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【优化方案】2012高中数学 第2章2.3等差数列的前n项和课件 新人教A版必修5


2.3 等差数列的前n项和

学习目标

1.体会等差数列前n项和公式的推导过程.
2.掌握等差数列前n项和公式并应用公式解决实

际问题.
3.熟练掌握等差数列的五个量a1,d,n,an,Sn

的关系,能够由其中的三个求另外的两个.

2.3 等 差 数 列 的 前 n 项 和

课前自主学案

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 1.上一节刚学过等差数列的性质,即满足 * a______________________的数列就是等差数列. n+1-an=d(常数)(n∈N ) 2.等差数列的通项公式是 an=a1+(n-1)d(n∈N*) ________________________,其中d是等差数列的 公差. _____ 3.等差数列有一个性质:对于m,n,q,p∈N*, am+an=ap+aq. 若m+n=p+q,则_________________

知新盖能

1.等差数列的前n项和公式
首项、末项与项 已知量 数 求和 公式

首项、公差与项数

n?a1+an? n?n-1?d na1+ 2 2 Sn=_________ Sn=____________

思考感悟

n?n-1? 在公式 Sn=na1+ d 中, n 一定是关于 n 的 S 2 二次函数吗?
n?n-1? d 2 提示:不一定.由 Sn=na1+ d= n +(a1 2 2 d - )n,其中 a1,d 为常数,当 d≠0 时,Sn 是项数 2 n 的二次函数,且不含常数项,即 Sn = An2 + Bn(A≠0);当公差 d=0 时,Sn=na1.

2.等差数列前n项和的最值

(1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为_____ 负数
项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最___值; 小

正数 (2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为_____
项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最___值. 大 S1 小 特别地,若a1>0,d>0,则___是{Sn}的最___值; S1 若a1<0,d<0,则___是{Sn}的最___值. 大

课堂互动讲练

考点突破
等差数列前n项和的有关计算

对于等差数列{an}的五个“基本量”a1,d,n,an, Sn,若已知其中的三个,由等差数列{an}的通项公 n?a1+an? 式 an=a1+(n-1)d 及前 n 项和公式 Sn= 2 n?n-1? =na1+ d 便可求出另外两个,即“知三求 2 二”. “知三求二”实质上是方程思想的具体体现.

(1)求等差数列-2,1,4,?的前 n 项和; 3 1 (2)已知等差数列{an},满足 a1= ,d=- ,Sn 2 2
例1

=-15,求 n 及 a12.
【思路点拨】 (1)题目明确给出a1=-2,d=3.

(2)由Sn可得关于n的方程.

【解】 (1)因 a1=-2, 2=1, a ∴d=3, n?n-1? 1 ∴Sn=-2n+ ×3= n(3n-7). 2 2 3 n?n-1? 1 (2)∵Sn=n·+ (- )=-15, 2 2 2 整理,得 n2-7n-60=0, 解之,得 n=12 或 n=-5(舍去), 3 1 a12= +(12-1)×(- )=-4. 2 2

变式训练1

已知数列{an}是等差数列,

(1)若a2=5,a6=21,Sn=190,求n;

(2)若a2+a5=19,S5=40,求a10.

解:(1)∵a2=5,a6=21, ?a1+d=5 ∴? ,解得 a1=1,d=4, ?a1+5d=21 n?n-1? ∴Sn =na1 + d=n+2n2 -2n=2n2 -n= 2 19 190,∴n=10 或 n=- (舍去). 2

?a1+d+a1+4d=19, ? (2)法一:由已知可得? 5×4 ?5a1+ d=40. 2 ?

解得 a1=2,d=3.所以 a10=a1+9d=29. 法二:由 S5=5a3=40,得 a3=8. 所以 a2+a5=a3-d+a3+2d=2a3+d=16+d= 19, 得 d=3. 所以 a10=a3+7d=8+3×7=29.

已知Sn求an
利用数列前n项和Sn,求通项公式 第一步:当n>1时,an=Sn-Sn-1; 第二步:检验n=1时,a1=S1是否适合上式, 若适合,则数列{an}的通项公式是an=Sn-Sn-1; 若不适合,则数列{an}的通项公式是
?S1 an=? ?Sn-Sn-1

?n=1?, ?n>1,n∈N*?.

1 例2 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n + n,求这 2
2

个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如 果是,它的首项与公差分别是多少?

【思路点拨】

?S1,n=1 由 an=? 求 an. ?Sn-Sn-1,n≥2

【解】 根据Sn=a1+a2+…+an与Sn-1=a1+ a2+…+an-1(n≥2),可知当n≥2时, an=Sn-Sn-1

1 1 1 2 =n + n-[(n-1) + (n-1)]=2n- .① 2 2 2 1 3 2 当 n=1 时,a1=S1=1 + ×1= 也满足①式, 2 2 1 所以数列{an}的通项公式为 an=2n- . 2 3 由此可知,数列{an}是一个首项为 ,公差为 2 的 2
2

等差数列.

变式训练2

若数列{an}的前n项和Sn=3+2n,求

an.

解:∵Sn=3+2n, - ∴Sn-1=3+2n 1, - an=Sn-Sn-1=2n 1(n≥2), 而 a1=S1=5,
?5 ∴an=? n-1 ?2

?n=1? . ?n≥2?

等差数列前n项和的性质

等差数列的前 n 项和 Sn 的主要性质 (1)项数(下标)的“等和”性质: n?a1+an? n?am+an-m+1? Sn= = ; 2 2
(2)项的个数的“奇偶”性质: 等差数列{an}中,公差为d: ①若共有2n项,则S2n=n(an+an+1); S偶-S奇=nd;S偶∶S奇=an+1∶an;

②若共有2n+1项,则S2n+1=(2n+1)an+1; S偶-S奇=-an+1;S偶∶S奇=n∶(n+1); (3)“片断和”性质: 等差数列{an}中,公差为d,前k项的和为Sk,则Sk, S2k-Sk,S3k-S2k,…,Smk-S(m-1)k,…构成公 差为k2d的等差数列.

例3 在等差数列{an}中:

(1)若a4+a17=20,求S20; (2)若S4=1,S8=4,求S20.

【思路点拨】

(1)利用a1+a20=a4+a17.

(2)利用S4,S8-S4,S12-S8,…成等差数列.

【解】 (1)由等差数列的性质知:a1+a20 =a4+a17=20, 20 20 20 ∴S20= (a1+a20)= (a4+a17)= ×20= 2 2 2 200. (2)S4=1,S8-S4=3, 而 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16 成等差数列, 即 1,3,5,7,9,a17+a18+a19+a20=S20-S16= 9. ∴S20=1+3+5+7+9=25.

等差数列前n项和的最值

求数列的最值问题,可以参考函数的最值问题的 处理方法,当然也要注意由数列本身的特点所决
?an≥0 ?an≤0 定的一些方法, 如用? 或? 来确定 ?an+1≤0 ?an+1≥0

最值.

例4

在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求 建立Sn关于n的二次函数式,利用

前n项和Sn的最大值.
【思路点拨】

二次函数求最小值,也可确定an≥0,an+1<0时的
n值,从而确定最大值.

【解】 法一:由 S17=S9,得 17?17-1? 9?9-1? 25×17+ d=25×9+ d,解得 d 2 2 =-2,

n?n-1? 2 ∴Sn=25n+ ×(-2)=-(n-13) +169, 2 由二次函数性质得, n=13 时, n 有最大值 169. 当 S 法二:先求出 d=-2(同法一), ?an=25-2?n-1?≥0, ∵ a1 = 25 > 0 , 由 ? 得 ?an+1=25-2n<0,
? ?n≤131, ? 2 ? 1 ? ?n>122. ?

1 1 即 12 <n≤13 . 2 2

∴当 n=13 时,Sn 有最大值 169.

【名师点评】

综合上面的解法我们可以得到求

数列前n项和的最值问题的解法:(1)运用配方法
转化为二次函数,借助函数的单调性以及数形结

合,从而使问题得解;(2)通项公式法:求使
an≥0(或an≤0)成立的最大n即可.这是因为:当an

<0时,Sn<Sn-1,即单调递减.

变式训练3

数列{an}的前n项和Sn=33n-n2.

(1)求证:{an}是等差数列;
(2)问{an}的前多少项和最大. 解:(1)证明:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=34-2n, 又当n=1时,a1=S1=32=34-2×1满足an=34 -2n.

故{an}的通项为an=34-2n.

所以an+1-an=34-2(n+1)-(34-2n)=-2.

故数列{an}是以32为首项,-2为公差的等差数
列.

(2)令an≥0,得34-2n≥0,所以n≤17,
故数列{an}的前17项大于或等于零.

又a17=0,故数列{an}的前16项或前17项的和最
大.

方法感悟 1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加 法. 2.等差数列的两个求和公式中,一共涉及a1,an, Sn,n,d五个量,通常已知其中三个量,可求另外 两个量.

在求等差数列的和时,一般地,若已知首项 a1 及 n?a1+an? 末项 an,用公式 Sn= 较好;若已知首项 2 n?n-1? a1 及公差 d,用公式 Sn=na1+ d 较好. 2

3.公式an=Sn-Sn-1并非对所有的n∈N*都成

立,而只对n≥2的正整数才成立.由Sn求通项公
式an=f(n)时,要分n=1和n≥2两种情况分别计

算,然后验证两种情况可否用统一解析式表示,
若不能,则用分段函数的形式表示.

4.求等差数列前n项和的最值
(1)二次函数法:用求二次函数的最值方法来求其

前n项和的最值,但要注意n∈N*,结合二次函数
图象的对称性来确定n的值,更加直观.
?an≥0 (2)通项法:当 a1>0,d<0,? 时,Sn 取 ?an+1≤0 ?an≤0 得最大值;当 a1<0,d>0,? 时,Sn 取 ?an+1≥0

得最小值.


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