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圆锥曲线知识点总结与经典例题


圆锥曲线解题方法技巧 第一、知识储备: 1. 直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 (2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率 k ? ta n ? , ? ? [ 0 , ? )
k ? y 2 ? y1 x 2 ? x1

②点 P ( x 0 , y 0 ) 到直线 A x ? B y ? C ? 0 的距离
l1 : y ? k 1 x ? b1 l2 : y ? k 2 x ? b2

d ?

A x0 ? B y0 ? C A ? B k 2 ? k1 1 ? k 2 k1
2 2

③夹角公式:直线 (3)弦长公式

夹角为 ? , 则 ta n ? ?

直线 y ? k x ? b 上两点 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 间的距离 ① AB ?
( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y 1 ) ② A B ?
2 2

1? k

2

x1 ? x 2 ?

(1 ? k )[( x 1 ? x 2 ) ? 4 x 1 x 2 ]

2

2

③ AB ?

1?

1 k
2

y1 ? y 2

(4)两条直线的位置关系 (Ⅰ)
l1 : y ? k 1 x ? b1 l2 : y ? k 2 x ? b2

① l1 ? l 2 ? k 1 k 2 =-1 (Ⅱ)
l1 : A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0 l2 : A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

② l 1 // l 2 ? k 1 ? k 2 且 b 1 ? b 2

① l1 ? l 2 ? A1 A 2 ? B 1 B 2 ? 0 ② l1 / / l 2 ? A1 B 2 - A 2 B 1 = 0 且 A1 C 2 - A 2 C 1 ? 0 或 两平行线距离公式
? l1 : y ? k x ? b 1 ? ? l2 : y ? k x ? b2
A1 A2 ? B1 B2 ? C1 C2

者( A 2 B 2 C 2 ? 0 )

距离 d ?

| b1 ? b 2 | 1? k
2

? l1 : A x ? B y ? C 1 ? 0 ? ? l2 : A x ? B y ? C 2 ? 0

距离 d ?

| C1 ? C 2 | A ? B
2 2

二、椭圆、双曲线、抛物线: 椭圆 双曲线 抛物线

定义

1.到两定点 F1,F2 的距离之 和为定值 2a(2a>|F1F2|)的 点的轨迹 2.与定点和直线的距离之 比为定值 e 的点的轨迹. (0<e<1) 点集:({M||MF1+|MF2| =2a,|F 1F2|<2a}.

1. 到两定点 F1,F2 的距离之差的 绝对值为定值 2a(0<2a<|F1F2|) 的点的轨迹 2.与定点和直线的距离之比为 定值 e 的点的轨迹.(e>1) 点集:{M||MF1|-|MF2|. =±2a,|F2F2|>2a}.

与定点和直线的距离相等的 点的轨迹.

轨迹条件

点集{M| |MF|=点 M 到直 线 l 的距离}.

图形

方 程

标准 方程

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b >0)

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)

y

2

? 2 px

参数 方程

? x ? a cos ? ? y ? b sin ? ? ( 参数 ? 为离心角)

? x ? a sec ? ? y ? b tan ? ? ( 参数 ? 为离心角)

? x ? 2 pt ? ? y ? 2 pt

2

(t 为参数)

范围 中心

─a?x?a,─b?y?b 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x 轴,y 轴; 长轴长 2a,短轴长 2b

|x| ? a,y?R 原点 O(0,0)

x?0

顶点

(a,0), (─a,0) x 轴,y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b.

(0,0)

对称轴

x轴

焦点

F1(c,0), F2(─c,0)

F1(c,0), F2(─c,0)

F(

p 2

,0 )

x=± 准 线

a

2

c

x=±

a

2

x=-

p 2

c

准线垂直于长轴,且在椭圆 外. 焦距 2c (c= a ? b )
e ? c a ( 0 ? e ? 1)
2 2

准线垂直于实轴, 且在两顶点的 内侧. 2c (c= a ? b
e ? c a ( e ? 1)
2 2

准线与焦点位于顶点两侧, 且到顶点的距离相等.

) e=1

离心率

P(x0,y0)为圆锥曲线上一点,F1、F2 分别为左、右焦点 焦半径 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 【备注 1】双曲线: ⑶等轴双曲线:双曲线 x 2 ? y 2 ?
?a
2

P 在右支时: |PF1|=a+ex0 |PF2|=-a+ex0

P 在左支时: |PF1|=-a-ex0 |PF2|=a-ex0 |PF|=x0+
p 2

称为等轴双曲线,其渐近线方程为 y

? ?x

,离心率 e

?

2

.
x a
2 2

⑷共轭双曲线: 以已知双曲线的虚轴为实轴, 实轴为虚轴的双曲线, 叫做已知双曲线的共轭双曲线.
x a
2 2

?

y b

2 2

? ?



?

y b

2 2

? ??

互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:
x a
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 0 x a
2 2

.
y b
2 2

⑸共渐近线的双曲线系方程: 它的双曲线方程可设为 【备注 2】抛物线:
x a
2 2

?

y b

2 2

? ? (? ? 0 )

的渐近线方程为

?

? 0

如果双曲线的渐近线为

x a

?

y b

? 0

时,

?

y b

2 2

? ? (? ? 0 )

.

(1)抛物线 y =2px(p>0)的焦点坐标是( 标是(p 2

2

p 2

,0),准线方程 x=2

p 2

,开口向右;抛物线 y =-2px(p>0)的焦点坐
p 2

2

,0),准线方程 x=

p 2

,开口向左;抛物线 x =2py(p>0)的焦点坐标是(0,

),准线方程 y=-

p 2

,开

口向上; 抛物线 x =-2py(p>0)的焦点坐标是(0,2

2

p 2

) ,准线方程 y=

p 2

,开口向下.
p 2

(2) 抛物线 y =2px(p>0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离 MF ? x 0 ? 与焦点 F 的距离 MF ?
p 2 ? x0
2

; 抛物线 y =-2px(p>0)上的点 M(x0,y0)

2

(3)设抛物线的标准方程为 y =2px(p>0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为 到准线的距离为 p.

p 2

,顶点到准线的距离

p 2

,焦点

(4) 已知过抛物线 y =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于 A、 B 两点, 则线段 AB 称为焦点弦, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),
2p sin
2

2

则弦长 AB = x 1 ? x 2 +p 或 AB ? 叫做焦半径).

?

2 (α为直线 AB 的倾斜角), y 1 y 2 ? ? p ,x 1 x 2 ?

p 4

2

, AF

? x1 ?

p 2

( AF

椭圆典型例题 一、已知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。 例 1:已知椭圆的焦点是 F1(0,-1)、F2(0,1),P 是椭圆上一点,并且 PF1+PF2=2F1F2,求椭圆的标准方程。 解:由 PF1+PF2=2F1F2=2×2=4,得 2a=4.又 c=1,所以 b2=3. y2 x2 所以椭圆的标准方程是 + =1. 4 3 2.已知椭圆的两个焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),且 2a=10,求椭圆的标准方程. 解:由椭圆定义知 c=1,∴b= 5 -1= 24.∴椭圆的标准方程为 + =1. 25 24 二、未知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。
2

x2

y2

0 ? ,其长轴长是短轴长的 2 倍,求椭圆的标准方程. 例:1. 椭圆的一个顶点为 A ? 2,

分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置.
0 ? 为长轴端点时, a ? 2 , b ? 1 , 解: (1)当 A ? 2,
x
2

椭圆的标准方程为:

4

?

y

2

1

?1;

0 ? 为短轴端点时, b ? 2 , a ? 4 , (2)当 A ? 2,
x
2

椭圆的标准方程为:

4

?

y

2

16

?1;

三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出,求椭圆的标准方程。 x2 y2 例.求过点(-3,2)且与椭圆 + =1 有相同焦点的椭圆的标准方程. 9 4 解:因为 c =9-4=5,所以设所求椭圆的标准方程为 2+
2 2

4 2 =1,所以 a =15.所以所求椭圆的标准方程为 + =1. a -5 15 10 四、与直线相结合的问题,求椭圆的标准方程。

x2 y2 9 =1.由点(-3,2)在椭圆上知 2+ 2 a a -5 a x2 y2

例: 已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆与直线 x ? y ? 1 ? 0 交于 A 、 B 两点, M 为 AB 中点, OM 的斜率为 0.25,椭圆的短轴长为 2,求椭圆的方程. 解:由题意,设椭圆方程为
x a
2 2

? y

2

?1,

?x ? y ?1 ? 0 ? 2 2 2 由? x2 ,得 ?1 ? a ? x ? 2 a x ? 0 , 2 ? 2 ? y ?1 ?a
x1 ? x 2 2 1? a a
2 2

∴ xM ?

?

, yM ? 1 ? xM ?

1 1? a
x
2

2



? k OM ?

yM xM

?

1 a
2

?

1 4

,∴ a ? 4 ,

2



4

? y

2

? 1 为所求.

五、求椭圆的离心率问题。 例 已知椭圆
x
2

k ?8

?

y

2

9

? 1 的离心率 e ?

1 2

,求 k 的值.
2 2

解:当椭圆的焦点在 x 轴上时, a ? k ? 8 , b ? 9 ,得 c
2 2 2

2

? k ? 1 .由 e ?

1 2

,得 k ? 4 .

当椭圆的焦点在 y 轴上时, a ? 9 , b ? k ? 8 ,得 c ? 1 ? k . 由e ?
1 2

,得

1? k 9

?

1 4

,即 k ? ?

5 4



∴满足条件的 k ? 4 或 k ? ?

5 4



六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题 例:1.若△ABC 的两个顶点坐标 A(-4,0),B(4,0),△ABC 的周长为 18,求顶点 C 的轨迹方程。 解:顶点 C 到两个定点 A,B 的距离之和为定值 10,且大于两定点间的距离,因此顶点 C 的轨迹为椭圆,并 且 2a=10,所以 a=5,2c=8,所以 c=4,所以 b2=a2-c2=9,故顶点 C 的轨 x2 y2 方程为 + =1.又 A、B、C 三点构成三角形,所以 y≠0.所以顶点 C 的轨迹方 25 9 x2 y2 x2 y2 为 + =1(y≠0)答案: + =1(y≠0) 25 9 25 9 迹 程

x2 y2 2.已知椭圆的标准方程是 2+ =1(a>5),它的两焦点分别是 F1,F2,且 F1F2=8,弦 AB 过点 F1,求△ABF2 a 25 的周长. 因为 F1F2=8,即即所以 2c=8,即 c=4,所以 a2=25+16=41,即 a= 41,所以△ABF2 的周长为 4a=4 41. x2 y2 3.设 F1、F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且 PF1:PF2=2:1,求△PF1F2 的面积. 9 4 解析:由椭圆方程,得 a=3,b=2,c= 5,∴PF1+PF2=2a=6.又 PF1∶PF2=2∶1,∴PF1=4,PF2=2,由 22+42 1 1 =(2 5)2 可知△PF1F2 是直角三角形,故△PF1F2 的面积为 PF1· PF2= ×2×4=4. 2 2 七、直线与椭圆的位置问题 例 已知椭圆
x
2

2

? y

2

?1 1? ? 1 ,求过点 P ? , ? 且被 P 平分的弦所在的直线方程. ? 2 2?

分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为 k ,利用条件求 k . 解法一:设所求直线的斜率为 k ,则直线方程为 y ?
1 1? ? ? k ? x ? ? .代入椭圆方程,并整理得 2 2? ?

?1 ? 2 k ?x
2

2

? ?2 k

2

? 2 k ?x ?
2k
2

1 2

k

2

?k ?

3 2

? 0.

由韦达定理得 x 1 ? x 2 ?

? 2k
2

1 ? 2k


1 2

∵ P 是弦中点,∴ x 1 ? x 2 ? 1 .故得 k ? ? 所以所求直线方程为 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 .
?1



解法二:设过 P ?

1? , ? 的直线与椭圆交于 A ? x 1, y 1 ? 、 B ? x 2, y 2 ? ,则由题意得 ? 2 2?

? x1 2 ? y 1 ? 1, ? 2 ? 2 ? x2 2 ? y 2 ? 1, ? 2 ? ? x 1 ? x 2 ? 1, ? ? y 1 ? y 2 ? 1.

2



② ③ ④
2

①-②得

x1 ? x 2 2

2

? y1 ? y 2 ? 0 .

2

2



将③、④代入⑤得

y1 ? y 2 x1 ? x 2

? ?

1 2

,即直线的斜率为 ?

1 2



所求直线方程为 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 . 双曲线典型例题 一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。 例 1 讨论
x
2

25 ? k

?

y

2

9? k

? 1 表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征.

分析:由于 k ? 9 , k ? 25 ,则 k 的取值范围为 k ? 9 , 9 ? k ? 25 , k ? 25 ,分别进行讨论. 解: ( 1 ) 当 k ? 9 时 , 25 ? k ? 0 , 9 ? k ? 0 , 所 给 方 程 表 示 椭 圆 , 此 时 a ? 25 ? k , b ? 9 ? k ,
c
2 2 2

? a ?b

2

2

? 16 ,这些椭圆有共同的焦点(-4,0) , (4,0) .
2 2

(2)当 9 ? k ? 25 时, 25 ? k ? 0 , 9 ? k ? 0 ,所给方程表示双曲线,此时, a ? 25 ? k , b ? 9 ? k ,
c
2

? a ?b

2

2

? 16 ,这些双曲线也有共同的焦点(-4,0) , ) (4,0) .

(3) k ? 25 , k ? 9 , k ? 25 时,所给方程没有轨迹. 说明:将具有共同焦点的一系列圆锥曲线,称为同焦点圆锥曲线系,不妨取一些 k 值,画出其图形,体会一 下几何图形所带给人们的美感. 二、根据已知条件,求双曲线的标准方程。 例 2 根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)过点 P ? 3, ? , Q ? ?
? 4 ? ? ? 15 ? ? 16 ? , 5 ? 且焦点在坐标轴上. 3 ?

(2) c ?

6 ,经过点(-5,2) ,焦点在 x 轴上.

(3)与双曲线

x

2

16

?

y

2

4

? 1 有相同焦点,且经过点 3

?

2, 2

?

解: (1)设双曲线方程为

x

2

m

?

y

2

n

?1

∵ P 、 Q 两点在双曲线上,
225 ? 9 ? ?1 ? ? m ? ? 16 ?m 16 n ∴? 解得 ? ?n ? 9 ? 256 ? 25 ? 1 ? n ? 9m
? x 16
2

∴所求双曲线方程为

?

y

2

9

?1

说明:采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论,得“巧求”的目的. (2)∵焦点在 x 轴上, c ?
x
2

6 ,

∴设所求双曲线方程为:

?

?

y

2

6??

? 1 (其中 0 ? ? ? 6 )

∵双曲线经过点(-5,2) ,∴ ∴ ? ? 5 或 ? ? 30 (舍去) ∴所求双曲线方程是
x
2

25

?

?

4 6??

?1

5

? y

2

?1

说明:以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉. (3)设所求双曲线方程为:
2 ? ,∴ ∵双曲线过点 ?3 2 ,

x

2

16 ? ?

?

y

2

4? ?

? 1 ? 0 ? ? ? 16

?

18 16 ? ?

?

4 4? ?

?1

∴ ? ? 4 或 ? ? ? 14 (舍) ∴所求双曲线方程为
x
2

12

?

y

2

8

?1

说明: (1)注意到了与双曲线

x

2

16

?

y

2

4

? 1 有公共焦点的双曲线系方程为

x

2

16 ? ?

?

y

2

4? ?

? 1 后,便有了以上

巧妙的设法. (2)寻找一种简捷的方法,须有牢固的基础和一定的变通能力,这也是在我们教学中应该注重的一个重要 方面. 三、求与双曲线有关的角度问题。 例 3 已知双曲线
x
2

9

?

y

2

16

? 1 的右焦点分别为 F 1 、 F 2 ,点 P 在双曲线上的左支上且 PF 1 PF 2 ? 32 ,求

? F1 PF 2 的大小.

分析:一般地,求一个角的大小,通常要解这个角所在的三角形. 解:∵点 P 在双曲线的左支上 ∴ PF 1 ? PF 2 ? 6

∴ PF 1 ? PF 2 ∴ PF 1 ? PF 2 ∵ F1 F 2
2 2

2

2

? 2 PF 1 PF 2 ? 36 ? 100

2

? 4c

2

? 4 a ?b
?

?

2

12

? ? 100

∴ ? F1 PF 2 ? 90

说明: (1)巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中,使问题得以简单化. (2)题目的“点 P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键,应引起我们的重视,若将这一条件改为“点 P 在 双曲线上”结论如何改变呢?请读者试探索. 四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。 例 4 已知 F 1 、 F 2 是双曲线 面积. 分析:利用双曲线的定义及 ? F1 PF 2 中的勾股定理可求 ? F1 PF 2 的面积.
x
2 2

x

2

4

? y

2

? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足 ? F1 PF

2

? 90 ,求 ? F1 PF 2 的

?

解:∵ P 为双曲线

4

? y

? 1 上的一个点且 F 1 、 F 2 为焦点.

∴ PF 1 ? PF 2 ? 2 a ? 4 , F1 F 2 ? 2 c ? 2 5 ∵ ? F1 PF 2 ? 90
?

∴在 Rt ? PF 1 F 2 中, PF 1 ? PF 2 ∵ ? PF 1 ? PF 2

2

2

? F1 F 2

2

? 20

?

2

? PF 1

2

? PF 2

2

? 2 PF 1 PF 2 ? 16

∴ 20 ? 2 PF 1 PF 2 ? 16 ∴ PF 1 ? PF 2 ? 2 ∴ S ? F PF ?
1 2

1 2

PF 1 ? PF 2 ? 1

说明:双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用. 五、根据双曲线的定义求其标准方程。
0 ? 、 F 2 ? 5, 0 ? ,求与它们的距离差的绝对值是 6 的点的轨迹. 例 5 已知两点 F1 ? ? 5,

分析:问题的条件符合双曲线的定义,可利用双曲线定义直接求出动点轨迹. 解:根据双曲线定义,可知所求点的轨迹是双曲线. ∵c ? 5 ,a ? 3 ∴ b ? c ? a ? 5 ? 3 ? 4 ? 16
x
2

2

2

2

2

2

2

∴所求方程

9

?

y

2

16

? 1 为动点的轨迹方程,且轨迹是双曲线.

例: P 是双曲线

x

2

64

?

y

2

36

? 1 上一点, F 1 、 F 2 是双曲线的两个焦点,且 PF 1 ? 17 ,求 PF 2 的值.

分析:利用双曲线的定义求解. 解:在双曲线
x
2

64

?

y

2

36

? 1 中, a ? 8 , b ? 6 ,故 c ? 10 .

由 P 是双曲线上一点,得 PF 1 ? PF 2 ? 16 . ∴ PF 2 ? 1 或 PF 2 ? 33 . 又 PF 2 ? c ? a ? 2 ,得 PF 2 ? 33 . 说明:本题容易忽视 PF 2 ? c ? a 这一条件,而得出错误的结论 PF 2 ? 1 或 PF 2 ? 33 . 六、求与圆有关的双曲线方程。 例 6 求下列动圆圆心 M 的轨迹方程:

? x ? 2 ? ? y 2 ? 2 内切,且过点 A ? 2, 0? (1)与⊙ C :
2 2 2 (2)与⊙ C 1: x ? ? y ? 1 ? ? 1 和⊙ C 2: x ? ? y ? 1 ? ? 4 都外切. 2 2

? x ? 3 ? ? y 2 ? 9 外切,且与⊙ C 2: ? x ? 3 ? ? y 2 ? 1 内切. (3)与⊙ C 1:
2 2

分析:这是圆与圆相切的问题,解题时要抓住关键点,即圆心与切点和关键线段,即半径与圆心距离.如果
r 2 且 r1 ? r2 , 相切的⊙ C 1 、 ⊙ C 2 的半径为 r1 、 则当它们外切时,O 1 O 2 ? r1 ? r2 ; 当它们内切时,O 1 O 2 ? r1 ? r2 . 解

题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程. 解:设动圆 M 的半径为 r (1)∵⊙ C 1 与⊙ M 内切,点 A 在⊙ C 外 ∴ MC ? r ?
2 , MA ? r , MA ? MC ? 2

∴点 M 的轨迹是以 C 、 A 为焦点的双曲线的左支,且有:
a ? 2 2

,c ? 2 ,b ? c ? a ?

2

2

2

7 2

∴双曲线方程为 2 x ?

2

2y 7

2

?1 x ? ?

?

2

?

(2)∵⊙ M 与⊙ C 1 、⊙ C 2 都外切 ∴ MC 1 ? r ? 1 , MC
MC
2 2

? r?2,

? MC

1

?1

∴点 M 的轨迹是以 C 2 、 C 1 为焦点的双曲线的上支,且有:

a ?

1 2

,c ? 1 ,b ? c ? a ?

2

2

2

3 4

∴所求的双曲线的方程为:
4y ?
2

4x 3

2

3? ? ? 1? y ? ? 4? ?

(3)∵⊙ M 与⊙ C 1 外切,且与⊙ C 2 内切 ∴ MC 1 ? r ? 3 , MC
2

? r ? 1 , MC

1

? MC

2

? 4

∴点 M 的轨迹是以 C 1 、 C 2 为焦点的双曲线的右支,且有:
a ? 2 ,c ? 3 ,b
2

? c ?a

2

2

? 5

∴所求双曲线方程为:
x
2

4

?

y

2

5

? 1? x ? 2 ?

说明: (1) “定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法. (2)巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小,提高了解题的速度与质量. (3)通过以上题目的分析,我们体会到了,灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标. w.w.w.k.s.5. 抛物线典型例题 一、求抛物线的标准方程。 例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程. (1) x ? 4 y
2

(2) x ? ay ( a ? 0 )

2

分析: (1)先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种,求出 p,再写出焦点坐标和准线方程. (2)先把方程化为标准方程形式,再对 a 进行讨论,确定是哪一种后,求 p 及焦点坐标与准线方程. 解: (1)? p ? 2 ,∴焦点坐标是(0,1) ,准线方程是: y ? ? 1 (2)原抛物线方程为: y ?
p 2 1 4a p 2 1 4a 1 4a 1 4a
2

1 a

x ,? 2 p ?

1 a

①当 a ? 0 时, ∴焦点坐标是 (

?

,抛物线开口向右, .

, 0 ) ,准线方程是: x ? ? ? ? 1 4a

②当 a ? 0 时, ∴焦点坐标是 (

,抛物线开口向左,
1 4a 1 4a , 0 ) ,准线方程是: x ? ? 1 4a

, 0 ) ,准线方程是: x ? ?
2

. .

综合上述,当 a ? 0 时,抛物线 x ? ay 的焦点坐标为 (

二、求直线与抛物线相结合的问题

例 2 若直线 y ? kx ? 2 与抛物线 y ? 8 x 交于 A、B 两点,且 AB 中点的横坐标为 2,求此直线方程. 分析:由直线与抛物线相交利用韦达定理列出 k 的方程求解.另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关,故 也可利用“作差法”求 k. 解法一:设 A ( x 1 , y 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) ,则由: ?
? y ? kx ? 2 ?y
2

2

? 8x

可得: k x ? ( 4 k ? 8 ) x ? 4 ? 0 .

2

2

∵直线与抛物线相交,? k ? 0 且 ? ? 0 ,则 k ? ? 1 . ∵AB 中点横坐标为:?
x1 ? x 2 2 ? 4k ? 8 k
2

? 2,

解得: k ? 2 或 k ? ? 1 (舍去) . 故所求直线方程为: y ? 2 x ? 2 . 解法二:设 A ( x 1 , y 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) ,则有 y 1 ? 8 x 1 两式作差解: ( y 1 ? y 2 )( y 1 ? y 2 ) ? 8 ( x 1 ? x 2 ) ,即
2

y2

2

? 8 x2


8

y1 ? y 2 x1 ? x 2

?

y1 ? y 2



? x 1 ? x 2 ? 4 ? y 1 ? y 2 ? kx 1 ? 2 ? kx 2 ? 2 ? k ( x 1 ? x 2 ) ? 4 ? 4 k ? 4 ,

? k ?

8 4k ? 4

故 k ? 2 或 k ? ? 1 (舍去) .

则所求直线方程为: y ? 2 x ? 2 .

三、求直线中的参数问题
2 例 3(1)设抛物线 y ? 4 x 被直线 y ? 2 x ? k 截得的弦长为 3 5 ,求 k 值.

(2)以(1)中的弦为底边,以 x 轴上的点 P 为顶点作三角形,当三角形的面积为 9 时,求 P 点坐标. 分析: (1)题可利用弦长公式求 k, (2)题可利用面积求高,再用点到直线距离求 P 点坐标. 解: (1)由 ?
?y
2

? 4x

?y ? 2x ? k

得: 4 x ? ( 4 k ? 4 ) x ? k ? 0

2

2

设直线与抛物线交于 A ( x 1 , y 1 ) 与 B ( x 2 , y 2 ) 两点.则有: x 1 ? x 2 ? 1 ? k , x 1 ? x 2 ?
? AB ? (1 ? 2 )( x 1 ? x 2 )
2 2

k

2

4

?

5 ( x1 ? x 2 )

?

2

? 4 x1 x 2

??

5 (1 ? k )

?

2

? k

2

??

5 (1 ? 2 k )

? AB ? 3 5 ,?

5 (1 ? 2 k ) ? 3 5 ,即 k ? ? 4
2?9 3 5 6 5 5

(2)? S ? ? 9 ,底边长为 3 5 ,∴三角形高 h ? ∵点 P 在 x 轴上,∴设 P 点坐标是 ( x 0 , 0 )

?

则点 P 到直线 y ? 2 x ? 4 的距离就等于 h,即

2 x0 ? 0 ? 4 2 ?1
2 2

?

6 5

5

? x 0 ? ? 1 或 x 0 ? 5 ,即所求 P 点坐标是(-1,0)或(5,0) .

四、与抛物线有关的最值问题 例 4 定长为 3 的线段 AB 的端点 A 、 B 在抛物线 y ? x 上移动,求 AB 的中点到 y 轴的距离的最小值,并 求出此时 AB 中点的坐标. 解:如图,设 F 是 y ? x 的焦点, A 、B 两点到准线的垂线分别是 AC 、BD ,又 M 到准线的垂线为 MN ,
C 、 D 和 N 是垂足,则
2 2

MN

?

1 2

( AC ? BD ) ?

1 2

( AF ? BF ) ?

1 2

AB ?
1 4

3 2


3 2 ? 1 4 ? 5 4

设 M 点的横坐标为 x ,纵坐标为 y , MN ? x ? 等式成立的条件是 AB 过点 F . 当x ?
5 4

,则 x ?



时, y 1 y 2 ? ? P ? ?
2 2 2

2

1 4

,故
1 2 ? 2,

( y1 ? y 2 ) ? y1 ? y 2 ? 2 y1 y 2 ? 2 x ?
2 2

y1 ? y 2 ? ?

2

,y ? ?



所以 M ( 例

5 4

,?

2 2

) ,此时 M 到 y 轴的距离的最小值为

5 4



已知点 M ( 3 , 2 ) , F 为抛物线 y ? 2 x 的焦点,点 P 在该抛物线上移动,当 PM ? PF 取最小值时,

2

点 P 的坐标为__________. 分析:本题若建立目标函数来求 PM ? PF 的最小值是困难的,若巧妙地利用抛物线定义,结合图形则问 题不难解决. 解:如图,

由定义知 PF ? PE ,故 PM ? PF ? PF ? PM ? ME ? MN ? 3

1 2



取等号时, M 、 P 、 E 三点共线,∴ P 点纵坐标为 2,代入方程,求出其横坐标为 2, 所以 P 点坐标为 ( 2 , 2 ) .


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