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【金版教程】2014届高考数学总复习 第1讲 坐标系与参数方程课件 理 新人教A版选修4-4


选修4-4

坐标系与参数方程

第1讲

坐标系

不同寻常的一本书,不可不读哟!

1.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画 点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.

2. 能在极坐标系中求简单曲线(如过极点的直线、过极点的
圆或圆心在极点的圆)的极坐标方程.

1条重要思路 解决极坐标系中的一些问题时,主要的思路是将极坐标化 为直角坐标,在直角坐标系下求解后,再转化为极坐标.

2个必记要点 1. 极坐标方程与直角坐标方程互化的核心公式: ?ρ2=x2+y2 ?x=ρcosθ ? ? ? ?? . y ?y=ρsinθ ? ?tanθ=x?x≠0? ? 2. 由极坐标系上点的对称性可得到极坐标方程ρ=ρ(θ)的 图形的对称性:若ρ(θ)=ρ(-θ),则相应图形关于极轴对称; π 若ρ(θ)=ρ(π-θ),则图形关于射线θ= 所在的直线对称;若 2 ρ(θ)=ρ(π+θ),则图形关于极点O对称.

3点必须注意 1. 极坐标与直角坐标互化的前提条件:(1)极点与原点重 合;(2)极轴与 x 轴正方向重合;(3)取相同的长度单位.

2. 若把直角坐标化为极坐标,求极角θ时,应注意判断点P
所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ.利用两 种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题. 3. 由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的,如 果限定ρ取正值,θ∈[0,2π)平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ,

θ)(ρ≠0)建立一一对应关系.

课前自主导学

1. 极坐标系 (1) 极 坐 标 的 建 立 : 在 平 面 内 取 一 个 定 点 O , 叫 做 ________,自极点O引一条射线Ox,叫做________,再选定一

个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆
时针方向),这样就确定了一个极坐标系. 设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的 ________,记为ρ,以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM 叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记

作M(ρ,θ).

(2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极 点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单

位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为
(ρ,θ),则它们之间的关系为x=________,y=________,由 此得ρ2=________,tanθ=________.

平面内的点与点的直角坐标的对应关系是什么?与点的极
坐标呢?

判断下列命题是否正确.(请在括号中填写“√”或 “×”) ①极坐标系中点M的极坐标是唯一的 2π ②极坐标为(2, )的点在第一象限 3 3π 5π ③极坐标系中,点(3, )与点(3,- )相同 4 4 ( ) ( ) ( )

2.常用简单曲线的极坐标方程

曲线形状(特征) 过极点且与极轴成α角的直线 过(a,0)且垂直于极轴的直线 π 过(b, )且平行于极轴的直线 2 圆心在极点,半径为|r|的圆 圆心在(r,0),半径为|r|的圆 π 圆心在(r,2),半径为|r|的圆

极坐标方程 θ=α(ρ∈R) ρcosθ=a ρsinθ=b

过(ρ1,θ1)且与极轴成α角的直线 ρsin(α-θ)=ρ1sin(α-θ1) ρ=r ρ=2rcosθ ρ=2rsinθ

解决极点或极坐标方程的策略是什么?

判断下列命题是否正确.(请在括号中填写“√”或 “×”) π ①过极点的射线l上任意一点的极角都是 ,则射线l的极坐 3 π 标方程为θ=3(ρ≥0). ②过极点,倾斜角为 (ρ≥0). π 3 ( ) 的直线的极坐标方程为θ= ( ) π 3

极坐标方程ρ=2sinθ(ρ≥0,0≤θ<π)表示的曲线的中心的极坐 标________.

1. 极点 极轴 极径 ρcosθ ρsinθ x +y

2

2

y x(x≠0)

想一想:提示:平面内的点与点的直角坐标是一一对应关 系,而与点的极坐标不是一一对应关系,如果规定 ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,点的极坐标与平面内的点就一 一对应了. 判一判:①× ②× ③√

2.想一想:提示:解决极点或极坐标方程的策略及运用 极坐标或极坐标方程与直角坐标或直角坐标方程的互化公式, 把极点或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程. 判一判:①√ ②× π 填一填:(1, ) 2

核心要点研究

例1

[2012·辽宁高考]在直角坐标系xOy中,圆C1:x2+y2

=4,圆C2:(x-2)2+y2=4.
(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写 出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐 标表示); (2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.

[审题视点]

(1)将直角坐标方程化为极坐标方程,再求交

点;(2)将极坐标系下的交点坐标化为直角坐标系下的交点坐

标,再写出公共弦的参数方程;或者先定义x=1,再写出公共
弦的参数方程.

[解]

(1)圆C1的极坐标方程为ρ=2,

圆C2的极坐标方程ρ=4cosθ.
?ρ=2, ? 解? ?ρ=4cosθ, ?

π 得ρ=2,θ=± . 3

? π? ? π? 故圆C1与圆C2交点的坐标为?2,3?,?2,-3?. ? ? ? ?

注:极坐标系下点的表示不唯一.

?x=ρcosθ, ? (2)解法一:由 ? ?y=ρsinθ, ?

得圆C1与C2交点的直角坐标分

别为(1, 3),(1,- 3).
?x=1, ? 故圆C1与C2的公共弦的参数方程为? ?y=t, ? ?x=1, ? (或参数方程写成? ?y=y, ?

- 3≤t≤ 3.

- 3≤y≤ 3)

解法二:将x=1代入 1 cosθ.

?x=ρcosθ, ? ? ?y=ρsinθ, ?

得ρcosθ=1,从而ρ=

于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为
?x=1, ? ? ?y=tanθ, ?

π π -3≤θ≤3.

直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x=ρcosθ及y =ρsinθ直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方

程要通过变形,构造形如ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,进行整体
代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是 常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须保持同 解,因此应注意对变形过程的检验.

[变式探究]

(1)[2012· 陕西高考]直线2ρcosθ=1与圆ρ=

2cosθ相交的弦长为________. (2)[2012· 安徽高考]在极坐标系中,圆ρ=4sinθ的圆心到直 π 线θ=6(ρ∈R)的距离是________.
答案:(1) 3 (2) 3

解析:(1)直线2ρcosθ=1,即为2x=1,且ρ=2cosθ,即为 (x-1)2+y2=1,如图可得弦长为 3. (2)由极坐标下圆的方程ρ=4sinθ,可得ρ2=4ρsinθ,所以x2 +y2=4y,即x2+(y-2)2=4,表示以(0,2)为圆心,2为半径的 π 3 圆.又θ=6(ρ∈R)表示直线y= 3 x, ∴由点到直线的距离公式可得 d= 2
? 1+? ? ?

3?2 ? 3? ?

= 3.

例2 [2012· 江苏高考]在极坐标系中,已知圆C经过点 π π 3 P( 2, 4 ),圆心为直线ρsin(θ- 3 )=- 2 与极轴的交点,求圆 C的极坐标方程.

[解]

π 3 在ρsin(θ-3)=- 2 中,令θ=0,得ρ=1.

所以圆C的圆心坐标为(1,0). π 因为圆C经过点P( 2, ), 4 所以圆C的半径PC= π ? 2? +1 -2×1× 2cos4 =1,于
2 2

是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ.

π 奇思妙想:本例条件不变,试求θ= 与圆C相交所截得的 3 弦长.
解:直线y= 3x,圆C为(x-1)2+y2=1, 3 ∴圆心到直线的距离d= . 2 ∴弦长=2 32 1-? 2 ? =1.

求曲线的极坐标方程的步骤: (1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上任意一点; (2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径

ρ和极角θ之间的关系式;
(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方 程.

[变式探究] [2012· 上海高考]如图,在极坐标系中,过点 π M(2,0)的直线l与极轴的夹角α= .若将l的极坐标方程写成ρ= 6 f(θ)的形式,则f(θ)=________.

1 答案: π sin?6-θ?

解析:如图所示,根据正弦定理,有 ρ 2 1 = ,∴ρ= . 5π 5π π sin 6 sin?π-θ- 6 ? sin?6-θ?

经典演练提能

1. 点P的直角坐标为(1,- 3),则点P的极坐标为( π A. (2, ) 3 π C. (2,-3) 4π B. (2, ) 3 4π D. (2,- 3 )

)

答案:C

2. [2012·江西高考]曲线C的直角坐标方程为x2 +y2 -2x= 0,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线

C的极坐标方程为________.
答案:ρ=2cosθ

3. [2013·东莞模拟]在极坐标系中,直线ρ(cosθ-sinθ)+2=

0被曲线C:ρ=2所截得弦的中点的极坐标为________.
3π 答案:( 2, 4 )

解析:直线ρ(cosθ-sinθ)+2=0化为直角坐标方程为x-y +2=0,曲线C:ρ=2化为直角坐标方程为x2+y2=4,如图, 直线被圆截得弦AB,中点为M,则|OA|=2,|OB|=2,从而 3π |OM|= 2,∠MOx= , 4 3π ∴点M的极坐标为( 2, ). 4

4. 在极坐标系中,P是曲线ρ=12sinθ上的动点,Q是曲线 π ρ=12cos(θ-6)上的动点,试求|PQ|的最大值.
解:∵ρ=12sinθ,∴ρ2=12ρsinθ. ∴x2+y2-12y=0,即x2+(y-6)2=36.

π 又∵ρ=12cos(θ- ), 6 π π ∴ρ =12ρ(cosθcos6+sinθsin6).
2

∴x2+y2-6 3x-6y=0. ∴(x-3 3)2+(y-3)2=36. ∴|PQ|max=6+6+ ?3 3?2+32=18.

5.

在极坐标系中,已知圆O:ρ=cosθ+sinθ和直线l:

π 2 ρsin(θ-4)= 2 . (1)求圆O和直线l的直角坐标方程; (2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的极坐标.
解:(1)圆O:ρ=cosθ+sinθ, 即ρ2=ρcosθ+ρsinθ, 圆O的直角坐标方程为x2+y2=x+y,

即x2+y2-x-y=0.

π 2 直线l:ρsin(θ-4)= 2 , 即ρsinθ-ρcosθ=1, 则直线l的直角坐标方程为y-x=1,即x-y+1=0.
?x2+y2-x-y=0, ? (2)由? ?x-y+1=0, ? ?x=0, ? 得? ?y=1. ?

π 故直线l与圆O公共点的极坐标为(1,2).


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