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第三章 直线与方程 3.1.1


第三章 直线与方程 §3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率
【课时目标】 1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念. 2. 掌握求直线斜率的两种方法. 3. 了 解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素.

1.倾斜角与斜率的概念 定义 倾 斜 角 斜 率 当直线 l 与 x 轴________时,我们取________作为基准, x 轴________与 直线 l ________________之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x ? 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 直线 l 的倾斜角 ? (? ? 90? ) 的 2.倾斜角与斜率的对应关系 图示 倾斜角 (范围) 斜率 (范围) 表示或记法

?
k ? tan ?

? ? 0?
0

0? ? ? ? 90?
大于 0

??
斜率不 存在

90? ? ? ? 180?
小于 0

一、选择题 1.对于下列命题 ①若 ? 是直线 l 的倾斜角,则 0 ? ? ? 180 ; ②若 k 是直线的斜率,则 k ? R ; ③任一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率; ④任一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角. 其中正确命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.斜率为 2 的直线经过点 A(3,5), B(a,7), C (?1, b) 三点,则 a , b 的值为(
? ?

)

A. a ? 4, b ? 0 C. a ? 4, b ? ?3

B. a ? ?4, b ? ?3 D. a ? ?4, b ? 3
?

3. 设直线 l 过坐标原点, 它的倾斜角为 ? , 如果将 l 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45 , 得到直线 l1 ,那么 l1 的倾斜角为( ) A. ? ? 45
?
? ?

B. ? ? 135
?

C. 135 ? ? D.当 0 ? ? ? 135 时,倾斜角为 ? ? 45 ;当 135 ? ? ? 180 时,倾斜角为 ? ? 135 4.直线 l 过原点 (0, 0) ,且不过第三象限,那么 l 的倾斜角 ? 的取值范围是( )
? ? ? ? ?

A. [0 ,90 ]

?

?

B. [90 ,180 )

?

?

C. [90? ,180? ) 或 ? ? 0

?

D. [90? ,135? ] )

5.若图中直线 l1 , l2 , l3 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 ,则(

A. k1 ? k2 ? k3 C. k3 ? k2 ? k1 A. mn ? 0 C. m ? 0, n ? 0 二、填空题

B. k3 ? k1 ? k2 D. k1 ? k3 ? k2 ) B. mn ? 0 D. m ? 0.n ? 0

6.直线 mx ? ny ? 1 ? 0 同时过第一、三、四象限的条件是(

7 .若直线 AB 与 y 轴的夹角为 60 ,则直线 AB 的倾斜角为 ____________ ,斜率为 ____________. 8.如图,已知 ?ABC 为等腰三角形,且底边 BC 与 x 轴平行,则 ?ABC 三边所在直线 的斜率之和为________.

?

9.已知直线 l 的倾斜角为 ? ? 20 ,则 ? 的取值范围是________________________.
?

三、解答题 10.如图所示,菱形 ABCD 中, ?BAD ? 60 ,求菱形 ABCD 各边和两条对角线所在 直线的倾斜角和斜率.
?

11. 一条光线从点 A(?1,3) 射向 x 轴, 经过 x 轴上的点 P 反射后通过点 B(3,1) , 求P 点 的坐标.

能力提升 12.已知实数 x, y 满足 y ? ?2 x ? 8 ,当 2 ? x ? 3 时,求

y 的最大值和最小值. x

13 .已知函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1), a ? b ? c ? 0 ,则 ________________.

f (a) f (b) f (c) , , 的大小关系是 a b c

1.利用直线上两点确定直线的斜率,应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论,斜 率不存在的情况在解题中容易忽视,应引起注意. 2.三点共线问题:(1)已知三点 A,B,C,若直线 AB,AC 的斜率相同,则三点共线; (2)三点共线问题也可利用线段相等来求,若|AB|+|BC|=|AC|,也可断定 A,B,C 三点共线. 3.斜率公式的几何意义:在解题过程中,要注意开发“数形”的转化功能,直线的倾 斜角与斜率反映了某一代数式的几何特征, 利用这种特征来处理问题更直观形象, 会起到意 想不到的效果.

第三章 直线与方程 § 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率 答案
知识梳理 1.相交 x 轴 正向 向上方向 正切值 2.90° 作业设计 1.C [①②③正确.] -1-3 ? ?kAC=2, [由题意,得? 即 ?kAB=2, 7-5 ? b-5 =2, ? ? ? ?a-3=2. ?

2.C

解得 a=4,b=-3.] 3.D [因为 0° ≤α<180°,显然 A,B,C 未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画 图(如图所示)可知:

当 0° ≤α<135°时,倾斜角为 α+45° ; 当 135° ≤α<180°时,倾斜角为 45° +α-180° =α-135° .] 4.C [倾斜角的取值范围为 0°≤α<180°,直线过原点且不过第三象限,切勿忽略 x 轴 和 y 轴.] 5.D [由图可知,k1<0,k2>0,k3>0, 且 l2 比 l3 的倾斜角大.∴k1<k3<k2.] m 1 m 6. C [由题意知, 直线与 x 轴不垂直, 故 n≠0. 直线方程化为 y=- x+ , 则- >0, n n n 1 且 <0,即 m>0,n<0.] n 3 3 7.30° 或 150° 或- 8.0 3 3 9.20° ≤α<200° 解析 因为直线的倾斜角的范围是[0° ,180° ), 所以 0° ≤α-20° <180° ,解之可得 20° ≤α<200°. 10.解 αAD=αBC=60° ,αAB=αDC=0° ,αAC=30° ,αBD=120° . 3 kAD=kBC= 3,kAB=kCD=0,kAC= ,kBD=- 3. 3 3-0 3 11.解 设 P(x,0),则 kPA= =- , -1-x x+1 1-0 1 kPB= = ,依题意, 3-x 3-x 由光的反射定律得 kPA=-kPB, 3 1 即 = ,解得 x=2,即 P(2,0). x+1 3-x 12.解

y y-0 = 其意义表示点(x,y)与原点连线的直线的斜率. x x-0 点(x,y)满足 y=-2x+8,且 2≤x≤3,则点(x,y)在线段 AB 上,并且 A、B 两点的 2 坐标分别为 A(2,4),B(3,2),如图所示.则 kOA=2,kOB= . 3 y 2 所以得 的最大值为 2,最小值为 . x 3 f?c? f?b? f?a? 13. > > c b a f?x? 解析 画出函数的草图如图, 可视为过原点直线的斜率. x


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