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2014-2015学年广东省深圳市宝安区高一(下)期末数学试卷

2014-2015 学年广东省深圳市宝安区高一(下)期末数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)圆:x2+y2﹣4x+6y=0 的圆心坐标和半径分别为( A. (﹣2,3) ,13 2. (5 分)sin A. B. ﹣ C. B. (﹣2,3) , cos 的值是( C. (2,﹣3) , ) ) D. (2,﹣3) ,13

D.﹣ )

3. (5 分) 用样本频率分布估计总体频率分布的过程中, 下列说法正确的是 ( A.总体容量越大,估计越精确 B.总体容量越小,估计越精确 C.样本容量越大,估计越精确 D.样本容量越小,估计越精确

4. (5 分)如图,某几何体的正视图(主视图) ,侧视图(左视图)和俯视图分 别是边长为 2 积为( ) 的等边三角形, 底边长为 2 的等腰三角形和菱形,则该几何体体

A.2

B.4

C.4

D.2

5. (5 分)设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,给出下列 四个命题: ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n ②若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ ③若 m∥α,n∥α,则 m∥n ④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β
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其中正确命题的序号是(



A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④ 6. (5 分)已知 x 与 y 之间的一组数据 x y 0 1 1 3 2 5 3 7 ) D. (1,2) )

则 y 与 x 的线性回归方程 =bx+ 必过点( A. (2,2) B. (1.5,4) C. (1.5,0)

7. (5 分)直线 kx﹣y+1=3k,当 k 变动时,所有直线都通过定点( A. (0,0) B. (0,1) C. (3,1) D. (2,1)

8. (5 分)一只蚂蚁在三边长分别为 3、4、5 的三角形的边上爬行,某时间该蚂 蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的概率为( A. B. C. D. )

9. (5 分)在坐标平面内,与点 A(1,1)距离为 1,且与点 B(4,1)距离为 2 的直线共有( )

A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 10. (5 分)函数 f(x)=(x﹣2014) (x+2015)的图象与 x 轴,y 轴有三个交点, 有一个圆恰经过这三个点,则此圆与坐标轴的另一个交点是( A. (0,﹣1) B. (0,1) C. (0, ) D. (0, ) )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 11. (5 分)在 200 件产品中,192 有件一级品,8 件二级品,则下列事件: ①在这 200 件产品中任意选出 9 件,全部是一级品; ②在这 200 件产品中任意选出 9 件,全部是二级品; ③在这 200 件产品中任意选出 9 件,不全是一级品; ④在这 200 件产品中任意选出 9 件,其中不是一级品的件数小于 100,其中随机 事件是 . 的值的一个流程图,其中判断框内

12. (5 分)如图给出的是计算 + + +…+ 应填入的条件是

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13. (5 分) 若连续掷两次骰子, 第一次掷得的点数为 m, 第二次掷得的点数为 n, 则点 P(m,n)落在圆 x2+y2=16 内的概率是 .

14. (5 分)将一张坐标纸折叠一次,使点(0,2)与点(4,0)重合,且点(9, 5)与点(m,n)重合,则 m+n 的值是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程和 演算步骤. 15. (12 分)求经过直线 l1:2x+3y﹣5=0,l2:3x﹣2y﹣3=0 的交点且平行于直线 2x+y﹣3=0 的直线方程. 16. (12 分)如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名,将其成绩(均为 整数)整理后画出的频率分布表和频率分布直方图如下,回答下列问题: 分组 [39.5,49.5) [49.5,59.5) [59.5,69.5) [69.5,79.5) [79.5,89.5) [89.5,99.5] 人数 a 9 b 18 15 3 频率 0.10 x 0.15 0.30 y 0.05

(1)分别求出 a,b,x,y 的值,并补全频率分布直方图;
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(2)估计这次环保知识竞赛平均分; (3)若从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访,抽到的学生成绩 及格的概率有多大?

17. (14 分)袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各 1 个,从中任取 1 只,有 放回地抽取 3 次. 求: (1)3 只全是红球的概率; (2)3 只颜色全相同的概率; (3)3 只颜色不全相同的概率. 18. (14 分)一个圆锥的底面半径为 2cm,高为 4cm,其中有一个高为 xcm 的内 接圆柱: (1)求圆锥的侧面积; (2)当 x 为何值时,圆柱侧面积最大?并求出最大值.

19. (14 分) 如图, 四面体 ABCD 中, O、 E 分别是 BD、 BC 的中点, CA=CB=CD=BD=2, AB=AD= .

(Ⅰ)求证:AO⊥平面 BCD; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦; (Ⅲ)求点 E 到平面 ACD 的距离.

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20. (14 分)设圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧 长的比为 3:1,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线 l:x﹣2y=0 的距 离最小的圆的方程.

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2014-2015 学年广东省深圳市宝安区高一(下)期末数学 试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2015 春?宝安区期末)圆:x2+y2﹣4x+6y=0 的圆心坐标和半径分别为 ( ) B. (﹣2,3) , C. (2,﹣3) , D. (2,﹣3) ,13

A. (﹣2,3) ,13

【分析】把所给的圆的一般方程化为标准方程,可得圆心坐标和半径. 【解答】解:圆:x2+y2﹣4x+6y=0,即圆: (x﹣2)2+(y+3)2 =13, 故圆心坐标和半径分别为(2,﹣3) , 故选:C. 【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程,属于基础题. ,

2. (5 分) (2010?吴川市模拟)sin A. B. C. D.﹣



cos

的值是(



【分析】 把所求的式子提取 2 后,利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函 数值化简后,即可求出原式的值. 【解答】解:原式= 故选 B 【点评】 此题考查学生灵活运用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化 简求值,是一道中档题. = .

3. (5 分) (2015 春?宝安区期末)用样本频率分布估计总体频率分布的过程中, 下列说法正确的是( )

A.总体容量越大,估计越精确 B.总体容量越小,估计越精确
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C.样本容量越大,估计越精确 D.样本容量越小,估计越精确 【分析】根据总体一定时,样本的容量越大,估计就越精确,选择正确的答案即 可. 【解答】解:用样本的频率分布估计总体的频率分布时, 在总体一定时,样本的容量越大,估计就越精确. 故选:C. 【点评】 本题考查了用样本的数字特征估计总体的数字特征的应用问题,是基础 题目.

4. (5 分) (2015 春?宝安区期末)如图,某几何体的正视图(主视图) ,侧视图 (左视图) 和俯视图分别是边长为 2 和菱形,则该几何体体积为( ) 的等边三角形,底边长为 2 的等腰三角形

A.2

B.4

C.4

D.2

【分析】 根据已知中的三视图及相关视图边的长度,我们易判断出该几何体的形 状及底面积和高的值,代入棱锥体积公式即可求出答案. 【解答】解:由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得: 这个几何体是一个四棱锥, 由图可知,底面两条对角线的长分别为 2 故底面棱形的面积为 ×2 侧棱为 2 , =3, ×2=2 , ,2,底面边长为 2,

则棱锥的高 h=

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故 V= ?3?2 故选:A.

=2



【点评】 本题考查的知识点是由三视图求面积、体积其中根据已知求出满足条件 的几何体的形状及底面面积和棱锥的高是解答本题的关键

5. (5 分) (2014?天津学业考试)设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个 不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n ②若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ ③若 m∥α,n∥α,则 m∥n ④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β 其中正确命题的序号是( )

A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④ 【分析】根据线面平行性质定理,结合线面垂直的定义,可得①是真命题;根据 面面平行的性质结合线面垂直的性质,可得②是真命题;在正方体中举出反例, 可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行, 垂直于同一个平面和两个平面也 不一定平行,可得③④不正确.由此可得本题的答案. 【解答】解:对于①,因为 n∥α,所以经过 n 作平面 β,使 β∩α=l,可得 n∥l, 又因为 m⊥α,l? α,所以 m⊥l,结合 n∥l 得 m⊥n.由此可得①是真命题; 对于②,因为 α∥β 且 β∥γ,所以 α∥γ,结合 m⊥α,可得 m⊥γ,故②是真命 题; 对于③,设直线 m、n 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线, 而平面 α 是正方体下底面所在的平面, 则有 m∥α 且 n∥α 成立,但不能推出 m∥n,故③不正确; 对于④,设平面 α、β、γ 是位于正方体经过同一个顶点的三个面, 则有 α⊥γ 且 β⊥γ,但是 α⊥β,推不出 α∥β,故④不正确. 综上所述,其中正确命题的序号是①和② 故选:A 【点评】本题给出关于空间线面位置关系的命题,要我们找出其中的真命题,着
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重考查了线面平行、 面面平行的性质和线面垂直、 面面垂直的判定与性质等知识, 属于中档题.

6. (5 分) (2015 秋?胶州市期末)已知 x 与 y 之间的一组数据 x y 0 1 1 3 2 5 3 7 ) D. (1,2)

则 y 与 x 的线性回归方程 =bx+ 必过点( A. (2,2) B. (1.5,4) C. (1.5,0)

【分析】先分别计算平均数,可得样本中心点,利用线性回归方程必过样本中心 点,即可得到结论. 【解答】解:由题意, = (0+1+2+3)=1.5, = (1+3+5+7)=4 ∴x 与 y 组成的线性回归方程必过点(1.5,4) 故选:B. 【点评】 本题考查线性回归方程,解题的关键是利用线性回归方程必过样本中心 点.

7. (5 分) (2016?山西校级二模)直线 kx﹣y+1=3k,当 k 变动时,所有直线都通 过定点( )

A. (0,0) B. (0,1) C. (3,1) D. (2,1) 【分析】将直线的方程变形为 k(x﹣3)=y﹣1 对于任何 k∈R 都成立,从而有 ,解出定点的坐标. 【解答】解:由 kx﹣y+1=3k 得 k(x﹣3)=y﹣1 对于任何 k∈R 都成立,则 解得 x=3,y=1, 故直线经过定点(3,1) ,故选 C. 【点评】 本题考查直线过定点问题,把直线方程变形为参数乘以一个因式再加上 另一个因式等于 0 的形式恒成立,故这两个因式都等于 0. ,

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8. (5 分) (2015 春?宝安区期末)一只蚂蚁在三边长分别为 3、4、5 的三角形的 边上爬行, 某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的概率为 ( A. B. C. D. )

【分析】根据题意,做出三角形的图形,可设为△ABC,易得可得其周长,再在 其三边上找到距离定点距离为 1 的 6 个点,即 AD=AI=BE=BF=CG=CH=1,进而图 分析可得,距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的部分为线段 DE、FG、HI 上, 易得其长度,由几何概型公式计算可得答案. 【解答】 解: 根据题意, 如图△ABC 中, AB=3, BC=4, AC=5, AD=AI=BE=BF=CG=CH=1, 则△ABC 的周长为 12, 由图分析可得,距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的部分为线段 DE、FG、 HI 上, 即其长度为 12﹣6×1=6; 则蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的概率 故选 D. = ;

【点评】 本题考查几何概型的计算, 解题时要特别注意蚂蚁在三角形的边上爬行, 而不是在三角形内部爬行.

9. (5 分) (2015 春?宝安区期末)在坐标平面内,与点 A(1,1)距离为 1,且 与点 B(4,1)距离为 2 的直线共有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 【分析】问题转化为两圆的公切线条数,判断圆的位置关系可得. 【解答】解:在坐标平面内,与点 A(1,1)距离为 1 的直线为圆(x﹣1)2+(y ﹣1)2=1 的切线, 同理可得在坐标平面内,与点 B(4,1)距离为 2 的直线为圆(x﹣4)2+(y﹣1)
2



=4 的切线,
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故所求直线为两圆的公切线, ∵|AB|= =3=1+2,

∴两圆外切,公切线由 3 条, 故选:C. 【点评】本题考查点到直线的距离,转化为两圆的公切线是解决问题的关键,属 基础题.

10. (5 分) (2015 春?宝安区期末)函数 f(x)=(x﹣2014) (x+2015)的图象 与 x 轴,y 轴有三个交点,有一个圆恰经过这三个点,则此圆与坐标轴的另一个 交点是( ) ) D. (0, )

A. (0,﹣1) B. (0,1) C. (0,

【分析】先求出 f(x)的图象与 x 轴的交点 M、N 的坐标,f(x)的图象与 y 轴 的交点 P 的坐标, 再利用圆的弦的性质求得此圆与坐标轴的另一个交点 R 的坐标. 【解答】解:函数 f(x)=(x﹣2014) (x+2015)的图象与 x 轴的交点 分别为 M(﹣2015,0) 、N(2014,0) , f(x)的图象与 y 轴的交点 P(0,﹣2014×2015) , 故圆心的横坐标为 =﹣ .

设圆心 C(﹣ ,b) ,由 CN=CP 可得, +b2= +(b+2014×2015)2, 求得 b= ﹣1007×2015,即圆心 C(﹣ , ﹣1007×2015 ) . 设此圆与坐标轴的另一个交点是为 R (0, m) , 则根据圆的弦的性质可得 ﹣1007 ×2015= 故选:B. ,求得 m=1,

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【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质,圆的弦的性质,体现了数形结合以 及转化的数学思想,属于中档题.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 11. (5 分) (2015 春?宝安区期末)在 200 件产品中,192 有件一级品,8 件二级 品,则下列事件: ①在这 200 件产品中任意选出 9 件,全部是一级品; ②在这 200 件产品中任意选出 9 件,全部是二级品; ③在这 200 件产品中任意选出 9 件,不全是一级品; ④在这 200 件产品中任意选出 9 件,其中不是一级品的件数小于 100,其中随机 事件是 ①③ .

【分析】根据随机事件的定义,对各个选项作出判断. 【解答】解:由于在 200 件产品中,192 有件一级品,8 件二级品, 则①“在这 200 件产品中任意选出 9 件,全部是一级品”,这件事可能发生,也可 能不发生,故是随机事件. ②“在这 200 件产品中任意选出 9 件,全部是二级品”,这件事根本不可能发生, 故是不可能事件. ③“在这 200 件产品中任意选出 9 件,不全是一级品”,这件事可能发生,也可能 不发生,故是随机事件. ④“在这 200 件产品中任意选出 9 件,其中不是一级品的件数小于 100”,是一定 要发生的事件,故是必然事件 故答案为:①③.
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【点评】本题主要考查随机事件、必然事件、不可能事件的定义,属于基础题

12. (5 分) (2015 春?宝安区期末)如图给出的是计算 + + +…+ 流程图,其中判断框内应填入的条件是 “i≥11”或“i>10”

的值的一个

【分析】由本程序的功能是计算 + + +…+

的值,由 S=S+

,故我们知道最

后一次进行循环时的条件为 i=10,当 i≥11 应退出循环输出 S 的值,由此不难得 到判断框中的条件. 【解答】解:∵S= + + +…+ 并由流程图中 S=S+ 故循环的初值为 1 终值为 10、步长为 1 故经过 10 次循环才能算出 S= + + +…+ 故 i≤10,应不满足条件,继续循环 ∴当 i≥11,应满足条件,退出循环 填入“i≥11”或“i>10”. 故答案为:“i≥11”或“i>10”. 【点评】 本题考查解决程序框图中的循环结构时, 常采用写出前几次循环的结果,
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的值,

从中找出规律,属于基础题.

13. (5 分) (2010?天河区校级模拟)若连续掷两次骰子,第一次掷得的点数为 m,第二次掷得的点数为 n,则点 P(m,n)落在圆 x2+y2=16 内的概率是 .

【分析】根据题意,分析可得 m、n 都有 6 种情况,由分步计数原理可得点 P 的 情况数目,进而列举 P(m,n)落在圆 x2+y2=16 内,即 m2+n2<16 的情况,可 得其情况数目,由等可能事件的概率公式,计算可得答案. 【解答】 解: 由题意以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、 n 作为点 P 的坐标 (m, n) , 分析可得,m、n 都有 6 种情况,则点 P 共有 6×6=36 种情况; 点 P(m,n)落在圆 x2+y2=16 内,即 m2+n2<16 的情况有(1,1) , (1,2) , (1, 3) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,1) , (3,2) ,共 8 种; 则点 P 落在圆内的概率 P= 故答案为 . 【点评】 本题考查等可能事件的概率的计算,解题的关键是计算出所有的基本事 件的个数以及所研究的事件所包含的基本事件总数. = ;

14. (5 分) (2015 春?宝安区期末)将一张坐标纸折叠一次,使点(0,2)与点 (4,0)重合,且点(9,5)与点(m,n)重合,则 m+n 的值是 10 .

【分析】根据坐标纸折叠后(0,2)与(4,0)重合得到两点关于折痕对称,利 用中点坐标公式求出(0,2)和(4,0)的中点,再求出两点确定的直线方程的 斜率, 根据两直线垂直时斜率的关系求出中垂线的斜率,根据求出的中点坐标和 斜率写出折痕的直线方程,根据(9,5)和(m,n)也关于该直线对称,利用 中点坐标公式求出中点代入直线方程及求出(9,5)和(m,n)确定的直线斜 率,利用两直线垂直时斜率的关系列出关于 m 与 n 的两个方程,联立求出 m 与 n 的值,即可得到 m+n 的值. 【解答】解:点(0,2)与点(4,0)关于折痕对称,两点的中点坐标为(2,1) , 两点确定直线的斜率为 =﹣ ,
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则折痕所在直线的斜率为 2,所以折痕所在直线的方程为:y﹣1=2(x﹣2) , 由点(0,2)与点(4,0)关于 y﹣1=2(x﹣2)对称, 得到点(9,5)与点(m,n)也关于 y﹣1=2(x﹣2)对称, 则 ,得 n=9,m=1,

所以 m+n=10. 故答案为:10. 【点评】 此题考查学生灵活运用中点坐标公式及两直线垂直时斜率的关系化简求 值,会求线段垂直平分线的直线方程,是一道中档题.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程和 演算步骤. 15. (12 分) (2010?云南模拟)求经过直线 l1:2x+3y﹣5=0,l2:3x﹣2y﹣3=0 的 交点且平行于直线 2x+y﹣3=0 的直线方程. 【分析】先求出直线 l1 与 l2 的交点坐标,设出所求的直线方程 2x+y+c=0,把交 点坐标代入求出 c,进而得到所求的直线方程. 【解答】解:由 ,得 ,

∴直线 l1 与 l2 的交点坐标(



) ,

再设平行于直线 2x+y﹣3=0 的直线方程为:2x+y+c=0, 把( 得 , )代入所求的直线方程, ,故所求的直线方程为: .

【点评】本题考查求两条直线的交点的方法,以及由平行直线系方程,利用待定 系数法求直线的方程的方法.

16. (12 分) (2015 春?宝安区期末)如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布表和频率分布直方图如下,
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回答下列问题: 分组 [39.5,49.5) [49.5,59.5) [59.5,69.5) [69.5,79.5) [79.5,89.5) [89.5,99.5] 人数 a 9 b 18 15 3 频率 0.10 x 0.15 0.30 y 0.05

(1)分别求出 a,b,x,y 的值,并补全频率分布直方图; (2)估计这次环保知识竞赛平均分; (3)若从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访,抽到的学生成绩 及格的概率有多大?

【分析】 (1)根据频率分布表求出出 a,b,x,y,再作出频率分布直方图; (2)用组中值估计平均分即可; (3)先求出本次竞赛及格率,用样本估计总体,每个人被抽到的概率相同,故 可以求出抽到的学生成绩及格的概率. 【解答】解: (1)a=60×0.1=6,b=60×0.15=9,x= 频率分布直方图如图所示: (2)用组中值估计平均分:44.5×0.1+54.5×0.15+64.5×0.15+74.5×0.3+84.5× 0.25+94.5×0.05=70.5; (3)本次竞赛及格率为:0.015×10+0.025×10+0.03×10+0.005×10=0.75,用样 本估计总体,每个人被抽到的概率相同, ∴从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访, 抽到的学生成绩及格的 概率为 0.75.
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=0.15,y=

=0.25;

【点评】 本题考查了频率分布表与频率分布直方图以及样本估计总体,考查了学 生的运算能力与作图能力,属于基础题.

17. (14 分) (2014?芙蓉区校级模拟)袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各 1 个,从中任取 1 只,有放回地抽取 3 次. 求: (1)3 只全是红球的概率; (2)3 只颜色全相同的概率; (3)3 只颜色不全相同的概率. 【分析】 (1)由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率,从袋中摸球, 摸到红球的概率是 ,三次有放回到摸球可以看做是三次独立重复试验,根据概 率公式得到结果. (2)三只颜色全相同,则可能抽到红色和黄色两种情况,这两种情况是互斥的, 根据做出的每个球被抽到的概率和相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的 概率,得到结果. (3)根据二问做出的结果,三只颜色不全相同,是三只颜色全部相同的对立事 件,用对立事件的概率得到结果,或者是用树状图列出的结果求出比值. 【解答】解: (1)由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率, 从袋中摸球,摸到红球的概率是 , 三次有放回到摸球可以看做是三次独立重复试验, ∴P= (2)利用树状图我们可以列出有放回地抽取 3 次球的所有可能结果:

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3 只颜色全相同的概率为 P2=2× =2? = . (3)3 只颜色不全相同的概率为 (或 )

答:全部摸到红球的概率是 ,3 只颜色全相同的概率是 ,3 只颜色不全相同 的概率是 【点评】本题考查等可能事件的概率,相互独立事件同时发生的概率,本题解题 的关键是看清条件中所给的是有放回的抽样, 注意区别有放回和无放回两种不同 的情况,本题是一个中档题目.

18. (14 分) (2015 春?宝安区期末)一个圆锥的底面半径为 2cm,高为 4cm,其 中有一个高为 xcm 的内接圆柱: (1)求圆锥的侧面积; (2)当 x 为何值时,圆柱侧面积最大?并求出最大值.

【分析】 (1)由题意,求出圆锥的母线长,即可求圆锥的侧面积; (2)根据轴截面和比例关系列出方程,求出圆柱的底面半径,表示出圆柱的侧 面积,根据二次函数的性质求出侧面面积的最大值. 【解答】解: (1)圆锥的母线长 ∴圆锥侧面积 S1=πRl=4 cm2; (6 分) ,∴x=4﹣2r(8 分)

(2)设内接圆柱的底面半径为 r,由图形特征知,

圆柱侧面积 S=2πrx=2r(4﹣2r)π=(﹣4r2+8r)π=﹣4(r﹣1)2π+4π(cm2)
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∴r=1,即 x=2 时,圆柱的侧面积最大,最大为 4πcm2. (14 分) 【点评】 本题的考点是棱柱、 棱锥、 棱台的侧面积和表面积, 关键是利用轴截面, 求出长度之间的关系式, 表示出面积后利用函数的思想求出最值,考查了数形结 合思想和函数思想.

19. (14 分) (2013?怀化二模)如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的 中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= (Ⅰ)求证:AO⊥平面 BCD; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦; (Ⅲ)求点 E 到平面 ACD 的距离. .

【分析】 (I)连接 OC,由 BO=DO,AB=AD,知 AO⊥BD,由 BO=DO,BC=CD,知 CO⊥BD.在△AOC 中,由题设知 能够证明 AO⊥平面 BCD. (II)取 AC 的中点 M,连接 OM、ME、OE,由 E 为 BC 的中点,知 ME∥AB,OE ∥DC,故直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角.在△OME 中, 弦. ( III )设点 E 到平面 ACD 的距离为 h .在△ ACD 中, = ,由 AO=1,知 ,故 ,由 ,由此能求出异面直线 AB 与 CD 所成角大小的余 ,AC=2,故 AO2+CO2=AC2,由此

此能求出点 E 到平面 ACD 的距离. 【解答】 (I)证明:连接 OC,∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD, ∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD.
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在△AOC 中,由题设知 ∴AO2+CO2=AC2, ∴∠AOC=90°,即 AO⊥OC. ∵AO⊥BD,BD∩OC=O, ∴AO⊥平面 BCD.

,AC=2,

(II)解:取 AC 的中点 M,连接 OM、ME、OE,由 E 为 BC 的中点, 知 ME∥AB,OE∥DC, ∴直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角. 在△OME 中, ,…(6 分) ,…(7 分)

∵OM 是直角△AOC 斜边 AC 上的中线,∴ ∴ ,

∴异面直线 AB 与 CD 所成角大小的余弦为 (III)解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h. …(9 分)

…(8 分)

在△ACD 中, ∴ ∵AO=1,

, = , ,



=

=



∴点 E 到平面 ACD 的距离为



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【点评】 本题考查点、 线、 面间的距离的计算, 考查空间想象力和等价转化能力, 解题时要认真审题,仔细解答,注意化立体几何问题为平面几何问题.

20. (14 分) (1997?全国)设圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两 段圆弧,其弧长的比为 3:1,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线 l: x﹣2y=0 的距离最小的圆的方程. 【分析】圆被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3:1,劣弧所对的圆心角为 90°, 设圆的圆心为 P(a,b) ,圆 P 截 X 轴所得的弦长为 ,

截 y 轴所得弦长为 2;可得圆心轨迹方程,圆心到直线 l:x﹣2y=0 的距离最小, 利用基本不等式,求得圆的方程. 【解答】解法一:设圆的圆心为 P(a,b) ,半径为 r,则点 P 到 x 轴,y 轴的距 离分别为|b|,|a|. 由题设知圆 P 截 x 轴所得劣弧对的圆心角为 90°, 知圆 P 截 X 轴所得的弦长为 故 r2=2b2, 又圆 P 截 y 轴所得的弦长为 2,所以有 r2=a2+1. 从而得 2b2﹣a2=1. 又点 P(a,b)到直线 x﹣2y=0 的距离为 所以 5d2=|a﹣2b|2 =a2+4b2﹣4ab ≥a2+4b2﹣2(a2+b2) =2b2﹣a2=1, 当且仅当 a=b 时上式等号成立,此时 5d2=1,从而 d 取得最小值. , ,

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由此有 解此方程组得 由于 r2=2b2 知 或 .

于是,所求圆的方程是 (x﹣1)2+(y﹣1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2. 解法二:同解法一,得 ∴ 得 ① ②

将 a2=2b2﹣1 代入①式,整理得

把它看作 b 的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即 △=8(5d2﹣1)≥0, 得 5d2≥1. ∴5d2 有最小值 1,从而 d 有最小值 .

将其代入②式得 2b2±4b+2=0.解得 b=±1. 将 b=±1 代入 r2=2b2,得 r2=2.由 r2=a2+1 得 a=±1. 综上 a=±1,b=±1,r2=2. 由|a﹣2b|=1 知 a,b 同号. 于是,所求圆的方程是 (x﹣1)2+(y﹣1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2. 【点评】本小题主要考查轨迹的思想,求最小值的方法,考查综合运用知识建立 曲线方程的能力.易错的地方, P 到 x 轴,y 轴的距离,不能正确利用基本不等式.

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参与本试卷答题和审题的老师有: caoqz; sllwyn; 742048; 豫汝王世崇; ywg2058; 刘长柏;danbo7801;lincy;whgcn;w3239003;xintrl;zlzhan;qiss(排名不分 先后) 菁优网 2017 年 6 月 24 日

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