. 答案 A 2.(2012·新乡月考)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系 是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万 元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(  ). A.100台 B.120台 C.150台 D.180台 解析 设利润为f(x)(万元),则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+ 5x-3 000≥0,∴x≥150. 答案 C 3.有一批材料可以围成200米长的围墙,现用此材料在一边靠墙的地方

围成一块矩形场地(如图),且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形, 则围成的矩形场地的最大面积为(  ). A.1 000米2 B.2 000米2 C.2 500米2 D.3 000米2 解析 设三个面积相等的矩形的长、宽分别为x米、y米,如图,则4x+ 3y=200,又矩形场地的面积S=3xy=3x·=x(200-4x)=-4(x-25)2+2 500,∴当x=25时,Smax=2 500. 答案 C 4.(2011·湖北)里氏震级M的计算公式为:M=lg A-lg A0,其中A是测震 仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一 次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为 0.001,则此次地震的震级为__________级;9级地震的最大振幅是5级 地震最大振幅的________倍. 解析 由lg 1 000-lg 0.001=6,得此次地震的震级为6级.因为标准地 震的振幅为0.001,设9级地震最大振幅为A9,则lg A9-lg 0.001=9解得 A9=106,同理5级地震最大振幅A5=102,所以9级地震的最大振幅是5 级地震的最大振幅的10 000倍. 答案 6 10 000 5.(2012·东三校联考)为了保证信息安全,传输必须使用加密方式,有 一种方式其加密、解密原理如下: 明文密文密文明文 已知加密为y=ax-2(x为明文,y为密文),如果明文“3”通过加密后得到 密文为“6”,再发送,接受方通过解密得到明文“3”,若接受方接到密文 为“14”,则原发的明文是________. 解析 依题意y=ax-2中,当x=3时,y=6,故6=a3-2,解得a=2.所 以加密为y=2x-2,因此,当y=14时,由14=2x-2,解得x=4. 答案 4  考向一 一次函数、二次函数函数模型的应用 【例1】?(2011·武汉调研)在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义 为:Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月生产x台某种产品的收入为R(x) 元,成本为C(x)元,且R(x)=3 000x-20x2,C(x)=500x+4 000(x∈N*). 现已知该公司每月生产该产品不超过100台. (1)求利润函数P(x)以及它的边际利润函数MP(x);

(2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差. [审题视点] 列出函数解析式,根据函数性质求最值. 解 (1)由题意,得x∈[1,100],且x∈N*. P(x)=R(x)-C(x) =(3 000x-20x2)-(500x+4 000) =-20x2+2 500x-4 000, MP(x)=P(x+1)-P(x)=[-20(x+1)2+2 500(x+1)-4 000]-(-20x2+2 500x- 4 000)=2 480-40x. (2)P(x)=-202+74 125, 当x=62或x=63时,P(x)取得最大值74 120元; 因为MP(x)=2 480-40x是减函数, 所以当x=1时,MP(x)取得最大值2 440元. 故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为71 680元. 二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建立二次函数模型可以求出函数 的最值,解决实际中的最优化问题,值得注意的是:一定要注意自变量 的取值范围,根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位 置关系讨论求解. 【训练1】 经市场调查,某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售 时间t(天)的函数,且销售量近似地满足f(t)=-2t+200(1≤t≤50,t∈N). 前30天价格为g(t)=t+30(1≤t≤30,t∈N),后20天价格为g(t)= 45(31≤t≤50,t∈N). (1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系; (2)求日销售额S的最大值. 解 (1)根据题意,得 S= = (2)①当1≤t≤30,t∈N时, S=-(t-20)2+6 400, ∴当t=20时,S的最大值为6 400; ②当31≤t≤50,t∈N时, S=-90t+9 000为减函数, ∴当t=31时,S的最大值为6 210. ∵6 210<6 400, ∴当t=20时,日销售额S有最大值6 400. 考向二 指数函数模型的应用

【例2】?某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服 用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近 似满足如图所示的曲线. (1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f(t); (2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25微克时,治疗有效. 求服药一次后治疗有效的时间是多长? [审题视点] 根据图象用待定系数法求出函数解析式,再分段求出时间 长. 解 (1)设y= 当t=1时,由y=4得k=4, 由1-a=4得.a=3.则y= (2)由y≥0.25得或 解得≤t≤5, 因此服药一次后治疗有效的时间是5-=小时.  可根据图象利用待定系数法确定函数解析式,然后把实际问题转化为 解不等式问题进行求解. 【训练2】 某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为 1.2%,试解答以下问题: (1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式; (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人); (3)计算大约多少年以后,该城市人口将达到120万人(精确到1年); (4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人,年自然增长率应该控制 在多少? (参考数据:1.0129≈1.113,1.01210≈1.127,lg 1.2≈0.079,lg 2≈0.3010,lg 1.012≈0.005,lg 1.009≈0.003 9) 解 (1)1年后该城市人口总数为 y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%) 2年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2% =100×(1+1.2%)2. 3年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2% =100×(1+1.2%)3. x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x. (2)10年后,人口总数为100×(1+1.2%)10≈112.7(万人).

(3)设x年后该城市人口将达到120万人, 即100×(1+1.2%)x=120, x=log1.012=log1.0121.20≈16(年). (4)由100×(1+x%)20≤120,得(1+x%)20≤1.2,两边取对数得20lg(1+ x%)≤lg 1.2=0.079,所以lg(1+x%)≤=0.003 95, 所以1+x%≤1.009,得x≤0.9, 即年自然增长率应该控制在0.9%. 考向三 函数y=x+模型的应用 【例3】?(2010·湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋 的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热 层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费 用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(0≤x≤10), 若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与 20年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值. [审题视点] 用基本不等式求最值,注意等号成立的条件. 解 (1)由已知条件C(0)=8则k=40, 因此f(x)=6x+20C(x)=6x+ (0≤x≤10). (2)f(x)=6x+10+-10 ≥2 -10=70(万元), 当且仅当6x+10=即x=5时等号成立. 所以当隔热层为5 cm时,总费用f(x)达到最小值,最小值为70万元. 求函数解析式同时要注意确定函数的定义域,对于y=x+(a>0)类型的函 数最值问题,特别要注意定义域问题,可考虑用均值不等式求最值,否 则要考虑使用函数的单调性. 【训练3】 某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室,在温 室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道,沿前侧内墙保留3 m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最 大面积是多少? 解 设温室的左侧边长为x m,则后侧边长为m. ∴蔬菜种植面积 y=(x-4)=808-2(4<x<400). ∵x+≥2 =80, ∴y≤808-2×80=648(m)2. 当且仅当x=,即x=40,

此时=20 m,y最大=648(m2). ∴当矩形温室的左侧边长为40 m,后侧边长为20 m时,蔬菜的种植面积 最大,为648 m2.   规范解答5——应用题中的函数建模问题 (【问题研究】 解决应用问题的关键是建立恰当的函数模型,因此,首 先要熟悉和掌握几类常用的函数模型.求解中容易在以下两个地方出现 失误:,?1?列函数关系式时,会出现由于理不清楚各个量之间的关系, 而导致列出错误的关系式.这一点在求解应用题时是常出现的错误;,?2? 列出解析式,在求最优解的过程中,由于方法使用不当而出现求解上的 错误., 【解决方案】 ?1?阅读理解,审清题意.读题要做到逐字逐句,读懂题中 的文字叙述,理解叙述部分所反映的实际背景,在此基础上,分析出已 知是什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题.,?2?根据所给模型,列 出函数关系式.根据已知条件和数量关系,建立函数关系式,在此基础 上将实际问题转化为一个函数问题.,?3?利用数学的方法将得到的常规函 数问题?即数学模型?予以解答,并求得结果.,?4?将所得结果代入原问题 中,对具体问题进行解答.) 【示例】?(本题满分12分)(2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改 善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千 米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/ 千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明:当20≤x≤200时,车流速 度v是车流密度x的一次函数. (1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式; (2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆 数,单位:辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1 辆/小时) 首先求函数v(x)为分段函数,然后利用一元二次函数配方法或基本不等 式求解. [解答示范] (1)由题意:当0≤x≤20时,v(x)=60;当20≤x≤200时,设v(x)= ax+b, 再由已知,得解得 故函数v(x)的表达式为v(x)=(4分) (2)依题意并由(1)可得f(x)=(6分) 当0≤x≤20时,f(x)为增函数, 故当x=20时,其最大值为60×20=1 200;(7分)

当20<x≤200时,f(x)=x(200-x)≤2=,当且仅当x=200-x,即x=100 时,等号成立. 所以,当x=100时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值.(10分) 综上,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333,即当车流密 度为100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3 333辆/小时. (12分) 对于分段函数模型的最值问题,应该先求出每一段上的最值,然后再比 较大小.另外在利用均值不等式求解最值时,一定要检验等号成立的条 件,也可通过函数的单调性求解最值.


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