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2013高考数学单元复习训练16:数列的概念


第三章





课时训练 16 数列的概念 【说明】 本试卷满分 100 分,考试时间 90 分钟. 一、选择题(每小题 6 分,共 42 分) 1.数列 3,7,13,21,31,…的一个通项公式为( ) 3 2 A.4n-1 B.n -n +n+2 2 C.n +n+1 D.n(n-1)(n+2) 【答案】C 【解析】令 n=3,排除 A、B、D. 2.数列{an}中,a1=2,a2=5,an+1=an+2+an,则 a6 等于( ) A.-3 B.-4 C.-5 【答案】A 【解析】a3=a2-a1=3,a4=a3-a2=-2,a5=a4-a3=-5,a6=a5-a4=-3. 3.数列

D.2

5 10 17 a ?b ,…中,有序数对(a,b)可以是( , , , 3 8 a+b 24
B.(16,-1) D.(



A.(21,-5) C.(-

41 11 , ) 2 2
(n + 1) 2 + 1 , n ( n + 2)

41 11 ,? ) 2 2

【答案】C 【解析】通项公式为

故?

?a + b = 15, ?a ? b = 26. 41 11 ,b=- . 2 2
) B.

∴a=

4.数列{an}中,a1=1,对所有的 n≥2 且 n∈N*,都有 a1a2…an=n2,则 a3+a5 等于( A.

25 9

25 16

C.

61 16

D.

31 15

【答案】C 【解析】当 n≥2 时,an=

n2 n2 = , a1 a 2 L a n ?1 (n ? 1) 2

故 a3+a5=

3 2 5 2 61 + = . 2 2 4 2 16
)

5.数列{an}的前 n 项和为 Sn=4n2-n+2,则该数列的通项公式为( A.an=8n+5(n∈N*) C.an=8n+5(n≥2) B.an= ?

?5(n = 1)
* ?8n ? 5(n ≥ 2, n ∈ N )

D.an=8n+5(n≥1)

【答案】B 【解析】a1=S1=4×12-1+2=5,排除 A、C、D. 6.若数列{an}前 8 项的值各异且 an+8=an 对任意 n∈N*都成立,则下列数列中可取遍{an}前 8 项值的数列为( ) A.{a2k+1} B.{a3k+1} C.{a4k+1} D.{a6k+1} 【答案】B 【解析】∵2k+1,4k+1,6k+1 只能取奇数,又周期为 8,故排除 A、C、D.选 B. 7.(2010 全国大联考,12)一个机器猫每秒钟前进或后退 1 步, 程序设计人员让机器猫以每前进 3 步后再后退 2 步的规律移动;如果将此机器猫放在数轴的原点上,面向正的方向,以 1 步 的距离为 1 个单位长,令 P(n)表示第 n 秒时机器猫所在的位置的坐标,且 P(0)=0,那么 下列结论中错误的是( ) A.P(3)=3 B.P(5)=1 C.P(101)=21 D.P(103)<P(104) 【答案】D 【解析】易知 A、B 正确,又机器猫每 5 秒钟实际向前进一步,故 P(101)=P(5×20+1) =21, P(103)=P(20×5+3)=23,P(104)=P(20×5+3+1)=23-1=22,故选 D. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8.已知 a1=1,an=1+

1 a n ?1

(n≥2,n∈N*),则 a5=________________.

【答案】

8 5 1 1 3 5 8 ,a4= ,a5= . 2 3 5
n

【解析】a2=1+ =2,a3=

9.(2010 北京西城区模拟,14)定义运算符号: “Ⅱ” ,这个符号表示若干个数相乘.例如:可将 1×2×3×…×n 记作

∏ i (n∈N ).记 T = ∏ a
* n
i =1 i =1

n

i

,其中 ai 为数列{an}(n∈N*)中的第 i 项.

(1)若 an=2n-1,则 T4=__________________; (2)若 Tn=n3(n∈N*),则 an=______________. 【答案】(1)105 (2)n=1 时,a1=1;n≥2 时,an=(

【解析】(1)an=2n-1 ? a1=1,a2=3,a3=5,a4=7. ∴T4=1×3×5×7=105.
2

n )2 n ?1

Tn n2 n 2 = =( ) =an. (2)Tn=n ,当 n≥2 时, 2 Tn ?1 (n ? 1) n ?1
当 n=1 时,a1=T1=1. ∴当 n=1 时,a1=1;当 n≥2 时,an=( 10.将正偶数按下表排成 5 列 第1列 第1行 第2行 16 第2列 2 14 第3列 4 12 第4列 6 10 第5列 8

n )2. n ?1

第3行 …

18 …

20 28

22 26

24

那么 2 006 应在_________行,第____________列. 【答案】26 2 【解析】因 2 006=2×1 003=2×4×25+2×3. 故 2 006 应第 26 行,由于是偶数行,故应在第 2 列. 三、解答题(11—13 题每小题 10 分,14 题 13 分,共 43 分) 11.已知数列{an}的通项公式为 an=

1 2 17 13 1 nn + ,问 是否为数列{an}中的项? 4 12 6 2 1 1 17 13 【解析】依题意,实际上要判断关于 n 的方程 = n2n + 是否有正整数解. 2 4 12 6 5 解方程得:n=4 或 n= (舍), 3 1 ∴ 是数列{an}中的第四项. 2
12.已知下面各数列{an}的前 n 项和 Sn 的公式,求{an}的通项公式. (1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n-2. 【解析】(1)当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5. 当 n=1 时,a1=S1=-1 满足上式, ∴an=4n-5. (2)当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2×3n-1, 当 n=1 时,a1=S1=3-2=1, ∴an= ?

?

1. n ?1 ?2 × 3

(n = 1), (n ≥ 2).

13.写出满足下列条件的数列的前 5 项,并归纳出通项公式. (1)a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N*); (2)a1=1,an+1=

2a n (n∈N*). 2 + an

【解析】(1)a1=0,a2=1,a3=4,a4=9,a5=16,an=(n-1)2. (2)a1=1,a2=

2 1 2 1 2 ,a3= ,a4= ,a5= ,an= . 3 2 5 3 n +1
a

{an}有没有最小的 14.设 f(x)=log2x-logx4(0<x<1),数列{an}的通项满足 f( 2 n )=2n(n∈N*),问: 项?若有求出,若没有请说明理由. 【解析】∵f( 2 n )=log2 2 n -log 2 n 4=2n, ∴ana a a

2 =2n, an

即 an2-2nan-2=0, 解得:an=n± n + 2 .
2

又∵0<x<1,∴0< 2 n <1, ∴an<0,故 an=n- n + 2 .
2

a

1


a n +1 (n + 1) ? (n + 1) 2 + 2 (n + 1) + (n + 1) 2 + 2 n + n2 + 2 <1. = = = 1 an n ? n2 + 2 (n + 1) + (n + 1) 2 + 2 n + n2 + 2

而 an<0,∴an+1>an,故数列{an}是递增数列,其最小的项是 a1=1- 3 .


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