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湖南省洞口县第一中学2014-2015学年高一寒假作业数学试题(三)

2015 年 2 月(寒假) 作业 (3) 一、选择题: 1、在 R 上定义运算 ? :x ? y=x(1-y).若不等式(x-a) ? (x+a)<1 对任意 A. ?1 ? a ? 1 B. 0 ? a ? 2 C. ?

实数 x 成立,则( ) D. ?

1 3 ?a? 2 2

3 1 ?a? 2 2

2、已知函数 f ( x) ? ?

?? x 2 ? x, x ? 1 ? log0.5 x, x ? 1

, 若对于任意 x ? R ,不等式 f ( x) ?

t2 ? t ? 1 恒成立, 4
C.

则实数 t 的取值范围是 ( )A. D.

B.

3、设函数 f ( x) 的定义域为 R ,若存在常数 M ? 0 ,使 | f ( x)| ? M | x| 对一切实数 x 均成立, 则称 f ( x) 为 “倍约束函数” . 现给出下列函数: ①、 f ( x) ? 2 x ; ②、 f ( x) ? x ? 1 ; ③、
2

f ( x) ?

x ; (4) 、 f ( x) 是定义在实数集 R 上的奇函数,且对一切 x1 , x 2 均有 x ? x?3
2

| f ( x1 )? f ( x2 ) ? | 2 |x | 1? x 2 .其中是“倍约束函数”的有(
个 C.3 个 D.4 个

) A.1 个

B.2

6、

7、执行如图所示的程序框图,则输出的结果是

A.-1007

B.1007

C.-2014

D.2014

xy 1 1 1 2 2 8、若正实数 x,y,z 满足 x +4y =z+3xy,则当 取最大值时, + - 的最大 z x 2y z
值为( ) A.2 3 B. 2 C.1 1 D. 2

9、已知两定点 A? ?2,0? , B ?1,0? ,如果动点 P 满足 PA ? 2 PB ,则点 P 的轨迹所 包围的图形的面积等于(
2 2

) A

9?
B

(B)8?

(C) 4?

(D)?

10、如果直线 L 将圆:x +y -2x-4y=0 平分且不通过第四象限,则直线 L 的 斜 率的 取值范围是( )A C D

数学作业(1)答案: 1 题、C, 题、A, 8 题、A, <4, 14 题、②③④, 15 题、①②④, 9 题、B, 10 题、C, 11 题、3, 12 题、 lg16 , 13 题、0≤m 2 题、B, 3 题、A, 4 题、B, 5 题、C, 6 题、B, 7

16 题、

18 题、

x x 2 x 19 题、(1)、 f ( x) ? (3 ) ? 3 ? 3 ? c ,令 3 ? t ,当 x ? [0,1] 时, t ? [1,3] .问题转化为当

t ? [1,3] 时, g (t ) ? t 2 ? 3t ? c ? 0 恒成立.于是,只需 g (t ) 在 [1,3] 上的最大值 g (3) ? 0 ,
2 即 3 ? 3 ? 3 ? c ? 0 ,解得 c ? 0 .? 实数 c 的取值范围是 (??,0).

(2)、若存在 x0 ? [0,1] ,使 f ( x0 ) ? 0 ,则存在 t ? [1,3] ,使 g (t ) ? t ? 3t ? c ? 0 .于是,只需
2

9 3 3 3 g (t ) 在 [1,3] 上的最小值 g ( ) ? 0 ,即 ( ) 2 ? 3 ? ? c ? 0 ,解得 c ? . ? 实数 c 的取 4 2 2 2
值范围是 ( ??, ). (3)、若方程 f ( x) ? c · 3 在 [0,1] 上有唯一实数解,则方程 t 2 ? (3 ? c)t ? c ? 0 在 [1,3] 上有
x

9 4

唯一实数解.因 ? ? (3 ? c)2 ? 4c ? (c ? 1)2 ? 8 ? 0 ,故 t 2 ? (3 ? c)t ? c ? 0 在 [1,3] 上 不可能有两个相等的实数解.令 h(t ) ? t 2 ? (3 ? c)t ? c .因 h(1) ? ?2 ? 0 ,故只需

h(3) ? ?2c ? 0 ,解得 c ? 0 .? 实数 c 的取值范围是 (??,0].

作业(2)参考答案: 题次 答案 1 D 2 B 3 B 4 A 5 B 6 C 7 B 8 C 9 A 10 A

8 题、 解

x y

?

z t

?

1

y 100

+

z

?2

z 100 y

=

z y

?

1 5

当 z=y,1/y=z/100 ,时取到最小值;故

x=1,y=10,z=10,t=100 11 题、易知不等式

x+2 2 1 <0 的解集为(-2,-1),所以 a=-2,b=-1,则 2m+n=1, + = x+1 m n

2 1 2m 2n 1 2 1 (2m+n)( + )=5+ + ≥5+4=9(当且仅当 m=n= 时取等号), 所以 + 的最小 m n n m 3 m n 值为 9. 12 题、①②④; 13 题、 y= 0.9756 120 15 题、 16π 16 题、 ①、 45°; ②、 60°;
x

14 题、 x+2y—2=0 或 2x+3y—6=0 ③、

3
k ? a ,电力部门的 x ? 0.4

17 题、 (I) :设下调后的电价为 x 元/ kw ? h ,依题意知用电量增至 收益为 y ? ?

? k ? ? a ??x ? 0.3??0.55 ? x ? 0.75? ? x ? 0.4 ?

?? 0.2a ? ? a ??x ? 0.3? ? ?a ? ?0.8 ? 0.3???1 ? 20%?, ?? (II)依题意有 ?? x ? 0.4 整理得 ? ?0.55 ? x ? 0.75. ?

? x 2 ? 1.1x ? 0.3 ? 0 ? ?0.55 ? x ? 0.75
0.60 ? x ? 0.75 故当电价最低定为 0.6 x 元/ kw ? h 仍可保证电力部门 解此不等式得:

的收益比上年至少增长 20%

19 题、分别以直线 AC、AD 为 x 轴、y 轴建立直角坐标系;作⊙A 的切线 GH,使直线 GH//直线

CD,设切点为 E(另一条切线不在考虑之列).连结 AE,并延长交 CD 于 F,则 AF⊥CD.
显然 EF 是圆上到直线 CD 的最短距离,E 就是所求的位置;由已知,CD 的斜率为 ? 所以 AF 的斜率为

4 , 3

3 3 ,故 AF 的方程为 y ? x ,又圆 A 的方程为 x2 ? y 2 ? 1 ,由①②联 4 4 4 3 5 5 4 3 5 5

立解得点 E 的坐标为 E ( , ) ;故 E 选在坐标为 E ( , ) 的点.

? x1 ? 1 ?x ? ? x1 ? 2 x ? 1 ? 2 ?? 20、 (1)设 A? x1, y1 ? , M ? x, y ? ,由中点公式得 ? ? y1 ? 2 y ? 3 ? y1 ? 3 ? y ? ? 2

3? ? 因为 A 在圆 C 上,所以 ? 2 x ? ? ? 2 y ? 3? ? 4,即x ? ? y ? ? ? 1 ; 点 M 的轨迹是以 2? ?
2 2 2

2

? 3? ? 0, ? 为圆心,1 为半径的圆。 ? 2?
(2) 设 L 的斜率为 k , 则 L 的方程为 y ? 3 ? k ? x ?1? 即 kx ? y ? k ? 3 ? 0 ; 因为 CA ? CD, △CAD 为等腰直角三角形,圆心 C(-1,0)到 L 的距离为

1 2

CD ? 2 ;由点到直线的距









?k ? k ? 3 k ?1
2

? 2 ? 4k 2 ? 12k ? 9 ? 2k 2 ? 2

? 2k 2 ? 12k ? 7 ? 0解得k ? 3 ?

11 2

作业(3) 参考答案: 1 题、C 2 题、B 解:由已知得,只需 f ( x) max ?

t2 ? t ? 1 ,当 x ? 1 时, 4

1 1 1 f ( x) ? ? x 2 ? x ? ?(x ? ) 2 ? ? ,当 x ? 1 时, f ( x) ? log0.5 x ? 0 ,故 2 4 4

f ( x) max ?

t2 1 1 ,则 ? t ? 1 ? ,则实数 t 的取值范围是 ?? ?,1? ? ?3,??? . 4 4 4

3 题、 C 解:∵ 对 任 意 x ? R ,存 在 M ? 0 ,有 | f ( x) | ? M | x | 成 立 ,∴ 对 任 意 x ? R , 存 在 正 数 M ,都 有 M ?

f ? x? x

成立.

∴ 对 于 ① : f ( x) ? 2 x,易 知 存 在 M ? 2

符合题意;对于②:

f ? x? x ?

x2 ? 1 1 ? ? x ? ? 2,故不存在满足条件的 M 值, x x 1 4 ? 恒成立, ; 对于 ( 4) , 当 x1 ? x,x2 ? 0 | x ? x ? 3 | 11
2

故②不是; 对于③:

f ? x? x

时 ,由 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 | x1 ? x2 | 得 到 | ( f x) |? 2 x 成 立 ,这 样 的 M 存 在 ;故 是 “倍约束函数”的函数有 3 个. 7 题、A 8 题、∵z=x +4y -3xy,x,y,z∈(0,+∞),∴
2 2

4 题、B

5 题、C

6 题、A

xy xy 1 = 2 = ≤1(当且仅 2 z x +4y -3xy x 4y + -3 y x

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 当 x=2y 时等号成立),此时 + - = - 2,令 =t>0,则 + - =t- t ≤ (当 x 2y z y 2 y y x 2y z 2 2 且仅当 t=1 时等号成立).故选 D. 9 题、C 10 题、A 11 题、4 解:初值: n ? 1, S ? 1 第2次运行: S ? 3 ? 2 ? 7, n ? 3
2

第1次运行: 第3次运行:

S ? 1 ? 2 ? 3, n ? 2

符合题目要求, 故 S ? 7 ? 23 ? 15, n ? 4 第4次运行:S ? 15 ? 2 4 ? 31, n ? 5 , 判断框中的正整数 ...M 的值是4. 1 |a| 12 题、解、(1)分 a>0 和 a<0,去掉绝对值符号,用均值不等式求解.当 a>0 时, + = 2|a| b 1 a a+b a 1 b a 5 1 |a| 1 -a a+b -a + = + = +( + )≥ ;当 a<0 时, + = + = + = 2a b 4a b 4 4a b 4 2|a| b -2a b -4a b 1 b -a 1 3 1 |a| 3 - +( + )≥- +1= .综上所述, + 的最小值是 . 4 -4a b 4 4 2|a| b 4 13 题、 解、 ①、 F= 76 000 20×6.05 76 000 ≤ =1 900, 当且仅当 v=11 时等号成立. ②、 2 121+18 +18

v+

v

F= ≤ =2 000,当且仅当 v=10 时等号成立,2 000-1 900 20×5 2 100+18 v+ +18 v
=100.

76 000

76 000

14 题、4 个

15 题、-1≤k<1 或 k= 2

1 6 题、

2 2
2 2 2

17 题、解、 利用不等式求解.因为 a+b+c=0,所以 b+c=-a.因为 a +b +c =1,所 以-a +1=b +c =(b+c) -2bc=a -2bc,所以 2a -1=2bc≤b +c =1-a ,所以 2 6 6 6 2 2 3a ≤2,所以 a ≤ ,所以- ≤a≤ .所以 amax= . 3 3 3 3 18
2 2 2 2 2 2 2 2 2

题、解:

3 3 ? ? 1 ?x ? ?? ? x ? 或? 2 19 题、解(I)原不等式等价于 ? 或 2 2 ? ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 1 ? 3 1 3 1 ?x ? ? 解得 ? x ? 2或 ? ? x ? 或 ? 1 ? x ? ? 即不等式的解集为 2 ? 2 2 2 2 ? ??(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6
{x | ?1 ? x ? 2}
(II)?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |?| (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) |? 4

?a ? 4

a-2 b-2 ? ? 2 + 2 +2=0, 20 题、解:(1)设圆心 C(a,b),则? b+2 ? ?a+2=1,
2 2 2 2

解得?

?a=0, ? ? ?b=0.

则圆 C 的方

程为 x +y =r ,将点 P 的坐标代入得 r =2,故圆 C 的方程为 x +y =2. (2)、由题意知,直线 PA 和直线 PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设 PA:y-1=k(x-1),
?y-1=k?x-1?, ? PB:y-1=-k(x-1),由? 2 2 ? ?x +y =2,

2

2

得(1+k )x +2k(1-k)x+(1-k)

2

2

2

-2=0.因为点 P 的横坐标 x=1 一定是该方程的解,故可得 xA=

k2-2k-1 .同理,xB= 2 1+k

k2+2k-1 yB-yA -k?xB-1?-k?xA-1? 2k-k?xB+xA? .所以 kAB= = = =1=kOP.所 2 1+k xB-xA xB-xA xB-xA
以,直线 OP 和 AB 一定平行. 21 题、解: (1) 、函数 f ( x) 在 [0,1] 上的值域是 ? 0, 2? ; (2) f ( x) 的值域是 ? 0, 2? ,要 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,则 ? 0, 2? ? y y ? g ( x), x ? ? 0,1? ①、当 a ? 0 时, x ? [0,1] , g ( x) ? 5 x ? ? 0,5? ,符合题意; ②、当 a ? 0 时,函数 g ( x) 的对称轴为 x ? ?

?

?

5 ? 0 ,故当 x ? [0,1] 时,函数 g ( x) 为增函 2a

?a ? 0 ? 数,则 g ( x) 的值域是 [?2a,5 ? a ] ,由条件知 [0, 2] ? [ ?2a,5 ? a] ,∴ ??2a ≤ 0 ? 0 ? a ≤ 3 ; ?5 ? a ≥ 2 ?

③当 a ? 0 时,函数 g ( x) 的对称轴为 x ? ? (1) 、 当0 ? ?

5 ? 0. 2a

?8a 2 ? 25 ?8a 2 ? 25 5 5 即 a ? ? 时,g ( x) 的值域是 [?2a, ] 或 [5 ? a, ], ?1, 4a 4a 2a 2

由 ?2a ? 0,5 ? a ? 0 知,此时不合题意; (2) 、当 ?
5 5 ≥ 1 ,即 ? ≤ a ? 0 时, g ( x) 的值域是 [?2a,5 ? a ] ,由 [0, 2] ? [ ?2 a,5 ? a] 知, 2a 2

由 ?2a ? 0 知,此时不合题意.

综合①②③得 0 ≤ a ≤ 3 .


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