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人教版高中数学必修二课件:1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积(共23张PPT)

1.1.6棱柱、棱锥、棱台、球的 表面积 一、直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积 ? 直棱柱: 侧棱与底面垂直的棱柱。 ? 正棱锥: 底面是正多边形,顶点在过底面中心且 与底面垂直的直线上。 ? 分析直六棱柱和正四棱锥的展开图 1、S直棱柱侧=ch. ? 直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积。 h h c 2、S正棱锥侧= 1 ' 1 ' nah ? ch 2 2 ? 正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半。 斜高 h’ a a 正棱台的表面积 ? 正棱台: 由正棱锥截得的棱台 ? 分析正四棱台的展开图 3、S正棱台侧= 1 1 ' ' n(a ? a )h ? (c ? c ' )h' 2 2 a ’ h’ a 4、球的表面积 S球=4πR2. 球面面积等于它的大圆面积的4倍。 直棱柱、正棱锥、正棱台、球 S直棱柱侧=ch. S正棱锥侧= S正棱锥台= 1 1 ' ' nah ? ch 2 2 1 1 ' ' n(a ? a )h ? (c ? c ' )h' 2 2 S球=4πR2. S全=S侧+S底 思 考 二、 圆柱、圆锥、圆台是旋转体, 它们的展开图是什么样的呢? 1、 圆柱是以矩形的一边所在直线为旋转轴, 其余三边旋转形成的面所围成的旋转体. 圆柱的侧面展开图是矩形. S圆柱侧 ? 2?Rh 2、圆锥是以直角三角形的一条直角边所在直线 为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体. 圆锥的侧面展开图是扇形. S圆锥侧 ? πRl 3、圆台是以直角梯形的垂直边所在直线为旋转轴, 其余三边旋转形成的面所围成的旋转体. 圆台的侧面展开图是扇环. S圆台侧 ? ? ( R ? r )l 例1、已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm,高与斜 高的夹角为30。,求正四棱锥的侧面积及全面积。 P D A O B E C 例2、一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接 而成,求得半径为R,正四棱太的上、下底面边长分 别为2.5R和3R,斜高为0.6R (1)求这个容器盖子的表面积(用R表示,韩解除 对面积影响忽略不计); (2)若R=2cm,为盖子涂色时所用的涂料每0.4kg 可以涂1cm2,计算为100个这样的盖子涂色越需涂料 多少千克(精确到0.1kg)。 快乐体验: 1、底面是菱形的直四棱柱中,它的对角线长为9和15,高是5, 则直四棱柱的侧面积为___________ 解:如图,设底面对角线 AC= a, BD= b,交点为 O,对角线 A1C= 15, B1D= 9. 2 2 2 2 2 2 所以 a + 5 = 15 , b + 5 = 9 , 2 2 所以 a = 200, b = 56. 因为底面是菱形, 2 2 AC BD a ? b 所以AB2 ? ( )2 ? ( )2 ? 2 2 4 200 ? 56 ? ? 64 4 即AB ? 8 所以直四棱柱的侧面积S=4×8×5=160. 2、正四棱锥的侧面积是底面积的2倍,高是3,则它表面积___ 【解】 如图,设 PO= 3,PE 是斜高, ∵S 侧= 2S 底 . 1 2 ∴ 4·· BC· PE= 2BC . 2 ∴ BC=PE. 在 Rt△ POE 中, PO= 3, 1 1 OE= BC= PE. 2 2 PE 2 2 ∴ 9+ ( ) = PE ,∴PE= 2 3. 2 2 2 2 ∴S 底= BC = PE = (2 3) = 12. S 侧= 2S 底= 2× 12= 24. 3、已知一正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm,且其侧面积等于两底面积的和, 则棱台的高为__________ 【解】 如图,正三棱台 ABC- A1 B1 C1 中, O、 O1 为两底面中心,D、D1 是 BC、B1 C1 的中点,则 DD1 为棱台的斜高. 已知 A1 B1= 20 cm, AB= 30 cm, 10 3 则 OD= 5 3 cm, O1 D1= cm. 3 由 S 侧= S 上+S 下,得 1 3 2 2 S 侧= (60+ 90)· DD1= (20 + 30 ), 2 4 13 3 解得 DD1= (cm). 3 在直角梯形 O1ODD1 中, 2 2 O1O= DD1-? OD- O1D1? 13 3 2 10 3 2 = ? ? -? 5 3- ? = 4 3(cm), 3 3 即棱台的高为 4 3 cm. 4、正四棱台的高为 12cm,两底面的边长相差 10cm,全面积是 512cm ,求两底面的边长 . 2 解:上、下底面边长分 别为2cm, 12cm 5、有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球 与这个正方体各棱相切, 第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球 的表面积之比. 【解】 设正方体的棱长为 a. (1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六 个正方形的中心,经过四个切点及球心作截面如图 a 2 2 (1),所以有 2r1= a, r1= ,所以 S1= 4πr1= πa . 2 (2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点,过球心 2 2 2 = a,所以 S2= 4πr2= 2πa . 2 作正方体的对角面得截面,如图 (2), 2r2= 2a, r2 (3)正方体的各个顶点在球面上, 过球心作正方体 的对角面得截面,如图(3),所以有 2r3= 3a,r3 3 2 2 = a,所以 S3= 4πr3 = 3πa . 2 综上可得 S1∶ S2∶ S3= 1∶ 2∶ 3. 小结: 1、直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式 2、圆柱、圆锥、圆台、的侧面积公式及球的表面积公 式

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