当前位置:首页 >> 数学 >>

江西省南昌三中高三数学第三次模拟考试试题 文 新人教A版_图文

南昌三中 2014 届高三第三次模拟考试数学(文)试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.若复数

a?i 是纯虚数,其中 i 是虚数单位,则实数 a 的值为 1 ? 2i 1 2 1 A. ? B. ? C. D. 2 5 5 2
x





2.设全集 U ? R ,集合 A ? {x || x ? 1|? 1}, B ? {x | y ? 2 , y ? 1}, 则 A A. ? B. {0} C. {x | 0 ? x ? 2}

(CU B ) = (



D. {x | x ? 2}

3.已知数据 ( x1 , y1 )、 ( x2 , y2 )

( x10 , y10 ) 得到它们的线性回归方程 y ? bx ? a ,则“ ( x0 , y0 ) 满足线性回归方程

x1 ? x2 ? ? x10 y ? y ? y10 ”的( ) , y0 ? 1 2 10 10 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ) A.32 B.16 C.24 D.48 5. 下列命题正确的个数是 ( )
y ? bx ? a ”是“ x0 ?
2 ①命题“ ?x0 ? R, x0 ? 1 ? 3x0 ”的否定是“ ?x ? R, x 2 ? 1 ? 3 x ”;

②函数 f ( x) ? cos 2 ax ? sin 2 ax 的最小正周期为 ? ”是“ a ? 1 ”的 分条件; ③ x 2 ? 2 x ? ax 在 x ? ?1, 2? 上恒成立 ? ( x ? 2 x) min ? (ax) max 在 x ? ?1, 2? 上恒成立;
2

必要不充

④“平面向量 a 与 b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“ a ? b ? 0 ”. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

6.若函数 y ? sin(? x ? ( ) A.-1

?
3

) 的图象向右平移
C.1

?
6

个单位后与函数 y ? cos ? x 的图象重合,则 ? 的值可能是

B.-2

D.2

7.若 b ? a ? 3, f ( x) ?

ln x ,则下列各结论中正确的是( ) x a?b a?b A. f (a ) ? f ( ab ) ? f ( B. f ( ab ) ? f ( ) ) ? f (b) 2 2 a?b a?b C. f ( ab ) ? f ( D. f (b) ? f ( ) ? f (a) ) ? f ( ab ) 2 2

8.存在直线 x ? ? m 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 相交于 A、B、C、D 四点,若四边形 ABCD 为正方 a 2 b2


形,则双曲线离心率的取值范围为.(

A. ( 2, ??) A. ? 2

B. ( 3, ??)

C. (1, 2) C. 3 ? 2 2

D. (1, 3) ) D. 2 2 ? 3

9.已知⊙O 的半径为 1,PA、PB 为其两条切线,A、B 为两切点,则 PA ? PB 的最小值为 ( B. 2

10. △ADP 为正三角形,四边形 ABCD 为正方形平面 PAD⊥平面 ABCD.点 M 为平面 ABCD 内的一个动点,且满 足 MP=MC.则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为 ( )

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 11.等差数列 ?a n ? 中, a 4 ? a10 ? a16 ? 30, 则a18 ? 2a14 的值为 12.如图所示的流程图,输出 y 的值为 3,则输入 x 的为 . Y 。 开始 输入 x x>0 N

1 3 13.在区间[0,1]上任意取两个实数 a,b,则函数 f(x)= x +ax-b 2 在区间[-1,1]上有且仅有一个零点的概率为________. 14.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) ,过其焦点且斜率为-1 的直线交抛
2

物线于 A、B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为-2,则该抛物线的准 线方程为_________. 2 15 若不等式|x-a|-|x|<2-a 对 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围 是 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤. 16 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 函 数

y←2x+1

y←2x+1

输出 y 结束

f ? x ? ? 2 sin x cos 2
(1)求 ? 的值;

?
2

? cos x sin ? ? sin x , (0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

(2)在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,已知 a ? 1 , b ?

2 , f ( B) ? ?

2 , 2



2 sin(3C ? ? ) ? sin(C ? ? ) 的值. cos(C ? ? )

17. (本小题满分 12 分)数列 {an } 的前 n 项和记为 S n , a1 ? t , an ?1 ? 2 S n ? 1(n ? N ? ) . (1)当 t 为何值时,数列 {an } 是等比数列; (2)在(1)的条件下,若等差数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 有最大值,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1 、 a2 ? b2 、 a3 ? b3

成等比数列,求 Tn .

18.本题满分 12 分) 从一批草莓中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) 频数(个)

[80,85)
10

[85,90)
50

[90,95)
20

[95,100)
15

(Ⅰ) 根据频数分布表计算草莓的重量在 [90,95) 的频率; (Ⅱ) 用分层抽样的方法从重量在 [80,85) 和 [95,100) 的草莓中共抽取 5 个,其中重量在 [80,85) 的 有几个? (Ⅲ) 在(Ⅱ)中抽出的 5 个草莓中,任取 2 个,求重量在 [80,85) 和 [95,100) 中各有 1 个的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,其中 PA ? PD ? AD ? 2 , ?BAD ? 60? , Q 为 AD 的中点. (1)求证: AD ? 平面PQB ; (2)若平面 PAD ? 平面 ABCD, 且 PM ? 1 2 PC ,求四棱锥 M ? ABCD 的体积.

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F2 (3 , 0) ,离心率为 e . a 2 b2
3 ,求椭圆的方程; 2
81 的值. a ? 18a 2
4

(Ⅰ)若 e ?

(Ⅱ)设直线 y ? kx (k ? 0) 与椭圆相交于 A ,B 两点,若 AF2 ? BF2 ? 0 ,求 k 2 ?

21. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x ? m ln x , h( x) ? x ? x ? a .
2 2

(1)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线为 y ? x ,求实数 m 的值; (2)当 m ? 2 时,若方程 f ( x) ? h( x) ? 0 在 ?1,3? 上恰好有两个不同的实数解,求实数 a 的取值范围; (3) 是否存在实数 m , 使函数 f ( x) 和函数 h( x) 在公共定义域上具有相同的单调性?若存在, 求出 m 的值,若不存在,说明理由.

南昌三中 2013—2014 学年度高三第三次模拟测试卷 数学(文)答案

?

2 sin[60 0 ? (15 0 ? ? )] ? sin(15 0 ? ? ) 2 sin 60 0 ? cos(15 0 ? ? ) ? ? 3 …12 分 cos(15 0 ? ? ) cos(15 0 ? ? )

17. (Ⅰ) 由 a n ?1 ? 2 S n ? 1 , 可得 an ? 2 S n ?1 ? 1(n ? 2) , 两式相减得 a n ?1 ? a n ? 2 a n , 即 a n ?1 ? 3a n ( n ? 2) 3分 ∴当 n ? 2 时,{a n } 是等比数列 要使 n ? 1 时,{a n } 是等比数列,则只需 分 (Ⅱ)设 {bn } 的公差为 d ,由 T3 ? 15 得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,于是 b2 ? 5 故 可 设 7分

a 2 2t ? 1 ? ? 3 ,从而 t ? 1 6 a1 t

b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d

, 又

a1 ? 1 , a 2 ? 3 , a3 ? 9 , 由 题 意 可 得

(5 ? d ? 1)(5 ? d ? 9) ? (5 ? 3) 2

解得 d1 ? 2 , d 2 ? ?10 ∵等差数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 有最大值,∴ d ? 0 , d ? ?10 ∴ Tn ? 15n ?

9分 10 分

n( n ? 1) 12 分 ? ( ?10) ? 20n ? 5n 2 . 2 20 18.解: (Ⅰ)重量在 ?90,95 ? 的频率 ? ? 0.4 ; ………2 分 50 (Ⅱ) 若采用分层抽样的方法从重量在 ?80,85 ? 和 ?95,100 ? 的草莓中共抽取 5 个,则重量在 ?80,85 ? 的

10 ? 5 ? 2 ; ……5 分 10 ? 15 (Ⅲ)设在 ?80,85 ? 中抽取的 2 个草莓为 x ,y,在 ?95,100 ? 中抽取的三个草莓分别为 a, b, c ,从抽出的 5 个草
个数 ? 莓中,任取 2 个共有 ( x, a ), ( x, b), ( x, c), (a, b), (a, c), (b, c), ( y, a ), ( y, b), ( y, c), ( x, y ) , 10 种情况, ……8 分 其中符合“重量在 ?80,85 ? 和 ?95,100 ? 中各有一个”的情况共有 ( x, a ), ( x, b), ( x, c), ( y, a ), ( y, b), ( y, c) 6 种; …10 分 设“抽出的 5 个草莓中,任取 2 个,求重量在 ?80,85 ? 和 ?95,100 ? 中各有一个”为事件 A ,则事件 A 的概率

6 3 ? ; ……12 分 10 5 19. 【解析】 (1) PA ? PD , Q 为中点,? AD ? PQ 又 ?BAD ? 60? ,底面 ABCD 为菱形, Q 为中点 ? AD ? BQ 所以 AD ? 平面 PQB . (2)连接 QC ,作 MH ? QC 于 H . PA ? PD ? AD ? 2 , Q 为 AD 的中点 ? PQ ? AD 又 平面 PAD ? 平面 ABCD, ? PQ ? 平面ABCD ? PQ ? QC 又 MH ? QC ,? PQ MH .于是 MH ? 平面ABCD , P( A) ?
又 PM ? 1 , ?2 ? 2 PC ,? MH ? PQ ? ? 2 2 2 2 所以, M ? ABCD ?

1

1

3

3

1 3 1 1 ?1 ? AC ? BD ? MH ? ? 2 ? 2 3 ? 6 2 3 2

?c ? 3 ? 20.解析: (Ⅰ)由题意得 ? c 3 ,所以 a ? 2 3 . ? ? 2 ?a
又由 a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 b 2 ? 3 . 所以椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 12 3

……5 分

? y ? kx ? (Ⅱ)由 ? x 2 y 2 得 (b 2 ? a 2 k 2 ) x 2 ? a 2b 2 ? 0 . ? 2 ? 2 ?1 b ?a

设 A( x1 ,y1 ) ,B( x2 ,y2 ) ,由根与系数的关系可知,
x1 ? x2 ? 0 ,且 x1 x2 ? ?

a 2b2 . b2 ? a 2 k 2

……7 分

又 AF2 ? (3 ? x1 , ? y1 ) ,BF2 ? (3 ? x2 , ? y2 ) . 所以 AF2 ? BF2 ? (3 ? x1 )(3 ? x2 ) ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 9 ? 0 . 即
?a 2 (a 2 ? 9)(1 ? k 2 ) ?9?0. a 2 k 2 ? (a 2 ? 9)

……10 分 ……12 分 ……13 分

a 4 ? 18a 2 ? 81 81 . ? ?1 ? 4 4 2 ?a ? 18a a ? 18a 2 81 ∴ k2 ? 4 ? ?1 . a ? 18a 2
整理得 k 2 ? 21. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x ? m ln x , h( x) ? x ? x ? a .
2 2

(1)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线为 y ? x ,求实数 m 的值; (2)当 m ? 2 时,若方程 f ( x) ? h( x) ? 0 在 ?1,3? 上恰好有两个不同的实数解,求实数 a 的取值范围; (3) 是否存在实数 m , 使函数 f ( x) 和函数 h( x) 在公共定义域上具有相同的单调性?若存在, 求出 m 的值,若不存在,说明理由.

m , ? k ? f '(1) ? 1 ,即 m ? 1 x (2) f ( x) ? h( x) ? 0 ? x 2 ? 2 ln x ? x 2 ? x ? a ? a ? x ? 2 ln x
解:(1)切点为 (1,1)

f '( x) ? 2 x ?

令 g ( x) ? x ? 2 ln x

g ( x) ? x ? 2 ln x 在 ? 2,3? 内单调递增。 又因为 g (1) ? 1, g (2) ? 2 ? 2 ln 2, g (3) ? 3 ? 2 ln 3 故 2 ? 2 ln 2 ? a ? 3 ? 2 ln 3 2 1 (3) h( x) ? x ? x ? a 在 (0, 1 2 ) 单调递减; ( 2 , ?? ) 单调递增
1 ? f ( x) ? x 2 ? m ln x 也应在 (0, 1 2 ) 单调递减; ( 2 , ?? ) 单调递增

g ' ( x) ? 1 ? 2 x ?

x ?2 得 : 函 数 2

g ( x) ? x ? 2 ln x 在 ?1, 2? 内 单 调 递 减 ; 函 数

f ' ( x) ? 2 x ? m x ?
所以当 m ? 0 且

2 x2 ? m , x
2

当 m ? 0 时, f ( x) ? x ? m ln x 在 (0, ??) 单调递增,不满足条件.
m 2

?1 2 即m ? .

1 2