圆锥曲线知识点总结与经典例题

圆锥曲线解题方法技巧 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率 k ? ta n ? , ? ? [ 0 , ? )
k ? y 2 ? y1 x 2 ? x1

②点 P ( x 0 , y 0 ) 到直线 A x ? B y ? C ? 0 的距离
l1 : y ? k 1 x ? b1 l2 : y ? k 2 x ? b2

d ?

A x0 ? B y0 ? C A ? B k 2 ? k1 1 ? k 2 k1
2 2

③夹角公式：直线 （3）弦长公式

夹角为 ? ， 则 ta n ? ?

直线 y ? k x ? b 上两点 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 间的距离 ① AB ?
( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y 1 ) ② A B ?
2 2

1? k

2

x1 ? x 2 ?

(1 ? k )[( x 1 ? x 2 ) ? 4 x 1 x 2 ]

2

2

③ AB ?

1?

1 k
2

y1 ? y 2

（4）两条直线的位置关系 （Ⅰ）
l1 : y ? k 1 x ? b1 l2 : y ? k 2 x ? b2

① l1 ? l 2 ? k 1 k 2 =-1 （Ⅱ）
l1 : A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0 l2 : A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

② l 1 // l 2 ? k 1 ? k 2 且 b 1 ? b 2

① l1 ? l 2 ? A1 A 2 ? B 1 B 2 ? 0 ② l1 / / l 2 ? A1 B 2 - A 2 B 1 = 0 且 A1 C 2 - A 2 C 1 ? 0 或 两平行线距离公式
? l1 : y ? k x ? b 1 ? ? l2 : y ? k x ? b2
A1 A2 ? B1 B2 ? C1 C2

者（ A 2 B 2 C 2 ? 0 ）

距离 d ?

| b1 ? b 2 | 1? k
2

? l1 : A x ? B y ? C 1 ? 0 ? ? l2 : A x ? B y ? C 2 ? 0

距离 d ?

| C1 ? C 2 | A ? B
2 2

二、椭圆、双曲线、抛物线： 椭圆 双曲线 抛物线

定义

1．到两定点 F1,F2 的距离之 和为定值 2a(2a>|F1F2|)的 点的轨迹 2．与定点和直线的距离之 比为定值 e 的点的轨迹. （0<e<1） 点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜ =2a,｜F 1F2｜＜2a}.

1． 到两定点 F1,F2 的距离之差的 绝对值为定值 2a(0<2a<|F1F2|) 的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为 定值 e 的点的轨迹.（e>1） 点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜. =±2a,｜F2F2｜＞2a}.

与定点和直线的距离相等的 点的轨迹.

轨迹条件

点集{M｜ ｜MF｜=点 M 到直 线 l 的距离}.

图形

方 程

标准 方程

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b >0)

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)

y

2

? 2 px

参数 方程

? x ? a cos ? ? y ? b sin ? ? ( 参数 ? 为离心角）

? x ? a sec ? ? y ? b tan ? ? ( 参数 ? 为离心角）

? x ? 2 pt ? ? y ? 2 pt

2

(t 为参数)

范围 中心

─a?x?a，─b?y?b 原点 O（0，0） (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x 轴，y 轴； 长轴长 2a,短轴长 2b

|x| ? a，y?R 原点 O（0，0）

x?0

顶点

(a,0), (─a,0) x 轴，y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b.

(0,0)

对称轴

x轴

焦点

F1(c,0), F2(─c,0)

F1(c,0), F2(─c,0)

F(

p 2

,0 )

x=± 准 线

a

2

c

x=±

a

2

x=-

p 2

c

准线垂直于长轴，且在椭圆 外. 焦距 2c （c= a ? b ）
e ? c a ( 0 ? e ? 1)
2 2

准线垂直于实轴， 且在两顶点的 内侧. 2c （c= a ? b
e ? c a ( e ? 1)
2 2

准线与焦点位于顶点两侧， 且到顶点的距离相等.

） e=1

离心率

P(x0，y0)为圆锥曲线上一点，F1、F2 分别为左、右焦点 焦半径 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 【备注 1】双曲线： ⑶等轴双曲线：双曲线 x 2 ? y 2 ?
?a
2

P 在右支时： |PF1|=a+ex0 |PF2|=-a+ex0

P 在左支时： |PF1|=-a-ex0 |PF2|=a-ex0 |PF|=x0+
p 2

称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y

? ?x

，离心率 e

?

2

.
x a
2 2

⑷共轭双曲线： 以已知双曲线的虚轴为实轴， 实轴为虚轴的双曲线， 叫做已知双曲线的共轭双曲线.
x a
2 2

?

y b

2 2

? ?

与

?

y b

2 2

? ??

互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：
x a
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 0 x a
2 2

.
y b
2 2

⑸共渐近线的双曲线系方程： 它的双曲线方程可设为 【备注 2】抛物线：
x a
2 2

?

y b

2 2

? ? (? ? 0 )

的渐近线方程为

?

? 0

如果双曲线的渐近线为

x a

?

y b

? 0

时，

?

y b

2 2

? ? (? ? 0 )

.

（1）抛物线 y =2px(p>0)的焦点坐标是( 标是(p 2

2

p 2

,0)，准线方程 x=2

p 2

，开口向右；抛物线 y =-2px(p>0)的焦点坐
p 2

2

,0)，准线方程 x=

p 2

，开口向左；抛物线 x =2py(p>0)的焦点坐标是(0,

)，准线方程 y=-

p 2

，开

口向上； 抛物线 x =-2py（p>0）的焦点坐标是（0,2

2

p 2

） ，准线方程 y=

p 2

，开口向下.
p 2

（2） 抛物线 y =2px(p>0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离 MF ? x 0 ? 与焦点 F 的距离 MF ?
p 2 ? x0
2

； 抛物线 y =-2px(p>0)上的点 M(x0,y0)

2

（3）设抛物线的标准方程为 y =2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为 到准线的距离为 p.

p 2

，顶点到准线的距离

p 2

，焦点

（4） 已知过抛物线 y =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于 A、 B 两点， 则线段 AB 称为焦点弦， 设 A(x1,y1),B(x2,y2)，
2p sin
2

2

则弦长 AB = x 1 ? x 2 +p 或 AB ? 叫做焦半径).

?

2 (α为直线 AB 的倾斜角)， y 1 y 2 ? ? p ，x 1 x 2 ?

p 4

2

, AF

? x1 ?

p 2

( AF

椭圆典型例题 一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例 1：已知椭圆的焦点是 F1(0，－1)、F2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且 PF1＋PF2＝2F1F2，求椭圆的标准方程。 解：由 PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4，得 2a＝4.又 c＝1，所以 b2＝3. y2 x2 所以椭圆的标准方程是 ＋ ＝1. 4 3 2．已知椭圆的两个焦点为 F1(－1,0)，F2(1,0)，且 2a＝10，求椭圆的标准方程． 解：由椭圆定义知 c＝1，∴b＝ 5 －1＝ 24.∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 25 24 二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
2

x2

y2

0 ? ，其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标准方程． 例：1. 椭圆的一个顶点为 A ? 2，

分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．
0 ? 为长轴端点时， a ? 2 ， b ? 1 ， 解： （1）当 A ? 2，
x
2

椭圆的标准方程为：

4

?

y

2

1

?1；

0 ? 为短轴端点时， b ? 2 ， a ? 4 ， （2）当 A ? 2，
x
2

椭圆的标准方程为：

4

?

y

2

16

?1；

三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。 x2 y2 例．求过点(－3,2)且与椭圆 ＋ ＝1 有相同焦点的椭圆的标准方程． 9 4 解：因为 c ＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为 2＋
2 2

4 2 ＝1，所以 a ＝15.所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. a －5 15 10 四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。

x2 y2 9 ＝1.由点(－3,2)在椭圆上知 2＋ 2 a a －5 a x2 y2

例： 已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆与直线 x ? y ? 1 ? 0 交于 A 、 B 两点， M 为 AB 中点， OM 的斜率为 0.25，椭圆的短轴长为 2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为
x a
2 2

? y

2

?1，

?x ? y ?1 ? 0 ? 2 2 2 由? x2 ，得 ?1 ? a ? x ? 2 a x ? 0 ， 2 ? 2 ? y ?1 ?a
x1 ? x 2 2 1? a a
2 2

∴ xM ?

?

， yM ? 1 ? xM ?

1 1? a
x
2

2

，

? k OM ?

yM xM

?

1 a
2

?

1 4

，∴ a ? 4 ，

2

∴

4

? y

2

? 1 为所求．

五、求椭圆的离心率问题。 例 已知椭圆
x
2

k ?8

?

y

2

9

? 1 的离心率 e ?

1 2

，求 k 的值．
2 2

解：当椭圆的焦点在 x 轴上时， a ? k ? 8 ， b ? 9 ，得 c
2 2 2

2

? k ? 1 ．由 e ?

1 2

，得 k ? 4 ．

当椭圆的焦点在 y 轴上时， a ? 9 ， b ? k ? 8 ，得 c ? 1 ? k ． 由e ?
1 2

，得

1? k 9

?

1 4

，即 k ? ?

5 4

．

∴满足条件的 k ? 4 或 k ? ?

5 4

．

六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题 例：1.若△ABC 的两个顶点坐标 A(－4,0)，B(4,0)，△ABC 的周长为 18，求顶点 C 的轨迹方程。 解：顶点 C 到两个定点 A，B 的距离之和为定值 10，且大于两定点间的距离，因此顶点 C 的轨迹为椭圆，并 且 2a＝10，所以 a＝5,2c＝8，所以 c＝4，所以 b2＝a2－c2＝9，故顶点 C 的轨 x2 y2 方程为 ＋ ＝1.又 A、B、C 三点构成三角形，所以 y≠0.所以顶点 C 的轨迹方 25 9 x2 y2 x2 y2 为 ＋ ＝1(y≠0)答案： ＋ ＝1(y≠0) 25 9 25 9 迹 程

x2 y2 2．已知椭圆的标准方程是 2＋ ＝1(a>5)，它的两焦点分别是 F1，F2，且 F1F2＝8，弦 AB 过点 F1，求△ABF2 a 25 的周长． 因为 F1F2＝8，即即所以 2c＝8，即 c＝4，所以 a2＝25＋16＝41，即 a＝ 41，所以△ABF2 的周长为 4a＝4 41. x2 y2 3．设 F1、F2 是椭圆 ＋ ＝1 的两个焦点,P 是椭圆上的点，且 PF1:PF2＝2:1，求△PF1F2 的面积． 9 4 解析：由椭圆方程，得 a＝3，b＝2，c＝ 5，∴PF1＋PF2＝2a＝6.又 PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，由 22＋42 1 1 ＝(2 5)2 可知△PF1F2 是直角三角形，故△PF1F2 的面积为 PF1· PF2＝ ×2×4＝4. 2 2 七、直线与椭圆的位置问题 例 已知椭圆
x
2

2

? y

2

?1 1? ? 1 ，求过点 P ? ， ? 且被 P 平分的弦所在的直线方程． ? 2 2?

分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为 k ，利用条件求 k ． 解法一：设所求直线的斜率为 k ，则直线方程为 y ?
1 1? ? ? k ? x ? ? ．代入椭圆方程，并整理得 2 2? ?

?1 ? 2 k ?x
2

2

? ?2 k

2

? 2 k ?x ?
2k
2

1 2

k

2

?k ?

3 2

? 0．

由韦达定理得 x 1 ? x 2 ?

? 2k
2

1 ? 2k

．
1 2

∵ P 是弦中点，∴ x 1 ? x 2 ? 1 ．故得 k ? ? 所以所求直线方程为 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 ．
?1

．

解法二：设过 P ?

1? ， ? 的直线与椭圆交于 A ? x 1， y 1 ? 、 B ? x 2， y 2 ? ，则由题意得 ? 2 2?

? x1 2 ? y 1 ? 1， ? 2 ? 2 ? x2 2 ? y 2 ? 1， ? 2 ? ? x 1 ? x 2 ? 1， ? ? y 1 ? y 2 ? 1.

2

①

② ③ ④
2

①－②得

x1 ? x 2 2

2

? y1 ? y 2 ? 0 ．

2

2

⑤

将③、④代入⑤得

y1 ? y 2 x1 ? x 2

? ?

1 2

，即直线的斜率为 ?

1 2

．

所求直线方程为 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 ． 双曲线典型例题 一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。 例 1 讨论
x
2

25 ? k

?

y

2

9? k

? 1 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．

分析：由于 k ? 9 ， k ? 25 ，则 k 的取值范围为 k ? 9 ， 9 ? k ? 25 ， k ? 25 ，分别进行讨论． 解： （ 1 ） 当 k ? 9 时 ， 25 ? k ? 0 ， 9 ? k ? 0 ， 所 给 方 程 表 示 椭 圆 ， 此 时 a ? 25 ? k ， b ? 9 ? k ，
c
2 2 2

? a ?b

2

2

? 16 ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0） ， （4，0） ．
2 2

（2）当 9 ? k ? 25 时， 25 ? k ? 0 ， 9 ? k ? 0 ，所给方程表示双曲线，此时， a ? 25 ? k ， b ? 9 ? k ，
c
2

? a ?b

2

2

? 16 ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0） ， ） （4，0） ．

（3） k ? 25 ， k ? 9 ， k ? 25 时，所给方程没有轨迹． 说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些 k 值，画出其图形，体会一 下几何图形所带给人们的美感． 二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。 例 2 根据下列条件，求双曲线的标准方程． （1）过点 P ? 3， ? ， Q ? ?
? 4 ? ? ? 15 ? ? 16 ? ， 5 ? 且焦点在坐标轴上． 3 ?

（2） c ?

6 ，经过点（－5，2） ，焦点在 x 轴上．

（3）与双曲线

x

2

16

?

y

2

4

? 1 有相同焦点，且经过点 3

?

2， 2

?

解： （1）设双曲线方程为

x

2

m

?

y

2

n

?1

∵ P 、 Q 两点在双曲线上，
225 ? 9 ? ?1 ? ? m ? ? 16 ?m 16 n ∴? 解得 ? ?n ? 9 ? 256 ? 25 ? 1 ? n ? 9m
? x 16
2

∴所求双曲线方程为

?

y

2

9

?1

说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在 x 轴上， c ?
x
2

6 ，

∴设所求双曲线方程为：

?

?

y

2

6??

? 1 （其中 0 ? ? ? 6 ）

∵双曲线经过点（－5，2） ，∴ ∴ ? ? 5 或 ? ? 30 （舍去） ∴所求双曲线方程是
x
2

25

?

?

4 6??

?1

5

? y

2

?1

说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉． （3）设所求双曲线方程为：
2 ? ，∴ ∵双曲线过点 ?3 2 ，

x

2

16 ? ?

?

y

2

4? ?

? 1 ? 0 ? ? ? 16

?

18 16 ? ?

?

4 4? ?

?1

∴ ? ? 4 或 ? ? ? 14 （舍） ∴所求双曲线方程为
x
2

12

?

y

2

8

?1

说明： （1）注意到了与双曲线

x

2

16

?

y

2

4

? 1 有公共焦点的双曲线系方程为

x

2

16 ? ?

?

y

2

4? ?

? 1 后，便有了以上

巧妙的设法． （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要 方面． 三、求与双曲线有关的角度问题。 例 3 已知双曲线
x
2

9

?

y

2

16

? 1 的右焦点分别为 F 1 、 F 2 ，点 P 在双曲线上的左支上且 PF 1 PF 2 ? 32 ，求

? F1 PF 2 的大小．

分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形． 解：∵点 P 在双曲线的左支上 ∴ PF 1 ? PF 2 ? 6

∴ PF 1 ? PF 2 ∴ PF 1 ? PF 2 ∵ F1 F 2
2 2

2

2

? 2 PF 1 PF 2 ? 36 ? 100

2

? 4c

2

? 4 a ?b
?

?

2

12

? ? 100

∴ ? F1 PF 2 ? 90

说明： （1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化． （2）题目的“点 P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点 P 在 双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索． 四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。 例 4 已知 F 1 、 F 2 是双曲线 面积． 分析：利用双曲线的定义及 ? F1 PF 2 中的勾股定理可求 ? F1 PF 2 的面积．
x
2 2

x

2

4

? y

2

? 1 的两个焦点，点 P 在双曲线上且满足 ? F1 PF

2

? 90 ，求 ? F1 PF 2 的

?

解：∵ P 为双曲线

4

? y

? 1 上的一个点且 F 1 、 F 2 为焦点．

∴ PF 1 ? PF 2 ? 2 a ? 4 , F1 F 2 ? 2 c ? 2 5 ∵ ? F1 PF 2 ? 90
?

∴在 Rt ? PF 1 F 2 中， PF 1 ? PF 2 ∵ ? PF 1 ? PF 2

2

2

? F1 F 2

2

? 20

?

2

? PF 1

2

? PF 2

2

? 2 PF 1 PF 2 ? 16

∴ 20 ? 2 PF 1 PF 2 ? 16 ∴ PF 1 ? PF 2 ? 2 ∴ S ? F PF ?
1 2

1 2

PF 1 ? PF 2 ? 1

说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用． 五、根据双曲线的定义求其标准方程。
0 ? 、 F 2 ? 5， 0 ? ，求与它们的距离差的绝对值是 6 的点的轨迹． 例 5 已知两点 F1 ? ? 5，

分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹． 解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线． ∵c ? 5 ，a ? 3 ∴ b ? c ? a ? 5 ? 3 ? 4 ? 16
x
2

2

2

2

2

2

2

∴所求方程

9

?

y

2

16

? 1 为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线．

例: P 是双曲线

x

2

64

?

y

2

36

? 1 上一点， F 1 、 F 2 是双曲线的两个焦点，且 PF 1 ? 17 ，求 PF 2 的值．

分析：利用双曲线的定义求解． 解：在双曲线
x
2

64

?

y

2

36

? 1 中， a ? 8 ， b ? 6 ，故 c ? 10 ．

由 P 是双曲线上一点，得 PF 1 ? PF 2 ? 16 ． ∴ PF 2 ? 1 或 PF 2 ? 33 ． 又 PF 2 ? c ? a ? 2 ，得 PF 2 ? 33 ． 说明：本题容易忽视 PF 2 ? c ? a 这一条件，而得出错误的结论 PF 2 ? 1 或 PF 2 ? 33 ． 六、求与圆有关的双曲线方程。 例 6 求下列动圆圆心 M 的轨迹方程：

? x ? 2 ? ? y 2 ? 2 内切，且过点 A ? 2， 0? （1）与⊙ C ：
2 2 2 （2）与⊙ C 1： x ? ? y ? 1 ? ? 1 和⊙ C 2： x ? ? y ? 1 ? ? 4 都外切． 2 2

? x ? 3 ? ? y 2 ? 9 外切，且与⊙ C 2： ? x ? 3 ? ? y 2 ? 1 内切． （3）与⊙ C 1：
2 2

分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果
r 2 且 r1 ? r2 ， 相切的⊙ C 1 、 ⊙ C 2 的半径为 r1 、 则当它们外切时，O 1 O 2 ? r1 ? r2 ； 当它们内切时，O 1 O 2 ? r1 ? r2 ． 解

题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程． 解：设动圆 M 的半径为 r （1）∵⊙ C 1 与⊙ M 内切，点 A 在⊙ C 外 ∴ MC ? r ?
2 ， MA ? r ， MA ? MC ? 2

∴点 M 的轨迹是以 C 、 A 为焦点的双曲线的左支，且有：
a ? 2 2

，c ? 2 ，b ? c ? a ?

2

2

2

7 2

∴双曲线方程为 2 x ?

2

2y 7

2

?1 x ? ?

?

2

?

（2）∵⊙ M 与⊙ C 1 、⊙ C 2 都外切 ∴ MC 1 ? r ? 1 ， MC
MC
2 2

? r?2，

? MC

1

?1

∴点 M 的轨迹是以 C 2 、 C 1 为焦点的双曲线的上支，且有：

a ?

1 2

，c ? 1 ，b ? c ? a ?

2

2

2

3 4

∴所求的双曲线的方程为：
4y ?
2

4x 3

2

3? ? ? 1? y ? ? 4? ?

（3）∵⊙ M 与⊙ C 1 外切，且与⊙ C 2 内切 ∴ MC 1 ? r ? 3 ， MC
2

? r ? 1 ， MC

1

? MC

2

? 4

∴点 M 的轨迹是以 C 1 、 C 2 为焦点的双曲线的右支，且有：
a ? 2 ，c ? 3 ，b
2

? c ?a

2

2

? 5

∴所求双曲线方程为：
x
2

4

?

y

2

5

? 1? x ? 2 ?

说明： （1） “定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法． （2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量． （3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标． w.w.w.k.s.5. 抛物线典型例题 一、求抛物线的标准方程。 例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． （1） x ? 4 y
2

（2） x ? ay ( a ? 0 )

2

分析： （1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出 p，再写出焦点坐标和准线方程． （2）先把方程化为标准方程形式，再对 a 进行讨论，确定是哪一种后，求 p 及焦点坐标与准线方程． 解： （1）? p ? 2 ，∴焦点坐标是（0，1） ，准线方程是： y ? ? 1 （2）原抛物线方程为： y ?
p 2 1 4a p 2 1 4a 1 4a 1 4a
2

1 a

x ，? 2 p ?

1 a

①当 a ? 0 时， ∴焦点坐标是 (

?

，抛物线开口向右， ．

, 0 ) ，准线方程是： x ? ? ? ? 1 4a

②当 a ? 0 时， ∴焦点坐标是 (

，抛物线开口向左，
1 4a 1 4a , 0 ) ，准线方程是： x ? ? 1 4a

, 0 ) ，准线方程是： x ? ?
2

． ．

综合上述，当 a ? 0 时，抛物线 x ? ay 的焦点坐标为 (

二、求直线与抛物线相结合的问题

例 2 若直线 y ? kx ? 2 与抛物线 y ? 8 x 交于 A、B 两点，且 AB 中点的横坐标为 2，求此直线方程． 分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出 k 的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故 也可利用“作差法”求 k． 解法一：设 A ( x 1 , y 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) ，则由： ?
? y ? kx ? 2 ?y
2

2

? 8x

可得： k x ? ( 4 k ? 8 ) x ? 4 ? 0 ．

2

2

∵直线与抛物线相交，? k ? 0 且 ? ? 0 ，则 k ? ? 1 ． ∵AB 中点横坐标为：?
x1 ? x 2 2 ? 4k ? 8 k
2

? 2，

解得： k ? 2 或 k ? ? 1 （舍去） ． 故所求直线方程为： y ? 2 x ? 2 ． 解法二：设 A ( x 1 , y 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) ，则有 y 1 ? 8 x 1 两式作差解： ( y 1 ? y 2 )( y 1 ? y 2 ) ? 8 ( x 1 ? x 2 ) ，即
2

y2

2

? 8 x2

．
8

y1 ? y 2 x1 ? x 2

?

y1 ? y 2

．

? x 1 ? x 2 ? 4 ? y 1 ? y 2 ? kx 1 ? 2 ? kx 2 ? 2 ? k ( x 1 ? x 2 ) ? 4 ? 4 k ? 4 ，

? k ?

8 4k ? 4

故 k ? 2 或 k ? ? 1 （舍去） ．

则所求直线方程为： y ? 2 x ? 2 ．

三、求直线中的参数问题
2 例 3（1）设抛物线 y ? 4 x 被直线 y ? 2 x ? k 截得的弦长为 3 5 ，求 k 值．

（2）以（1）中的弦为底边，以 x 轴上的点 P 为顶点作三角形，当三角形的面积为 9 时，求 P 点坐标． 分析： （1）题可利用弦长公式求 k， （2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求 P 点坐标． 解： （1）由 ?
?y
2

? 4x

?y ? 2x ? k

得： 4 x ? ( 4 k ? 4 ) x ? k ? 0

2

2

设直线与抛物线交于 A ( x 1 , y 1 ) 与 B ( x 2 , y 2 ) 两点．则有： x 1 ? x 2 ? 1 ? k , x 1 ? x 2 ?
? AB ? (1 ? 2 )( x 1 ? x 2 )
2 2

k

2

4

?

5 ( x1 ? x 2 )

?

2

? 4 x1 x 2

??

5 (1 ? k )

?

2

? k

2

??

5 (1 ? 2 k )

? AB ? 3 5 ,?

5 (1 ? 2 k ) ? 3 5 ，即 k ? ? 4
2?9 3 5 6 5 5

（2）? S ? ? 9 ，底边长为 3 5 ，∴三角形高 h ? ∵点 P 在 x 轴上，∴设 P 点坐标是 ( x 0 , 0 )

?

则点 P 到直线 y ? 2 x ? 4 的距离就等于 h，即

2 x0 ? 0 ? 4 2 ?1
2 2

?

6 5

5

? x 0 ? ? 1 或 x 0 ? 5 ，即所求 P 点坐标是（－1，0）或（5，0） ．

四、与抛物线有关的最值问题 例 4 定长为 3 的线段 AB 的端点 A 、 B 在抛物线 y ? x 上移动，求 AB 的中点到 y 轴的距离的最小值，并 求出此时 AB 中点的坐标． 解：如图，设 F 是 y ? x 的焦点， A 、B 两点到准线的垂线分别是 AC 、BD ，又 M 到准线的垂线为 MN ，
C 、 D 和 N 是垂足，则
2 2

MN

?

1 2

( AC ? BD ) ?

1 2

( AF ? BF ) ?

1 2

AB ?
1 4

3 2

．
3 2 ? 1 4 ? 5 4

设 M 点的横坐标为 x ，纵坐标为 y ， MN ? x ? 等式成立的条件是 AB 过点 F ． 当x ?
5 4

，则 x ?

．

时， y 1 y 2 ? ? P ? ?
2 2 2

2

1 4

，故
1 2 ? 2，

( y1 ? y 2 ) ? y1 ? y 2 ? 2 y1 y 2 ? 2 x ?
2 2

y1 ? y 2 ? ?

2

，y ? ?

．

所以 M ( 例

5 4

,?

2 2

) ，此时 M 到 y 轴的距离的最小值为

5 4

．

已知点 M ( 3 , 2 ) ， F 为抛物线 y ? 2 x 的焦点，点 P 在该抛物线上移动，当 PM ? PF 取最小值时，

2

点 P 的坐标为__________． 分析：本题若建立目标函数来求 PM ? PF 的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问 题不难解决． 解：如图，

由定义知 PF ? PE ，故 PM ? PF ? PF ? PM ? ME ? MN ? 3

1 2

．

取等号时， M 、 P 、 E 三点共线，∴ P 点纵坐标为 2，代入方程，求出其横坐标为 2， 所以 P 点坐标为 ( 2 , 2 ) ．