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《大高考》2016届高考复习数学理(全国通用):第九章 平面解析几何 第一节_图文

第一节

直线与方程

考纲考向分析

核心要点突破

考点梳理

考纲速览 命题解密 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形, 确定直线位置的几何要素.

热点预测

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌
握过两点的直线斜率的计算公式. 3. 掌握直线方程的几种形式 ( 点斜式、 1. 直线的方 两点式及一般式 ) ,了解斜截式与一次 程. 函数的关系. 2. 两直线的 4.能根据两条直线的斜率判定这两条直 位置关系. 线平行或垂直.

主要考查

高考对本节内

直线的倾斜角、 容的考查仍将以直 斜率、直线方 线的斜率和方程为 程的五种形式、 主,兼顾两条直线

判断两直线之 的位置关系,结合
间的位置关系、 直线的斜率与方程, 两点间的距离 考查直线与圆锥曲 公式、点到直 线的综合应用是命 线的距离、两 题的热点与重点, 平行线之间的 备考时应加强这方 距离公式. 面问题的训练.

5.能用解方程组的方法求两条相交直线
的交点坐标. 6.掌握两点间的距离公式、点到直线的 距离公式,会求两条平行直线间的距 离.

考纲考向分析

核心要点突破

知识点一 直线与方程 1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴 正向 与

向上 方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴 直线l_____
平行或重合时,规定它的倾斜角为___ . 0°

[0°,180°) . ②倾斜角的范围为____________

考纲考向分析

核心要点突破

(2)直线的斜率 tan θ; ①定义:若直线的倾斜角θ不是90°,则斜率k=____

②计算公式:若由 A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于 x轴, y2-y1 (x1≠x2) x2-x1 则k=_____________ .

考纲考向分析

核心要点突破

2.直线方程的几种形式 名称 条件 方程 适用范围 不含直线x=x1 不含垂直于x轴的

y-y1=k(x-x1) 点斜式 斜率k与点(x1,y1) _______________ 斜截式 斜率k与直线在y 轴上的截距b

y=kx+b __________

直线

考纲考向分析

核心要点突破

两点式

两 点 (x1 , y1) , y-y1 (x2,y2) 直线在 x 轴,

不 含 直 线 x =

x-x1 x1(x1 ≠ x2) 和直线 y = y2-y1 =______ x2-x1 ______ y 1 ( y1 ≠ y2 )
不含垂直于坐标轴 和过原点的直线

截距式 y 轴上的截距 分别为a与b

_____ += 1

一般式

Ax+By+C= ____________ 0(A2+B2≠0) ____________

平面直角坐标系内 的直线都适用
考纲考向分析 核心要点突破

知识点二 两直线的位置关系

1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行

对于两条不重合的直线 l1 , l2 ,其斜率分别为 k1 , k2 ,则有
k1=k2 .特别地,当直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2 l1∥l2?______ 平行 . _____ (2)两条直线垂直 k1·k2 如果两条直线l1,l2斜率存在,设为k1,k2,则l1⊥l2?_______ _____ =- 1 ,当一条直线斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两 垂直 . 直线_____
考纲考向分析 核心要点突破

2.两直线相交 交点:直线 l1:A1x+B1y+C1=0 和 l2:A2x+B2y+C2=0 的公共
? ?A1x+B1y+C1=0 点的坐标与方程组? 的解一一对应. ? ?A2x+B2y+C2=0

唯一解 ,交点坐标就是方程组的解; 相交?方程组有_______
无解 ; 平行?方程组_____

无数组解 . 重合?方程组有_________

考纲考向分析

核心要点突破

3.三种距离公式 (1)点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离
2 2 ( x - x ) +( y - y ) 2 1 2 1 |AB|=________________________ .

(2)点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离 |Ax0+By0+C| 2 2 A + B d=_____________. (3)两平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2) |C1-C2| 2 2 A + B 间的距离d=________.

考纲考向分析

核心要点突破

【名师助学】 1.本部分知识可以归纳为: (1)两种判定:①两条直线平行判定 l1∥l2?k1=k2; ②两直线垂直的判定:l1⊥l2?k1·k2=-1. (2)三种公式:①两点间的距离公式|AB| = (x1-x2)2+(y1-y2)2; |Ax0+By0+C| ②点到直线的距离公式 d= ; 2 2 A +B |C1-C2| ③两平行线间的距离公式 d= 2 2. A +B (3)五种形式:直线方程的五种形式: ①点斜式;②斜截式;③两 点式;④截距式;⑤一般式.
考纲考向分析 核心要点突破

2.常见直线系方程
(1)过定点(x1,y1)的直线系可以表示为y-y1=k(x-x1)和x=x1.

(2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系:Ax+By+λ=0(λ≠C).
(3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系:Bx-Ay+λ=0. (4)过A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的交点的直线系:A1x +B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0).

考纲考向分析

核心要点突破

方法1 直线方程 求直线方程的两种方法 (1)直接法:根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写 出直线方程,选择时,应注意各种形式的方程的适用范围,必

要时要分类讨论.
(2)待定系数法,具体步骤为: ①设所求直线方程的某种形式; ②由条件建立所求参数的方程(组); ③解这个方程(组)求出参数;

④把参数的值代入所设直线方程.
考纲考向分析 核心要点突破

【例1】 已知△ABC中,A(1,-4),B(6,6),C(-2,0).求:

(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距
式方程; (2)BC边的中线所在直线的一般式方程,并化为截距式方程.



(1)平行于 BC 边的中位线就是 AB, AC 中点的连线.
?7 ? ? 1 ? 中点坐标为? ,1?,?- ,-2?, ?2 ? ? 2 ?

因为线段 AB,AC

1 y+2 x+2 所以这条直线的方程为 = , 1+2 7 1 + 2 2
考纲考向分析 核心要点突破

整理得,一般式方程为 6x-8y-13=0, x y 化为截距式方程为 + =1. 13 13 - 6 8 (2)因为 BC 边上的中点为(2,3), 所以 BC 边上的中线所在直线的方程为 y+4 x-1 = ,即 7x-y-11=0, 3+4 2-1 x y 化为截距式方程为 + =1. 11 -11 7
考纲考向分析 核心要点突破

[ 点评 ]

求直线方程时,若不能断定直线是否具有斜率时,

应对斜率存在与不存在加以讨论.在用截距式时,应先判断截 距是否为0,若不确定,则需分类讨论.

考纲考向分析

核心要点突破

方法2 两直线的位置关系 求解与两条直线平行或垂直有关的问题时,主要是利用两条直线 平行或垂直的充要条件,即“斜率相等且纵截距不相等”、“互 为负倒数”.若出现斜率不存在的情况,可考虑用数形结合的方 法去研究或直接用直线的一般式判断.

考纲考向分析

核心要点突破

【例2】 已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1

=0,
(1)试判断l1与l2是否平行; (2)l1⊥l2时,求a的值.

考纲考向分析

核心要点突破



(1)法一

当 a=1 时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1 不平行

于 l2; 当 a=0 时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1 不平行于 l2; a 当 a≠1 且 a≠0 时,两直线可化为 l1:y=- x-3, 2 1 l2:y= x-(a+1), 1-a 1 a ? ?- = , 2 1-a ∴l1∥l2?? 解得 a=-1, ? ?-3≠-(a+1), 综上可知,a=-1 时,l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行.
考纲考向分析 核心要点突破

法二 由 A1B2-A2B1=0,得 a(a-1)-1×2=0, 由 A1C2-A2C1≠0, 得 a(a2-1)-1×6≠0,
2 ? ? ?a(a-1)-1×2=0 ?a -a-2=0, ∴l1∥l2?? ?? 2 2 ? ? a ( a - 1 )- 1 × 6 ≠ 0 a ( a -1)≠6. ? ?

∴a=-1,故当 a=-1 时,l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行. (2)法一 当 a=1 时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1 与 l2 不垂直; 当 a=0 时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1 与 l2 不垂直; 当 a≠1 且 a≠0 时,

考纲考向分析

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1 a l1:y=- x-3,l2:y= x-(a+1), 2 1-a
? a? 1 2 ? ? 由 -2 · =-1?a= . 3 ? ? 1-a

法二 由 A1A2+B1B2=0, 2 得 a+2(a-1)=0?a= . 3

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核心要点突破

[点评]

当直线的方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存

在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况 .同时还要注
意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件.

考纲考向分析

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方法3

对称变换思想在直线方程中的应用

解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式,而解决轴对

称问题,一般是转化为求对称点的问题,在求对称点时,关键
是抓住两点:一是两对称点的连线与对称轴垂直;二是两对称

点的中心在对称轴上,即抓住“垂直平分”,由“垂直”列出
一个方程,由“平分”列出一个方程,联立求解.

考纲考向分析

核心要点突破

【例3】 已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求: (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标; (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程; (3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l′的方程. [解题指导]解答本题的思路(1)设点A关于直线l的对称点A′的坐标, 利用对称点的连线被对称轴垂直平分,列出方程组求解; (2)转化 为点关于直线的对称来解决,求出直线m上一点的对称点,结合直 线m与l的交点,用两点式求出直线方程;(3)转化为点关于点的对

称问题.
考纲考向分析 核心要点突破



(1)设 A′(x,y),再由已知

? 2 33 ? ?y+2· =-1, x=- , ? 3 13 ?x+1 ? 得? 4 y-2 ? x-1 ? 2× -3× +1=0. ?y=13. ? ? 2 2
? 33 4? ∴A′?- , ?. ? 13 13?

(2)在直线 m 上取一点,如 M(2,0),则 M(2,0)关于直线 l 的对 称点必在 m′上.设对称点为 M′(a,b),

考纲考向分析

核心要点突破

?a+2? ?b+0? ? ? ? ? ? ?2× - 3 × ? 2 ? ? 2 ?+1=0, ?6 ? ? ? ? ? 30? 则? 解得 M′? , ?. ?13 13 ? ?b-0 2 × =-1. ? ?a-2 3

设 m 与 l 的交点为

? ?2x-3y+1=0, N,则由? 得 ? ?3x-2y-6=0,

N(4,3).

又∵m′经过点 N(4,3), ∴由两点式得直线方程为 9x-46y+102=0. (3)设 P(x,y)为 l′上任意一点,则 P(x,y)关于点 A(-1,-2)的对 称点为 P′(-2-x,-4-y), ∵P′在直线 l 上,∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即 2x-3y-9=0.
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[ 点评 ]

(1) 解决点关于直线对称问题要把握两点:点 M 与点 N

关于直线l对称,则线段MN的中点在直线l上,直线l与直线MN

垂直.
(2)如果是直线或点关于点成中心对称问题,则只需运用中点公 式就可解决问题. (3)若直线l1,l2关于直线l对称,则有如下性质:①若直线l1与l2 相交,则交点在直线l上;②若点B在直线l1上,则其关于直线l

的对称点B′在直线l2上.

考纲考向分析

核心要点突破


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