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2017年秋季湖北省重点高中联考协作体期中考试(高一数学试卷)

2017 年秋季湖北省重点高中联考协作体期中考试

高一数学试卷
命题学校:湖北孝感一中 命题教师:刘 翀 梅建军
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. 已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? ,M ? ?1, 2? ,N ? ?2,3,5?, 则 ?CU M ? ? (CU N ) 等于 ( A. {1,3, 4,5} B. ? 1,3? ) C. ?4? D. ?3,5? ) .

2.下列各组函数中两个函数相等的是(

① f ( x) ? ( x )2 , g ( x) ? x ; ② f ( x) ? x ? 1 , g( x) ?

x2 ?1 ; x

?| x 2 ? 1| , x ? ?1 ? ③ f ( x) ? |x ? 1| , g ( x) ? ? | x ? 1| ;④ f ( x) ? 2 x 2 ? 1 , g(t ) ? 2t 2 ? 1. ?2, x ? ?1 ?
A.①② B. ②③ C.④ D.③④ 3.若函数 y ? f ( x) 的定义域为 x ? 3 ? x ? 8, x ? 5 ,值域为 y ? 1 ? y ? 2, y ? 0 ,则

?

?

?

?

y ? f ( x) 的图象可能是(



A

B

C

D

?e x ?1 , x ? 2 ? 4.已知函数 f ( x) ? ? log 1 ( x 2 ? 1), x ? 2 , 则 f ( f (2)) 的值是( ? ? 3
A.0 B.1 C. 2

)

D.3

5.下列四个函数中,具有性质“对任意的实数 x ? 0, y ? 0 ,函数 f ( x) 满足

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ”的是(
A. f ( x)=log 2 x B. f ( x) ? 2 x

) C. f ( x) ? x
2

D. f ( x ) ? ( )

1 2

x

6.某天早上,小明骑车上学,出发时感到时间较紧,然后加速前进,后来发现时间还比较充 裕,于是放慢了速度.与以上事件吻合得最好的图象是( )

1

7. 设 x0 是函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 7 的零点, 且 x0 ? 则 k 的值为 ( (k , k ? 1 ) (k ? Z ) , A. 0
3 2



B. 1

C. 2

D. 3 ) D. a ? b ? c

8.已知 a ? 2 , b ? ( ) , c ? ? log 2
2

2 3

1 ,则 a, b, c 的大小关系是( 3
C. c ? a ? b

A. a ? c ? b 9. 已知函数 f ( x) ? 的是( )

B. b ? c ? a

? x ? ? ?x
2

(其中 ? 是圆周率, ? =3.1415926...... ),则下列结论正确

A. f ( x ) 是偶函数,且 0 ? f (1) ? f (2) C. f ( x ) 是偶函数,且 f (2) ? f (1) ? 0

B. f ( x ) 是奇函数,且 0 ? f (1) ? f (2) D. f ( x ) 是奇函数,且 f (2) ? f (1) ? 0

10. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2x ? 3 在区间 [0, t ] 上的最大值为 3,最小值为 2,则实数 t 的取值 范围是( ) B. (0,1] C. [1, ??) D. (0, 2]

A. [1, 2]

11. 某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,则该公司全年投入的研发 资金开始超过 200 万元的年份是( )

(参考数据: lg1.12 ? 0.05 , lg1.3 ? 0.11 , lg 2 ? 0.30 ) A.2018 年 B.2019 年 C.2020 年 D.2021 年 12.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基 米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为:设 x ? R ,用 [ x ] 表示 不超过 x 的最大整数,则 y ? [ x] 称为高斯函数,例如: [?3.5] ? ?4 , [2.1]=2 ,已知函数

f ( x) ?

ex 1 ? ,则函数 y ? [ f ( x)]的值域是( x 1? e 2
B. {1} C. {?1, 0,1}

) D. {?1, 0}

1} A. {0,

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,把答案填写在答题卡相应的位置)
2

13. 函数 y ? loga (2x ? 3)? 4的图象恒过定点 A ,且点 A 在幂函数 f ( x ) 的图象上, 则

f (3) ?

.

14. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? (??, 0) 时, f ( x) ? 2 x3 ? x2 , 则 f (1) ? ________. 15. 定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足:对任意的 x1 , x2 ? (??, 0]( x1 ? x2 ) ,有

( x2 ? x1 )[ f ( x2 ) ? f ( x1 )] ? 0 ,且 f (2) ? 0 ,则不等式
_________.

3 f ( x) ? f (? x) ? 0 的解集是 5x

16.某学校为了加强学生数学核心素养的培养,锻炼学生自主探究学习的能力,他们以教材 第 82 页第 8 题的函数 f ( x) ? lg 成果如下: ①同学甲发现:函数 f ( x ) 的定义域为 (?1,1) ; ②同学乙发现:函数 f ( x ) 是偶函数; ③同学丙发现:对于任意的 x ? (?1,1) 都有 f (

1? x 为基本素材,研究该函数的相关性质,取得部分研究 1? x

2x ) ? 2 f ( x) ; x ?1
2

④同学丁发现:对于任意的 a, b ? (?1,1) ,都有 f (a ) ? f (b) ? f (

a?b ); 1 ? ab

⑤同学戊发现:对于函数 f ( x ) 定义域中任意的两个不同实数 x1 , x2 ,总满足

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0. x1 ? x2
其中所有正确研究成果的序号是__________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 计算:(Ⅰ)
1 ? 9 2 0 3 +8 +log 1 16 ? (? +e) ? 25 2 ; 25 2
1 ? 1 2

(Ⅱ)已知 x 2 ? x

? 5 ,求

x 2 ? x ?2 ? 6 的值 x ? x ?1 ? 5

18.(本小题满分 12 分) 已知集合 A ? {x |

1 ? 2 x ?1 ? 16} , B ? ?x | m ?1 ? x ? 3m ?1? . 8
3

(Ⅰ) 求集合 A ; (Ⅱ)若 B ? A ,求实数 m 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ?

1 (a ? R ) 3 ?1
x

(Ⅰ)用定义证明函数 f ( x) 在 R 上是增函数; (Ⅱ)探究是否存在实数 a ,使得函数 f ( x) 为奇函数?若存在,求出 a 的值;若不存在,请 说明理由. (III)在(Ⅱ)的条件下,解不等式 f (t ?1) ? f ? 2t ? 4? ? 0 .
2

20. (本小题满分 12 分)

x2 已知函数 f ( x) ? 2 . x ?1
(Ⅰ)证明:函数 f ( x ) 是偶函数;

B ? f (1) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( (Ⅱ) 记 A ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2017) ,
求 A ? B 的值; (III)若实数 x1 , x2 满足 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 . 求证: x1 x2 ? 1 .

1 2

1 3

1 ), 2017

21.(本小题满分 12 分) 某种新产品投放市场的 100 天中, 前 40 天价格呈直线上升, 而后 60 天其价格呈直线下降, 现统计出其中 4 天的价格如下表: 时间 价格(千元) 第4天 23 第 32 天 30 第 60 天 22 第 90 天 7

(Ⅰ)写出价格 f ( x ) 关于时间 x 的函数关系式; ( x 表示投放市场的第 x( x ? N) 天) ; (Ⅱ)若销售量 g ( x) 与时间 x 的函数关系: g ( x) ? ? 该产品投放市场第几天销售额最高?最高为多少千元?

1 109 x? (1 ? x ? 100, x ? N) ,则 3 3

4

22. (本小题满分 12 分) 已知函数

f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 2x ;

(Ⅰ)直接写出函数 f ( x ) 的增区间(不需要证明) ; (Ⅱ)求出函数

f ( x), x ? R 的解析式;

(III)若函数 g ( x) ?

f ( x) ? 2ax ? 2, x ? ?1,2?,求函数 g ( x) 的最小值.

5