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9解析几何-2016-2018年历年数学联赛真题WORD版分类汇编含详细答案

2016 年~2018 年全国高中数学联赛一试试题分类汇编 9、解析几何部分 2018A 4、 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C : x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左右焦点分别是 F1 , F2 , a2 b2 椭圆 C 的弦 ST 与 UV 分别平行于 x 轴和 y 轴,且相交于点 P ,已知线段 PU , PS , PV , PT 的长分 别为1,2,3,6 ,则 ?PF1 F2 的面积为 ◆答案: 15 ★解析: 由对称性, 不妨设点 P ?x0 , y 0 ? 在第一象限, 则 x0 ? PT ? PS 2 ? 2 ,y 0 ? 2 PV ? PU 2 2 ?1 即 P?2,1? 。 进 而 可 得 U ?2,2? , S ?4,1? , 代 入 椭 圆 方 程 解 得 : a ? 20 , b ? 5 , 从 而 S ?PF1F2 ? 1 1 F1 F2 ? y0 ? ? 2 15 ? 1 ? 15 。 2 2 2 2018B 6、设抛物线 C : y ? 2 x 的准线与 x 轴交于点 A ,过点 B(?1,0) 作一直线 l 与抛物线 C 相切 于点 K ,过点 A 作 l 的平行线,与抛物线 C 交于点 M , N ,则 ?KMN 的面积为为 ◆答案: 1 2 1 1 1 y ? 1 , MN : x ? y ? 分别联立抛物线方程得到: k k 2 ★解析:设直线 l 与 MN 的斜率为 k , l : x ? y2 ? 2 2 2 ,和 y ? y ? 1 ? 0 ( ? ? ) y ? 2 ? 0 (?) k k 4 2 y ? y ? 对( ? )由 ? ? 0 得 k ? ? ;对( ? ? )得 M N k2 2 1 1 所以 S ?KMN ? S ?BMN ? S ?BAM ? S ?KBAN ? ? AB ? y M ? y N ? 2 2 2017A 3、在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的方程为 ?4 ? 2 x2 y2 ? ? 1 , F 是 C 的焦点, A 为 C 的右 9 10 顶点, P 是 C 上位于第一象限内的动点,则四边形 OAPF 的面积最大值为 ◆答案: 3 11 2 ★解析:由题意得 A?3,0? , F ?0,1? ,设 P 点的坐标为 3 cos ? , 10 sin ? ,其中? ? ? 0, ? ? ? ?? ? ,则 ? 2? S OAPF ? S ?OAP ? S ?OFP ? 3 11 。 2 1 1 3 11 ? 3 ? 10 sin ? ? ? 3 ? cos ? ? sin ?? ? ? ? , 可 得 面 积最 大 值为 2 2 2 2017B 7、设 a 为非零实数,在平面直角坐标系 xOy 中,二次曲线 x ? ay ? a ? 0 的焦距为 4 , 2 2 2 则实数 a 的值为 ◆答案: . 1 ? 17 2 x2 y 2 ★解析:二次曲线方程可写成 ? 2 ? ? 1 ,显然必须 ?a ? 0 ,故二次曲线为双曲线,其标准方程 a a 为 y2 x2 ? ? 1 ,则 c2 ? ( ?a )2 ? (?a)2 ? a 2 ? a ,注意到焦距 2c ? 4 ,可知 a 2 ? a ? 4 , 2 2 ( ? a ) ( ?a ) 1 ? 17 . 2 又 a ? 0 ,所以 a ? 2018A 11、 (本题满分 20 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设 AB 是抛物线 y ? 4 x 的过点 F (1,0) 的 2 弦, ?AOB 的外接圆交抛物线于点 P (不同于点 O, A, B ) .若 PF 平分 ?APB ,求 PF 的所有可 能值。 2 2 ? y3 ? ? y12 ? ? y2 ? ★解析:设 A? ? 4 , y1 ? ? , B? ? 4 , y2 ? ? , A? ? 4 , y3 ? ? ,由已知条件知 y1 , y2 , y3 两两不等且不为 0. ? ? ? ? ? ? 设直线 AB 的方程为 x ? ty ? 1 ,由 ? ? x ? ty ? 1 2 得 y ? 4ty ? 4 ? 0 ,知 y1 y2 ? ?4 , y1 ? y2 ? 4t 。① 2 ? y ? 4x 设外接圆的方程为 x ? y ? dx ? ey ? 0 ,由 ? 2 2 ? x 2 ? y 2 ? dx ? ey ? 0 ? y ? 4x 2 得 1 4 ? d? 2 y ? ?1 ? ? y ? ey ? 0 , 16 ? 4? 知该四次方程的根即为 0, y1 , y2 , y3 ,由根与系数关系得 0 ? y1 ? y2 ? y3 ? 0 ,即 y1 ? y2 ? ? y3 ,② 又 PF 平分 ?APB ,由角平分线定理得 PA PB ? FA FB ? y1 y2 ,结合①② 所以 y1 y2 2 2 2 ? y3 y12 ? 2 ? ? ? ? ? y3 ? y1 ? 2 ? ? PA 4 ? ? y1 ? y2 ?2 ? y12 ? 16?2 y1 ? y2 ?2 ? 4 ? ? ? 2 2 2 2 ? y1 ? y2 ?2 ? y22 ? 16?2 y2 ? y1 ?2 PB ? y3 ? y2 2 ? ? 4 ? 4 ? ? ? ? y3 ? y2 ? ? ? 2 ? ? ? ? ?y ? ?y 2 2 2 ? 8 ? 16 4 y12 ? y2 ? 16 2 2 2 2 1 ? ? 8? 2 2 ? ? 16?4 y 2 2 ?? y ? y1 ? 16? y 2 6 4 2 4 1 ? 64 y12 ? 192 2 ? 64 y2 ? 192 2 2 即 y1 ? 64 y1 y2 ? 192 y1 ? y2 ? 64 y1

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