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6.1(2)正弦函数和余弦函数的图像与性质


(二期课改)

*1.正弦函数和余弦函数的定义 :
y

P
sinx

x
o

cosx

M

x

* 正弦函数 : y = sinx , x ∈ R ,y ∈ ?- 1, ?); ( 1 * 余弦函数 : y = cosx , x ∈ R ,y ∈ ?- 1, ?); ( 1

*2.正弦函数 y = sinx(x∈R)的图像 . Y


y ? sinx ,x ? R .
3π 2

?

π 2

1



X

- 2π

?

3π 2

O
-1

π 2

π

T ? 2π

T ? 2π

*3.余弦函数 y = cosx(x∈R)的图像 .
Y


y ? cosx ,x ? R .
3π 2

?

π 2

1



X

- 2π

?

3π 2

O
-1

π 2

π

T ? 2π

*1.正弦函数的最值问题 ----〔最大(小)值 : 由正弦函数的定义结合单位圆模型,容易得出 〕 :
? ? π * 当 x ? ? x x ? 2k π ? ,k ? Z ?时 : 2 ? ?
y

P
sinx

有 y max ? 1;
? ? 3π * 当 x ? ? x x ? 2k π ? ,k ? Z ?时 : 2 ? ?

x
o

cosx

M

x

有 y min ? ? 1 .

*知识拓展 课文(P86)练习: : 2;

*2.余弦函数的最值问题 ----〔最大(小)值 : 〕
* 当 x ? ?x x ? 2k π ,k ? Z ? 时 :

y

P

有 y max ? 1;
* 当 x ? ?x x ? 2k π ? π ,k ? Z ? 时 :
x
o

sinx
cosx

M

x

*注意 : ----结合单位圆中三角线或函数图像,牢记最简正弦和余 弦函数的最大(小)值及其相应的x的集合.

有 y min ? ? 1 .

*3.探求正弦(余弦)函数的最大(小)值及其相应的x的集合 : *例题 1: 求函数 y
? ? 2sin ( 3x ? π 3 )取得最大值与最小值的x的

集合;并求出其最大值和最小值. *总结解法 可利用数学代换的思想,设 3x ? π ? t ,然后结合 : 3 最简正弦函数的最值,得出所求函数的最大(小)值及 其相应的x的集合. *课堂训练: 课文(P86)练习: ,3; 1(1)(2)(3)*

*例题2:求下列函数的最大(小)值及相应x的集合 .
( 1).y = 2sin x + 3; (3).y = sinx sinx + 2
2

(2).y = 3 - 4sinx - cos x;
2

2

; (4).y = 2 3 sinxcosx - 2sin x .

*解法总结 用三角公式对函数进行恒等变换,使之化为易于 : 求得最值的简单函数形式,这是解题的主要手段.
*题(2)即是用“平方关系”化“异名为同名三角 比”; *题(4)即是用“倍角公式”和“辅助角公式”化 *强调 : “多个 为一个三角比”. 把三角函数式转化为一般式的必要性---在研究 三角函数的最值,周期,单调性和图像时都十分方便.

*例题
3: 条

如图,矩形ABCD四个顶点分别在矩形A′B′C′D′的四

边上,AB=a,BC=b,如果AB与A′B′的夹角为α.那么当α为 何值时,矩形A′B′C′D′的周长最大?
A′

*解法探究 :

A

D D′

α a 由已知求得所求矩形的边 长,而后就可得出其周长的函 ′ B 数关系式,求最值的具体方法 B 同上例.

b
C C′

*课堂练习: 课本(P86)练习: 4.

*略解 :
D

若设∠BOC=θ,则( 0 < θ < ).
2
? AB = 2BO = 2r ? cos θ , ? BC = r ? sin θ ,

π

C

r
θ
A

O

B

? S ABCD = 2r ? sin θ ? cos θ ,
2

= r ? sin2 θ .
2

? ?S ABCD

?max

=r ,θ= (

2

π 4

).

**(1)注意结合正(余)弦函数的图像,数形相结合加以理解 和牢记 最简的正(余)弦函数的最值 以及 取得最大 (小)值时相应的 x 的集合 是解决上述问题的前提;

**(2)在具体应用时还应注意:利用三角公式对三角函数进

行正确合理的恒等变换,使三角函数的解析式转化为
最简单的形式,这也将是我们在以后研究三角函数的 具体性质 (最值,周期,单调性和图像) 等问题时变的

有章可循,比较方便.

*课本(P35)练习6.1(A): 3,4,5,6,7;

*课本(P35)练习6.1(B): 3,4;

*请同学自觉预习新课文*


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