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2012高考文科数学专题


专题 概率与统计

1

考点1 考点 三种抽样方法与概率分布直方图
例1 (1) (2011 湖北卷)有一个容量为200的样本,其频率分 布直方图如图所示,根据样本的频率分布直方图估计, 样本数据落在区间[10,12]内的频数为(    ) A. 18 B. 36 C. 54 D.2 72 7

2

( 2 ) (2011 山东卷)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有
150、 、 、 名学生,为了解学生的就业倾向,用分 150 400 300 层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调 查,应在丙专业抽取的学生人数为 ________ .
切入点: ) 抓住频数与频率的关系; (1 n ( 2 ) 理解分层抽样在各层抽取的比例都相同,均为 . N

3

解析 (1) 频数为200 × ?1 ? 2 ( 0.05 + 0.02 + 0.15 + 0.19 ) ? = 36. ? ? ∶ ( 2 ) 总体个数为1000,样本容量为40.所以抽样比为40 1000. 4 由400 × ,得在丙专业应抽取的学生人数为16. 在丙专业应抽取的学生人数为 100 答案:(1)B (2)16

4

1.抓住三种抽样方法的特征,有明显差异用分 层抽样,除此之外总量大用系统抽样,总量小用随 机抽样. 2.分层抽样中公式运用要准确. 样本容量 各层样本容量 = . (1) 抽样比 = 个体容量 各层个体容量 ( 2 ) 层1的数量∶层2的数量∶层3的数量 = 样本1的 容量∶样本2的容量∶样本3的容量.

5

3.对于频率分布直方图,要注意如下关系:

(1) 每个小矩形的面积 = 频率,小矩形面积之
和 = 1. 频率 每一组的频数 × 组距; ( 2 ) 每一组的频率 = 组距 样本容量 = 该组的频率;频率之和 = 1.

6

变式1(2011 浙江卷)某中学为了解学生数学课程的学习 情况,在3000名学生中随机抽取200名,并统计这200 名学生的某次数学考试成绩,得到了样本的频率分布 直方图(如图).根据频率分布直方图推测3000名学生在

600 该次数学考试中成绩小于60分的学生数是______.

7

解析 成绩小于60分的频率为 ( 0.002 + 0.006 + 0.012 ) ×10 = 0.2,所以3000 × 0.2 = 600. ,所以

8

考点2 考点 茎叶图与特征数
例2(2009 韶关二模)某赛季,甲、乙两名篮球运动员都 参加了7场比赛,他们所有比赛得分的情况用如图所示 的茎叶图表示:

(1) 求甲、乙两名运动员得分的中位数; ( 2 ) 你认为哪位运动员的成绩更稳定? ( 3) 如果从甲、乙两位运动员的7场得
分中各随机抽取一场的得分,求甲的 得分大于乙的得分的概率. (参考数据:2 + 82 + 102 + 22 + 62 + 102 + 9 92 = 466,2 + 42 + 62 + 32 + 12 + 22 + 112 = 236) 7
9

切入点: ) 将茎叶图的数据从小到大排序,位于中间 (1 比较两个特征量-----平均数与方差的大小; ) 属于 (3 古典概型,可采用列举的方法.

者为中位数;2 ) 判断哪位运动员成绩稳定,其关键是 (

解析 (1) 运动员甲得分的中位数为22,运动员乙得分的 中位数为23. 14 + 17 + 15 + 24 + 22 + 23 + 32 = 21, ( 2 )因为x甲 = 7 12 + 13 + 11 + 23 + 27 + 31 + 30 x乙 = = 21, 7
10

( 21 ? 14 ) + ( 21 ? 17 ) + ( 21 ? 15) + ( 21 ? 24 ) s = 7 ( 21 ? 22 )2 + ( 21 ? 23)2 + ( 21 ? 32 )2 236 + = 7 7 ( 21 ? 12 )2 + ( 21 ? 13)2 + ( 21 ? 11)2 + ( 21 ? 23)2 2 s乙 = 7 ( 21 ? 27 )2 + ( 21 ? 31)2 + ( 21 ? 30 )2 466 + = 7 7 2 2 所以s甲 < s乙,从而甲运动员的成绩更稳定.
2 2 2 2 甲

2

11

( 3) 从甲、乙两位运动员的7场得分中随机抽取一场的
得分的基本事件为49, 其中甲的得分大于乙的得分的情况是:甲得14分 时,有3场,甲得17分时,有3场,甲得15分时,有3场, 甲得24分时,有4场,甲得22分时,有3场,甲得23分 时,有3场,甲得32分时,有7场,共计26场. 26 从而甲的得分大于乙的得分的概率为P = . 49

12

1.茎叶图不仅能够保留原始数据,而且能 展示数据的分布情况.注意领会茎叶图反映的数 据信息. 2.平均数描述了数据的平均水平,方差描 述了一组数据围绕平均数波动的大小.一般是先 比较平均数的大小,在平均数相同的条件下,再 比较方差,方差越小,说明数据越稳定.

13

变式2(2009 佛山二模)某市在每年的春节后,市政府 都会发动公务员参与植树活动.为保证树苗的质量, 林管部门在植树前都会对树苗进行检测.现从甲、乙 两种树苗中各抽测了10株树苗的高度,得到的数据如 下(单位:cm ): 甲: 21,31, 20, 29,19,32, 23, 25,33 37, 乙: 10,30, 47, 27, 46,14, 26,10, 44, 46

(1) 根据抽测结果,完成下面的
茎叶图,并根据你填写的茎叶 图,对甲、乙两种树苗的高度 作比较,写出两个统计结论;
14

( 2 ) 设抽测的10株甲种树苗高
度的平均值为将这10株树苗 . 的高度依次输入,按程序框 图进行运算,问输出的s大小 为多少?并说明s的统计学 意义.

15

解析 (1) 茎叶图如下:

统计结论: ①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度; ②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐; ③甲种树苗的中位数为27,乙种树苗的中位数为28.5; ④甲种树苗的高度基本上是对称的,而且大多数集中 在均值附近;乙种树苗的高度分布较为分散.
16

( 2 ) x = 27,s ≈ 35.
s表示10株甲树苗高度的方差,是描述树苗高度 离散程度的量. s越小,表示长得越整齐, s越大,表示长得越参差不齐.

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考点3 考点 线性相关分析
例3 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品 种发芽量之间的关系进行分析研究,他们分别记录了12 月 日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种 1 子中的发芽数,得到如下资料: 子中的发芽数,得到如下资料:

18

该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2 组,用剩下的3组数据求线性回归方程,再对被选取的 2组数据进行检验.

(1) 求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率; ( 2 ) 若选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12
? 月2日至12月4日的数据,求出y关于x的线性回归方程y = bx + a;

( 3) 若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数
据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可 靠的,试问( 2 )中所得的线性回归方程是否可靠?
19

切入点: ) 利用互斥事件的概率求出选出的2组数据恰好 (1 是不相邻2天数据的概率.

( 2)由线性回归方程的公式,求出a、b即可. ( 3) 将12月1日与12月5日的两组数据代入所求线性回归方
程求出值,再与23,16比较,其绝对值的差小于或等于2 就可靠.

20

解析

(1) 设抽到不相邻两组数据为事件 A,因为从5组数

据中选取 2 组数据共有10种情况,每种情况都是等可能 出现的,其中抽到相邻两组数据的情况有 4 种,所以 4 3 P ( A) = 1 ? = . 10 5 ( 2 ) 选取的数据如下表:

由计算得 x = 12, y = 2 7.
21

xi2 = 112 + 132 + 122 = 434, ∑
i =1 3

3

∑x y
i =1 i

i

= 11× 25 + 13 × 30 + 12 × 26 = 977,

所以b =

∑ x y ? 3x y
i =1 3 i i

3

∑x
i =1

2 i

? 3x

2

977 ? 3 ×12 × 27 5 = = , 2 434 ? 3 ×12 2

a = y ? bx = ?3. 5 ? 所以y关于x的线性回归方程为y = x ? 3. 2
22

( 3)当x = 10时,
5 ? y = × 10 ? 3 = 22, ? 23 < 2; 22 2 同样,当x = 8时, 5 ? 17 y = × 8 ? 3 = 17, ? 16 < 2. 2 所以,2 )中所得到的线性回归方程是可靠的. (

23

本题考查学生的实际应用能力和运算能力. 求回归直线方程的关键是求线性回归系数,可 由下面步骤求解,即分别求得 x, ∑ xi2, xi yi, y, ∑
i =1 i =1 3 3

再代入公式求出a,b.

24

变式3 一般来说,一个人脚越长,他的身高就越高.现 对10名成年人的脚长x与身高y进行测量,得如下数据(单 位:cm):

作出散点图后,发现散点在一条直线附近,经计算得到 一些数据:

25

x = 24.5,y = 171.5, ( xi ? x )( yi ? y ) = 557.5, ∑
i =1

10

( xi ? x ) 2 = 82.5. ∑
i =1

10

刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印,量得每 个脚印长是26.5 cm,请你估计案发嫌疑人的身高

185.0152 为______________cm.

26

解析
10

用最小二乘法求得线性回归方程系数
i i

b=

∑ ( x ? x )( y ? y )
i =1

∑(x ? x )
i =1 i

10

= 6.7576,

2

则a = y ? bx = 5.9388, 得回归直线方程为y = 6.7576x + 5.9388. 将x = 26.5代入方程,得y = 185.0152.

27

1.统计问题关键是准确运用基本知识,通 过仔细审题、精确识图,灵活运用数形结合和 转化与化归的思想探究问题. 2.三种抽样是获取样本的常用方法,也是 高考考查的重点之一,要明确其联系与区别及 其实施步骤.获取样本后,将其用频率分布表、 频率分布直方图、频率折线图或茎叶图表示后, 蕴涵于数据之中的规律便可直观展示,此时结 合一些数字特征如平均数、方差等就可估计总 体的稳定程度.因此,这一部分要掌握:
28

“三图一线”(即频率分布直方图、频率分布折 线图、茎叶图和总体密度曲线)和“三数一 差”(众数、中位数、平均数和标准差). 3.平均数和方差经常用于生产、生活的一 些实际问题,如生产稳定性的比较等.解决这 类问题主要参考这两个统计数值,一般是先比 较平均数的大小,在平均数相同的条件下,再 比较方差的大小,方差越小,说明数据越稳 定.

29

4.相关关系与函数关系不同,有相关关系 的两个变量存在密切关系,但不存在确定性的 函数关系.

30

考点4 考点 古典概型
例1(2011 山东卷)甲、乙两校各有3名教师报名支教,其 中甲校2男1女,乙校1男2女.

(1) 若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有
可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;

( 2 ) 若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结
果,并求选出的2名教师来自同一学校的概率.

切入点:会用数组列举法列举所有事件.

31

解析 (1)甲校2男教师分别用A、B表示,女教师用C 表示; 乙校男教师用D表示,女教师分别用E、F 表示. 2 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的 结果为: ,D), ,E ), ,F ), ,D), ,E ), ,F ), , (A (A (A (B (B (B (C D), ,E ), ,F ),共9种. (C (C 从中选出两名教师性别相同的结果有: ,D), ,D ), (A (B (C,E ), ,F ),共4种,故选出的两名教师性别相同的概 (C 4 率为P = . 9
32

( 2 ) 从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的
结果为: ,B ), ,C ), ,D), ,E ), ,F ), ,C ), (A (A (A (A (A (B ( B,D), ,E ), ,F ), ,D), ,E ), ,F ), ,E ), (B (B (C (C (C (D ( D,F ), ,F ),共15种, (E 从中选出两名教师来自同一学校的结果有: ( A,B), ,C ), ,C ), ,E ), ,F ), ,F ),共6种, (A (B (D (D (E 故选出的两名教师来自同一学校的概率为 6 2 P= = . 15 5
33

1.列举是处理古典概型的基本方法. 2.列举时,要注意分清“有序”还是 “无序”,按一定次序进行列举,防止重复和 遗漏.采用列表、“树图”等直观手段是防止 重复与遗漏的有效方法. 3.具体事件的给出常常和其他数学知识 相联系,要注意联系相关知识找到相应事件的 基本事件数.

34

变式1(2011 广州一模) (1) 在一个红绿灯路口,红灯、黄 5 灯和绿灯的时间分别为30秒、秒和40秒.当你到达路口 时,求不是红灯的概率. 2 )已知关于x的一元二次函数f ( x ) = ax 2 ? 4bx + 1.设集合 ( 取一个数作为a和b,求函数y = f ( x ) 在区间[1, ∞)上是 + 增函数的概率. P = {1, 2,3} 和Q = {?1,1, 2,3, 4},分别从集合P和Q中随机

35

解析 (1) 基本事件是遇到红灯、黄灯和绿灯,它们的 时间分别为30秒、秒和40秒,设它们的概率的分别为 5 P,P2,P3, 1 所以不是红灯的概率 30 30 3 P = 1? P = 1? = 1? = . 1 75 5 30 + 5 + 40

36

( 2 ) 基本事件为集合P和Q中随机取一个数a和b的可能 结果有(1, 1), ), 2 ), ), 4 ), , 1),2,1),2, 2 ), ? (1,1 (1, (1,3 (1, (2 ? ( ( (3 ? ( ( 2,3),2, 4 ), , 1),3,1),3, 2 ),3,3),3, 4 ),共15种. ( ( ( (
2b 因为函数f ( x ) = ax ? 4bx + 1的图象的对称轴为x = , a 要使f ( x ) = ax 2 ? 4bx + 1在区间[1, ∞)上为增函数, +
2

2b 当且仅当a > 0且 ≤ 1,即2b ≤ a. a 若a = 1则b = ?1;若a = 2则b = ?1,1;若a = 3则b = ?1,1. 所以事件包含基本事件的个数是1 + 2 + 2 = 5. 5 1 所以所求事件的概率为 = . 15 3
37

考点5 考点 几何概型
1 3 例2 已知函数f ( x ) = x ? ( a ? 1) x 2 + b 2 x,其中a,b 3 为实常数.

(1) 求函数f ( x ) 为奇函数的充要条件; ( 2 ) 若任取a ∈ [0, 4],b ∈ [0,3],求函数f ( x ) 在R上是
增函数的概率.

切入点:求出函数f ( x ) 在R上是增函数的条件, 建立坐标系aOb,利用几何概型知识处理.
38

则对任意x ∈ R,f ( x ) + f ( ? x ) = 0恒成立, 1 3 1 3 2 2 即 x ? ( a ? 1) x + b x ? x ? ( a ? 1) x 2 ? b 2 x = 0, 3 3 即2 ( a ? 1) x 2 = 0恒成立,所以a = 1. 1 3 2 当a = 1时,f ( x ) = x + b x, 3 1 3 2 则f ( ? x ) = ? x ? b x = ? f ( x ) , 3 所以f ( x ) 为奇函数.

解析 (1) 若f ( x ) 为奇函数,

故f ( x ) 为奇函数的充要条件是“a = 1”.
39

( 2 ) f ′ ( x ) = x 2 ? 2 ( a ? 1) x + b 2 . 若f ( x ) 在R上是增函数, 则对任意x ∈ R,f ′ ( x ) ≥ 0恒成立. 2 所以? = 4 ( a ? 1) ? 4b 2 ≤ 0,即 a ? 1 ≤ b . 设 " f ( x ) 在R上是增函数 "为事件A,则事件A对应的区域
为{(a,b) | a ? 1 ≤ b }. 全部试验结果构成的区域 w = {(a,b) | 0 ≤ a ≤ 4, 0 ≤ b ≤ 3},如图.

40

S阴影 所以P ( A ) = S?

1 1 3 × 4 ? × 1× 1 ? × 3 × 3 7 2 2 = = . 3× 4 12

7 故函数f ( x ) 在R上是增函数的概率为 . 12

41

1.几何概型常常和二元一次不等式所 表示的平面区域交汇综合. 2.本题求解的关键在于确定事件A构 成的平面区域.

42

变式2 已知函数f ( x ) = x 2 + bx + c,其中0 ≤ b ≤ 4, ? f ( 2) ≤ 12 0 ≤ c ≤ 4.记满足条件 ? 的事件为A,求事 ? f (?1) ≤ 3 件A发生的概率.
? f ( 2 ) ≤ 12 ?2b + c ≤ 8 解析:由 ? ,可得 ? . ? f (?1) ≤ 3 ?b ? c ≥ ?2 如图所示建立平面直角坐标系. 设区域? = {(b,c)} | 0 ≤ b ≤ 4, 0 ≤ c ≤ 4 |,
43

? 2b + c ≤ 8 ?b ? c ≥ ?2 ? }. 则 事 件 A构 成 的 区 域 为 E = {( b, c ) | ? ?0 ≤ b ≤ 4 ?0 ≤ c ≤ 4 ? 由 图 可 知 , 区 域 ? 的 面 积 S ? = 16. 事 件 A构 成 的 区 域 的 面 积 1 1 S E = 16 ? × 2 × 2 ? × 2 × 4 = 10. 2 2 S E 10 5 由几何概型的计算公式得P ( A) = = = S ? 16 8 5 故 事 件 A发 生 的 概 率 为 . 8
44

考点6 考点 古典概型与几何概型综合
例3 已知函数f ( x ) = ax 2 ? 2bx + a(a,b ∈ R ).

(1) 若a是从集合 {0,1, 2,3}中任取的一个元素,b是从集合 {0,1, 2,3}中任取的一个元素,求方程f ( x ) = 0恰有两个
不等实根的概率;

( 2 ) 若a是从区间[0, 2]中任取的一个数,b是从区间[0,3]中 任取的一个数,求方程f ( x ) = 0没有实根的概率.
切入点: ) 转化为古典概型;2 ) 转化为几何概型. (1 (
45

自集合 {0,1, 2,3}中的任意一个元素,则a,b的取值情况 是:

解析 (1)a取自集合 {0,1, 2,3}中的任意一个元素,b取

( 0, 0 )( 0,1),0, 2 ),0,3), 0 )(1,1), 2 ), ),2, 0 )( 2,1), ( ( (1, (1, (1,3 ( ( 2, 2 ),2,3),3, 0 )( 3,1),3, 2 ),3,3). ( ( ( (
其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值,即 基本事件总数为16.

46

当a ≥ 0,b ≥ 0时,方程f ( x ) = 0恰有两个不相等的实

设“方程f ( x ) = 0恰有两个不相等的实根”为事件A, ?a ≠ 0 根的充要条件是 ? ? b > a,且a ≠ 0.此时a,b的 ?? > 0 取值情况有 (1, 2 ), ),2,3),即事件A包含的基本事 (1,3 ( 件数为3. 所以方程f ( x ) = 0恰有两个不相等的实数根的概率为 3 P ( A) = . 16
47

( 2 )因为a是从区间[0, 2]中任取的一个数,b是从区间 [0,3]中任取的一个数,则试验的全部结果构成区域
{(a,b) | 0 ≤ a ≤ 2, ≤ b ≤ 3},这是一个矩形区域,其 0 设“方程f ( x ) = 0没有实根”为事件B,则事件B所构 成的区域为{(a,b) | 0 ≤ a ≤ 2, 0 ≤ b ≤ 3,a > b},其面 1 积S M = × 2 × 2 = 2. 2 由几何概型的概率计算公式可得方程f ( x ) = 0没有实 SM 1 数根的概率为P ( B ) = = . S? 3
48

面积S? = 2 × 3 = 6.

1.重视化归思想的运用.从集合 {0,1, 2,3}中 取数a,b相当于一个4面的“骰子”抛两次.一般 来说,取数、摸球、投信、掷硬币等问题,均可 化归为抛骰子问题. 2.事件的给出常常和其他知识相联系,要注 意相关知识的运用.本题中f ( x ) = 0恰有两个不等 ?a ≠ 0 实根 ? ? .列举时,容易忽视a ≠ 0这一条件. ?? > 0
49

变式3(2011 江西八校联考)已知集合A = { x | x 2 + 2x ? 3 < 0}, x+2 B = {x | < 0}. x ?3 (1) 在区间( ?4, 4 ) 上任取一个实数x,求“x ∈ A I B”的概 率;

( 2 ) 设(a,b)为有序实数对,其中a是从集合A中任取的一
个整数,b是从集合B中任取的一个整数,求“b ? a ∈ A U B”的概率.

50

解析 (1)由已知A = { x | ?3 < x < 1},B = { x | ?2 < x < 3}. 设事件“ x ∈ A I B ”的概率为P, 1 3 这是一个几何概型,则P = . 1 8

51

( 2 )因为a,b ∈ Z,且a ∈ A,b ∈ B, (? ? ( 所以,基本事件共12个: 2, 1),?2, 0 ),?2,1),?2, 2 ), ( ( (?1, 1),?1, 0 ),?1,1),?1, 2 ),, 1),0, 0 ),0,1),0, 2 ). (0 ? ( ? ( ( ( ( (
设事件E为“b ? a ∈ A U B”, 则事件E中包含9个基本事件, 9 3 事件E发生的概率P ( E ) = = . 12 4

52

1.对简单的概率问题要能迅速判断出是哪种类型 的概率问题,再套用公式解决. 2.对古典概型,要会用枚举法,借助表格、树形 图等写出所有的基本事件和所求事件包含的基本事件. 求古典概型的一般方法和步骤如下:

(1) 判断试验是否为等可能性事件,并用字母表示
所求事件.

( 2 ) 计算基本事件的个数n及事件A中包含的基本事
件的个数m. m ( 3) 计算事件A的概率P ( A) = . n
53

3.对几何概型,要根据题意判断是直线型、面 积型、体积型还是角度型.判断的关键是看它是否是 等可能的,也就是点是否是均匀分布的.求解的关键 是构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的几何 度量来求随机事件的概率. 4.要注意古典概型、几何概型与其他知识的联 系,根据问题特点,联想相关知识,找到所求事件满 足的条件.

54

考点7 概率、 考点 概率、统计之间的综合
例1(2009 佛山一模)有甲、乙两个班级进行数学考试, 按照大于等于85分为优秀, 分以下为非优秀统计成 85 绩后,得到如下列联表.
优秀 甲班 乙班 合计 10 30 105 非优秀 总计

2 已知在两班共105人中随机抽取1人为优秀的概率为 . 7

(1) 请完成上面的列联表; ( 2 ) 根据列联表的数据,若按95%的可靠性要求,能否
认为“成绩与班级有关系”;

( 3) 若按下面的方法从甲班优秀学生中抽一人:把甲班
优秀的10名学生从2到11进行编号,先后两次抛掷一枚 均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取的人的序号, 试求抽到6号或10号的概率. n( ad ? bc )2 参考公式:k = , ( a + b )( c + d )( a + c )(b + d )

其中n = a + b + c + d;
P(K2≥k0) k0 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635

切入点: ) 根据随机事件的概率可确定优秀学生的人数, (1 的临界值k0比较作出结论. ) 采用列举的方法进行求解. (3 从而完成列联表.2 ) 计算随机变量K 2的观察值k,再与k (

解析 x=

x 2 (1) 设优秀的学生人数为x,则 = ,所以 105 7

210 = 30,故乙班优秀的学生人数为20,由此可 7 填表如下: 优秀 非优秀 总计
甲班 乙班 合计 10 20 30 45 30 75 55 50 105

( 2 ) 根据列联表中的数据,
105(10 × 30 ? 20 × 45)2 得到k = ≈ 6.109 > 3.841. 55 × 50 × 30 × 75

因此,有95%的把握认为“成绩与班级有关系”.

( 3) 设“抽到6号或10号”为事件A,先后两次抛掷
一枚均匀的骰子,出现的点数为(x,y),所有基本事 件有 (1,1), 2 ), ), , ),共36个. (1, (1,3 … ( 6,6 而事件A包含的基本事件有: ),2, 4 ), ),4, 2 ), (1,5 ( ( 3,3 ( 8 2 所以P ( A ) = = . 36 9

( 5,1),4,6 ),5,5),6, 4 ),共8个. ( ( (

1.可以用独立性检验来考察两个分类变量是 否有关系,并且能较精确地给出这种判断的可靠 程度.具体做法是:根据观察数据计算,由k = n( ad ? bc )2 得出随机变量K 2的观测 ( a + b )( c + d )( a + c )(b + d ) 值,其值越大,说明“两个变量有关系”成立的 可能性越大.

2.本题是概率与统计的综合问题,主要考查 随机事件的概率、× 2列联表、独立性检验、古典 2 概型等基础知识.这要求我们注意知识之间的相 互联系,提高综合运用能力.

变式1(2011 广州二模)某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进 行调查.瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能 力.某班学生共有40人,下表为该班学生瞬时记忆能力 的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记 忆能力偏高的学生为3人.

由于部分数据丢失,只知道从这40位学生中随机抽取一 个,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或 2 中等以上的概率为 . 5 (1) 试确定a、b的值;

( 2 ) 从40人中任意抽取1人,求此人听觉记忆能力恰为中
等,且视觉记忆能力为中等或中等以上的概率.

(1)由表格数据可知视觉记忆能力恰为中等,且听 觉记忆能力为中等或中等以上的学生有 (10 + a ) 人.
解析 记“视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或 10 + a 2 中等以上”为事件A,则P ( A ) = = ,解得a = 6. 40 5 因为32 + a + b = 40,所以b = 2. 答:a的值为6,b的值为2.

( 2 )由表格数据可知,听觉记忆能力恰为中等,且视觉记 忆能力为中等或中等以上的学生有 (11 + b ) 人,由(1) 知,
b = 2,即听觉记忆能力恰为中等,且视觉记忆能力为中 等或中等以上的学生共有13人. 记“听觉记忆能力恰为中等,且视觉记忆能力为中等或 记“听觉记忆能力恰为中等,且视觉记忆能力为中等或 中等以上”为事件B, 13 则P ( B ) = . 40 答:听觉记忆能力恰为中等,且视觉记忆能力为中等或 13 中等以上的概率为 . 40

考点8 考点 概率与其他知识的综合
1 3 例2 已知函数f ( x ) = x ? ax + b,其中实数a,b是常数. 3 A (1)已知a ∈{0,1, 2},b ∈{0,1, 2},求事件“f (1) ≥ 0”发生 的概率;

( 2) 若f ( x ) 是R上的奇函数,g ( a ) 是f ( x ) 在区间[ ?1,1] 上的 最小值,求当 a > 1时g ( a )的解析式.
切入点:将所求的基本事件函数等相关知识进行转化, 得到a,b的具体关系,再用列举法求解.

(1)当a ∈ {0,1, 2},b ∈ {0,1, 2}时,等可能发生的基 本事件(a,b)共有9个:0, 0 ),0,1),0, 2 ), 0 ), ), 2 ), ( ( ( (1, (1,1 (1, ( 2, 0 ),2,1),2, 2 ), ( (
解析 1 其中事件A f (1) = ? a + b ≥ 0”,包含6个基本事件: “ 3 ( 0, 0 ),0,1),0, 2 ), ), 2 ),2, 2 ). ( ( (1,1 (1, ( 6 2 故P ( A ) = = . 9 3 2 答:事件“f (1) ≥ 0”发生的概率为 . 3

1 3 ( 2 ) f ( x ) = x ? ax + b是R上的奇函数, 3 得f ( 0 ) = 0,b = 0. 1 3 所以f ( x ) = x ? ax,f ′ ( x ) = x 2 ? a, 3 ①当a > 1时,因为 ? 1 ≤ x ≤ 1, 1 从而g ( a ) = f (1) = ? a; 3

所以f ′ ( x ) < 0,f ( x ) 在区间[ ?1,1] 上单调递减,

②当a < ?1时,因为 ? 1 ≤ x ≤ 1, 所以f ′ ( x ) > 0,f ( x ) 在区间[ ?1,1] 上单调递增, 1 从而g ( a ) = f ( ?1) = ? + a. 3 ? 1 (a < ?1) ?a ? 3 ? 综上,知g ( a ) = ? . ??a + 1 (a > 1) ? 3 ?

1.古典概型与其他知识进行综合,关键 是运用相关知识作好等价转化. 2.本题主要考查古典概型等基础知识, 考查化归和转化、分类与整合的数学思想方法, 以及简单的推理论证能力.

变式2 把一颗骰子投掷两次,观察出现的点数,并记第 一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,向量m = (a,b),n = (1, 2).求: ?

(1)向量m与向量n垂直的概率; ( 2 ) m ? n ≤ 5的概率.

可得a 1 + b ( ?2 ) = 0,

解析 (1)由已知m ⊥ n,则m n = 0, 化简得a = 2b,且a = 1, 2,3, 4,5, 6,b = 1, 2,3, 4,5, 6, 其中满足条件的基本事件有 ( 2,1),4, 2 ),6,3),共3个. ( (

而总的基本事件个数为6 × 6 = 36. 1 3 因此,所求概率为 = . 36 12

( 2 )由已知 | m ? n |≤ 5,即( a ? 1) + ( b + 2 )
2

2

≤ 25,

也就是点(a,b)与(1, 2)的距离不大于5,即点(a,b)在以 ? 点(1, 2)为圆心,以5为半径的圆内或圆上. ? 如图可知,在圆上有3个点: ),4, 2 ),5,1);在圆内有7 (1,3 ( ( 个点: ), 2 ),2,1),2, 2 ),3,1), (1,1 (1, ( ( (

( 3, 2 ),4,1).其余点在圆外,即满 (
10 5 故所求概率为 = . 36 8

足条件的基本事件有3 + 7 = 10个.

考点9 考点 统计与其他知识综合
例3 为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该 校100名高三学生的视力,得到的频率分布直方图如下图. 由于不慎将部分数据丢失,但知道前4组的频数从左到右 次是等差数列{bn }的前六项. 依次是等比数列{an }的前四项,后6组的频数从左到右依

(1) 求等比数列{an }的通项公式,等差数列{bn }的通项公式; ( 2 ) 求最大的频率;
cn c1 c2 3) 设 + +…+ = bn +1 (n ∈ N* ),求数列{cn }的前2010项 ( a1 a2 an 和S 2010 .

切入点:首先从“读图”开始,从图中找到a1,a2,则 等差数列就确定了.同时依等差数列可确定等比数列 的首项,根据直方图的意义得到等比数列前6项的和, 等比数列就确定下来了,后面的问题便迎刃而解了.

解析

(1)由题意知,a1 = 0.1× 0.1×100 = 1,a2 = 0.3 × 0.1

×100 = 3, 所以数列{an } 是首项为a1 = 1,公比为3的等比数列,则 an = 3n ?1 (n ∈ N* ), 所以a4 = 33 = 27,则b1 = a4 = 27. 又b1 + b2 +…+ b6 = 100 ? ( a1 + a2 + a3 ) = 100 ? (1 + 3 + 9 ) = 87, 6×5 即6b1 + d = 87,解得d = ?5. 2 因此,数列{bn } 是首项为27,公差为 ? 5的等差数列, 其通项公式为bn = 32 ? 5n(n ∈ N* ).

27 ( 2 ) 最大频率为 = 0.27. 100 cn c1 c2 ( 3)因为 + +…+ = bn +1, a1 a2 an cn ?1 c1 c2 所以 + +…+ = bn (n ∈ N*,n ≥ 2), a1 a2 an ?1 cn 所以 = bn +1 ? bn = ?5(n ∈ N*,n ≥ 2), an

所以cn = ?5an = ?5 ? 3n ?1 (n ∈ N*,n ≥ 2). c1 又 = b2 = 22,则c1 = 22. a1

因此,数列{cn } 是一个从第二项开始公比为3的 等比数列. 所以S 2010 5(1 ? 3 = 2
2010

)

+ 27.

1.本题以频率分布直方图为背景考查等差数 列、等比数列等基础知识,对灵活运用知识解决 问题的能力要求较高. 2.要抓住问题的特点,找到知识之间的“联 结点”.本题知识之间的“联结点”就是“频 数”.抓住频数与频率分布直方图、频数与频率 以及频数与所求数列之间的联系,即可确定等差 数列的基本量a1和d,从而就找到了解决问题的途 径.

变式3(2011 新课标卷)某种产品的质量以其质量指标值衡 量,质量指标越大表明质量越好,且质量指标值大于或 等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为A配 方和B配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了 每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:

(1) 分别估计用A配方,B配方生产的产品的优质品率; ( 2 )已知用B配方生产的一种产品利润y (单位:元)与其质
??2 (t < 94) ? 量指标值t的关系式为y = ?2 (94 ≤ t < 102). ?4 (t ≥ 102) ? 估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率,并求 用B配方生产的上述100件产品平均每件的利润.

解析

(1)由试验结果知,用A配方生产的产品中优质的

22 + 8 频率为 = 0.3,所以用A配方生产的产品的优质品 100 率的估计值为0.3. 由试验结果知,用B配方生产的产品中优质品的频率为 32 + 10 = 0.42,所以用B配方生产的产品的优质品率的 100 估计值为0.42.

( 2 )由条件知用B配方生产的一件产品的利润大于0,当且
仅当其质量指标值t ≥ 94,由试验结果知,质量指标值t ≥ 94的频率为0.96,所以用B配方生产的一件产品的利润 大于0的概率估计值为0.96. 1 用B配方生产的产品平均每件的利润为 × [4 × ( ?2 ) + 54 100 ×2 + 42 × 4] = 2.68(元).

解决综合问题要注意加强审题训练,理 清知识之间的相互联系,找到知识的“交汇 点”,从而将问题进行转化,达到解决问题 的目的.


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