当前位置:首页 >> 高一数学 >>

高一函数经典难题讲解


高一经典难题讲解

1. 已 知 函 数 f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈R 且 x≠a, 当 f(x) 的 定 义 域 为 [a-1,a-1/2]时,求 f(x)值
解:由题知,已知函数 f(x)=(x+1-a)/(a-x), 所以,f(x)= -1+1/(a-x), 当 f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时 x∈[a-1,a-1/2] (a-x)∈[1/2,1] 1/(a-x)∈[1,2] f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1]

2.设 a 为非负数,函数 f(x)=x|x-a|-a. (1)当 a=2 时,求函数的单调区间 (2)讨论函数 y=f(x)的零点个数
解析:(1)∵函数 f(x)=x|x-2|-2 当 x<2 时,f(x)=-x^2+2x-2,为开口向下抛物线,对称轴为 x=1 当 x>=2 时,f(x)=x^2-2x-2,为开口向上抛物线,对称轴为 x=1 ∴当 x∈(-∞,1)时,f(x)单调增;当 x∈[1,2]时,f(x)单调减;当 x∈(2,+∞)时,f(x)单调增; (2).f(x)=x|x-a|-a=0, x|x-a|=a,① -1a=0 时 x=0,零点个数为 1; a>0 时 x>0, 由 ① , x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2; 0<x<a<4 时,x^2-ax+a=0②,x2,3=[a 土√(a^2-4a)]/2,零点个数为 3; a=4 时,x2,3=a/2,零点个数为 2; a>4 时,②无实根,零点个数为 1。 a<0 时,x<0,由①,x>=a>-4,x^2-ax-a=0③,x1,2=[a 土√(a^2+4a)]/2; x<a 时 x^2-ax+a=0,x3=[a-√(a^2-4a)]/2,零点个数为 3; a=-4 时 x1,2=a/2,零点个数为 2; a<-4 时③无实根,零点个数为 1. 综上,a<-4,或 a=0,或 a>4 时零点个数为 1; a=土 4 时,零点个数为 2; -4<a<0,或 0<a<4 时,零点个数为 3. 3.已知函数 f(x)=log3 为底 1-m(x+2)/x-3 的图像关于原点对称 (1)求常数 m 的值 (2)当 x∈(3,4)时,求 f(x)的值域; (3)判断 f(x)的单调性并证明。 解:1、函数 f(x)=log3 [1-m(x+2)[/(x-3)图象关于原点对称, 则该函数是奇函数,满足 f(-x)=-f(x)。

高一经典难题讲解

log3 [1-m(2-x)]/(-x-3)=-log3 [1-m(x+2)]/(x-3) log3 [1-m(2-x)]/(-x-3)=log3(x-3)/ [1-m(x+2)] [1-m(2-x)]/(-x-3)=(x-3)/[1-m(x+2)] 化简得 -x^2+9=-m^2(x^2)+(2m-1)^2 所以 -m^2=-1 (2m-1)^2=9 解得 m=-1 所以,函数解析式为 f(x)=log3 [ (x+3)/(x-3)] 2、先求 t(x)=(x+3)/(x-3)在(3,4)上的值域。 t(x)=(x+3)/(x-3)=[(x-3)+6]/(x-3)=1+[6/(x-3)] 当 3<x<4 时,0<x-3<1 1/(x-3)>1, 6/(x-3)>6 所以 t(x)=1+[6/(x-3)]>7 那么,原函数在(3,4)上值域是(log3 (7),正无穷) 3、先求函数定义域 x<-3 (x+3)/(x-3)>0 且 x≠3
- 2 -(1)当 x>3 时,

解得 x>3 或

因为 t(x)=(x+3)/(x-3)=1+[6/(x-3)]单调递减,所以 函数 f(x)=log3 t(x)单调递减。 (2)当 x<-3 时,因为 t(x)=(x+3)/(x-3)=1+[6/(x-3)]单调递减,所以函数 f(x)=log3 t(x)单调 递减。 4.已知函数 f(x)=log4(4^x+1)+kx 是偶函数. (1)求 k 的值 (2)设 f(x)=log4(a2^x-4/3a)有且只有一个实数根,求实数的取值范围. 解:(1)f(x)=log4(4^x+1)+kx(K∈R)是偶函数, ∴f(-x)=f(x), 即 log<4>[4^(-x)+1]+k(-x)=log<4>(4^x+1)+kx, ∴log<4>{[4^(-x)+1]/(4^x+1)}=2kx, -x=2kx, k=-1/2. (2)f(x)=log4(4^x+1)-x/2=log4(4^x+1)-log4(2^x)=log4[(4^x+1)/2^x] g(x)=log4(a · 2^x-4/3a) 联立 log4[(4^x+1)/2^x]=log4(a · 2^x-4/3a)

∴ (4^x+1)/2^x=a·2^x-4/3a

高一经典难题讲解

不妨设 t=2^x t>0 t^2+1/t=at-4/3a t^2+1=at^2-4/3at (a-1)t^2-4/3at-1=0 设 u(t)=(a-1)t^2-4/3at-1 ∵两函数图像只有1个公共点,在这里就变成了有且只有一个正根 1.当 a=1时 t=- 3/4 不满足 (舍)

2.当△=0时 a=3/4 或 a=-3 a=3/4时 a=-3时 t= -1/2<0 (舍)

t=1/2满足

3.当一正根一负根时 (a-1) × u(0)<0 ∴a>1 综上所述,得 a=-3或 a>1 5.
-3-

(根据根的分布)

这个是概念的问题:1.对于 f(x)取值范围(0,无穷) ,f?(x)+bf(x)+c=0 最多有两个不同的 f(x)。 2.对 f(x)的图像进行分析,知道 f(x)=1 对应的 x 值有三个,即除 x=2 外另有两个关于 x=2 对称的 x。f(x)不等于 1 时对应的 x 值有两个,即两个关于 x=2 对称的两个 x。 3.题意说 f?(x)+bf(x)+c=0 对应的 x 根有 5 个,显然满足 f?(x)+bf(x)+c=0 的 f(x)有两个,一个 f(x)对应三个 x 值,设为 x1,x2,x3;另一个 f(x)对应两个 x,设为 x4,x5; 根据以上分析,应有 x1+x3=2*2,x2=2;x4+x5=2*2=4 则 f(x1+x2+x3+x4+x5)=f(10)=1/8,选 B

高一经典难题讲解

? 1 ?x ? 6.已知函数 f ( x ) ? ? x , x ? 0 ,,f(x) 的值域是{ 0 }∪【 1 ,+∞) . 求关于 x 的方程 ?0, x ? 0 ?
f^2(x)+bf(x)+c=0有五个根的充要条件?
函数图像是一个“W”字样两个 V 字的连接点落到坐标原点的形状,也就是两个“V”字加原点

-4-

高一经典难题讲解

-5-

高一经典难题讲解

7.定义域为 R 的偶函数 f(x),当 x>0时, f(x)=lnx-ax(a 属于 R), 方程 f(x)=0在 R 上恰有5个不同的 实数解 (1)求 x<0时,函数 f(x)的解析式 (2)求实数 a 的取值范围

(1)f(x)为偶函数,有一个大于零的解,则一定会有一个小于零的解和他对应,f(x)=0 在 R 上有5个不同的实数解,则 f(0)=0,f(x)在 x >0时有两个解当 x<0时,-x>0,f(x) =f(-x)=ln(-x)+ax2)当 a<0时,y=lnx , y=-ax 在 x >0时都单调增,则 f(x)=lnx-ax 在 x >0时单调增,只有一个解,不满足题意当 a=0时,f(x)=lnx 在 x >0时单调增,只 有一个解,不满足题意当 a>0时,f '(x)=1/x-a 当 x=1/a 时,f '(x)=0,f(x)在(0,1 /a)单调增,在(1/a,+∞)单调减,在 x=1/a 取到最大值 要 f(x)在 x >0时有两个解,只要 f(1/a)>0,即 ln(1/a)>1,1/a>e,得 a<1/e 综上,a∈(0,1/e)
8.定义域为 R 的偶函数 f(x) ,当 x>0 时,f(x)=lnx-ax(a∈R) ,方程 f(x)=0 在 R 上恰有 5 个不同的实数解. (2)求实数 a 的取值范围. 解答:解: (1)设 x<0,则-x>0. ∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=ln(-x)+ax. (2)∵f(x)为偶函数,∴f(x)=0 的根关于原点对称. 由 f(x)=0 恰有 5 个不同的实数解知 5 个实根中有两个正根,二个负根,一个零根. 且两个正根和二个负根互为相反数.∴原命题?当 x>0 时 f(x)图象与 x 轴恰有两个不同的交点. 下面研究 x>0 时的情况:f(x)=0 的零点个数?y=lnx 与直线 y=ax 交点的个数. ∴当 a≤0 时,y=lnx 递增与直线 y=ax 下降或与 x 轴重合, 故交点的个数为 1,不合题意,∴a>0. 由几何意义知 y=lnx 与直线 y=ax 交点的个数为 2 时,直线 y=ax 的变化应是从 x 轴到与 y=lnx 相切 (1)求 x<0 时,函数 f(x)的解析式;
-6-

之间的情形. 设切点(t ,lnt) ? k=(lnx )′|x= t= ,

1 t

高一经典难题讲解

∴切线方程为:y?lnt= (x?t).

1 t

由切线与 y=ax 重合知 a=

1 1 ,lnt= 1 ? t=e ,a= , t e 1 ). e

故实数 a 的取值范围为(0,

9.函数 y=loga(2x-3)+

2 的图像恒过定点 P,P 在幂函数 f(x)的图像上,则 f(9)=___ 2

解:由于 loga(1) 恒等于 0, 所以 P 坐标为(2,

2 ) ,而 P 在幂函数的图像上,所以设这个函数为 f(x)=x^a, 2



2 =2^a,解得 a=-1/2,所以 f(9)=9^(-1/2)=1/√9=1/3。 2

10.函数 y=loga(-x)+2 的图像恒过定点 P,P 在幂函数 f(x)的图像上,则 f(2)=___ 解:P 点坐标为(-1,2) ,与 a 无关 而幂函数 f(x)=b^x 要经过 P 点,则2=b^-1,所以 b=1/2 所以 f(2)=(1/2)^2=1/4
-7-

11.若偶函数 f(x)满足 f(x-1)=f(x+1)且在 x 属于【0,1】时 f(x)=x 的平方,则关于 x 的方程 f(x)=(1/10)的 x 的平方在[0,10/3]上的实数根有几个 f(x-1)=f(x+1),则函数 f(x)的周期为2,可以作出函数 f(x)的图像。另外设 g(x)=(1/10)x&sup 2;,利用图像,得出方程 f(x)=g(x)的根有2个。

12.已知偶函数 f(x)满足 f(x+1)=f(x-1) ,且 x∈[0,1],f(x)=(x-1)?,则 f

(7/2)=
解:由 f(x+1)=f(x-1) =f(1/2)=(1/2-1)?=1/4 则 f(x+2)=f(x) 所以 T=2 所以偶函数 f(7/2)=f(7/2-4)=f(-1/2)

高一经典难题讲解

13.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0时,f(x)=2^x+1
(1)求函数 f(x)的解析式,作出函数的图象。 (2)写出单调区间,并求出函数 f(x)的值域 解: (1)根据题意, 当 x>0 时,-x<0, ∴f(x)=-f(-x)=-[2^(-x) +1]=-1-(1/2)^x ∴x<0 时,f(x)=1+2^x x>0 时,f(x)=-1-(1/2)^x (2)递增区间是(-∞,0)和(0,+∞) x<0 时,f(x)∈(0,2) x>0 时,f(x)(-2,0)

∴f(x)的值域是(-2,0)∪(0,2) 图像

14.题目:设 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,并 式

且 f(x)-g(x)=x?-3x+1,求 f(x)和 g(x)的解析

-8-

f(x)-g(x)=x?-3x+1 f(-x)-g(-x)=(-x)?-3(-x)+1=-f(x)-g(x)【根据两个函数性质可得】 解上述两个方程 得 f(x)=-3x g(x)=-x?-1

15.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x)是 R 上的奇函数,且 g(x)=f(x-1),则 f(2011)+f(2013) 的值为? 解:g(x)=f(x-1)=>g(-x)=f(-x-1)=f(x+1) f(2011)=g(2012) f(2013)=g(-2012) f(2011)+f(2013)=0 16.若函数 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(x)+g(x)=1/x-1,则 f(x)=___” 解:f(x)+g(x)=1/(x-1) (1) f(-x)+g(-x)=-1/(x+1) (2) 由 f(x)=f(-x),g(-x)=-g(x)可知 f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=-1/(x+1) (3) (1)和(3)相加则有 2f(x)=-1/(x-1)-1/(x+1)

高一经典难题讲解

则 f(x)=1/(x^2-1) 17.函数 f(x)对任意实数 x1,x2,总有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-3,并且当 x>0时,f(x)>3 (1).求证:f(x)在 R 上是增函数 (2).若 f(3)=6,解不等式 f(a^2-3a-9)<4 (1).证明:任取 x1,x2,且 x1<x2, ∵x2-x1>0, ∴f(x2-x1)>3, ∴f(x2)= f[(x2-x1)+x1]= f(x2-x1)+f(x1)-3= f(x1)+[f(x2-x1)-3]>f(x1), ∴对任意 x1<x2,都有 f(x1)<f(x2),故 f(x)在 R 上为增函数。 (2)由 f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-3=f(1+1)+f(1)-3=[f(1)+f(1)-3]+f(1)-3=3f(1)-6=6, 得 f(1)=4, ∴f(a^2-3a-9)<f(1), f(x)在 R 上为增函数,a^2-3a-9<1,即(a-5)(a+2)<0, 解得-2<a<5 , 解集为(-2,5) 18.若定义在 R 上的函数 f(x)对任意的 x1,x2 属于 R,都有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1 成立,且当 x>0 时,f(x)>1. (1)求证:[f(x)-1]+[f(-x)-1]=0; (2)证:f(x)是 R 上的增函数 (1)证明:令 x1=x,x2=0 ∴f(x)=f(0)+f(x)-1 又令 x1=x,x2=-x 则 f(0)=f(x)+f(-x)-1 ∴ [f(x)-1]+[f(-x)-1]=0
-9-

即 f(0)=1

又∵f(0)=1 ∴f(x)+f(-x)=2 (2)证明:设 x1<x2,则 x2-x1>0 f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1 ∵当 x>0 时,f(x)>1 即是 f(x2)+f(-x1)>2

∴f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1>1(注:已知条件)

又∵f(x)+f(-x)=2(注:已证明) ∴f(x2)+2-f(x1)>2 在实数 R 上,存在有任意 x1<x2,f(x1)<f(2)

整理得:f(x2)-f(x1)>0,即 f(x1)<f(x2)

∴f(x)是 R 上的增函数

19.设 f(x)是定义在 R 上的函数, 对任意 x,y 属于 R 有 f(x+y)=f(x)+f(y)-1, 当 x>0 时有 f(x)>1, 且 f(3)=4 1.求 f(1),f(4)的值 2.判断并证明 f(X)的单调性 3.若关于 x 的不等式 f(ax-1)<f(f(4)x)的解集中最大的整数为 2,求实数 a 的取值范围 用赋值法代就行了

高一经典难题讲解

解: (1)令 x=y=1 可得 f(1+1)=f(1)+ f(1)—1 ① 令 x=1 y=2 可得 f(1+2)= f(1)+f(2)—1② 已知 f(3)=4③ 联立上式得 f(1)=2 令 x=1 y=3 得 f(1+3)= f(1)+ f(3)—1=5 (2)令 y=1 带入已知的抽象函数 f(x+1)=f(x)+f(1)—1 移项得 f(x+1)—f(x)=1 以函数 f(x)为增函数 (3)由(2)知函数 f(x)为增函数,所以有 ax-1﹤f(4)x 由题意知不等式(a-5)x-1﹤0 的 所 所

解集为 x﹤3(因为不等式解集的最大整数为 2 所以它的解集就是 x﹤3,这里你要想明白) 以问题可以转化为对任意的 x﹤3 都有(a-5)x-1﹤0 成立 f(x)=(a-5)x-1 令函数

要满足任意的 x﹤3 都有 f(x)﹤0 ①当 a≠0 时,只要函数为增函数且 f 5﹤ a﹤

(3)﹤0 就行 有 a-5 ﹥0 且 f(3)﹤0 推出

16 3

②当 a=5 时,f(x)=-1,显然 f(x)﹤0 的解集不是 x﹤3,不合题意。 综上 a 的取值范围为 5﹤ a﹤

16 . 3

- 10 -


赞助商链接
相关文章:
函数表示基础知识及经典习题加讲解
函数表示基础知识及经典习题加讲解_数学_高中教育_教育专区。第3讲 函数的表示方法...2 【名师指引】 用列表法表示函数具有明显的对应关系, 解决问题的关键是从表格...
高中函数典型例题
高中函数典型例题_其它课程_高中教育_教育专区。函数经典题型函数的概念 ¤例题精讲: 【例 1】求下列函数的定义域: (1) y ? 1 ;(2 ) y ? x ? 2 ?1...
高中数学经典例题、错题详解
高中数学经典例题、 错题 详解 丹东市第一中学高一十六班 数学 【例1】 设 ...(x) ; 3、 关于原点对称的区间上单调性一致;4、 如果奇函数在 x=0 上有...
经典_高一数学函数习题(很强很好很全)
经典_高一数学函数习题(很强很好很全) - 函数练习题 班级 姓名 ⑼ y ? ?x2 ? 4x ? 5 ⑽ y ? 4 ? ?x2 ? 4x ? 5 ⑾ y ? x? 1 ...
高一数学必修一函数经典题型复习
? . 3 q ? 3x (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)判断函数 f ( x ) 在 (0,1) 上的单调性,并加以证明. 一、选择题: 1、设全集 U ? Z ,...
函数的性质(经典难题)
函数的性质(经典难题)_数学_高中教育_教育专区。适合拔高1.已知 f ? x ? ? ? ? ?? 3a ? 1? x ? 4a, ( x ? 1) 是 ? ??, ??? 上的减函数...
人教版高一上数学期中经典大题讲解
人教版高一上数学期中经典题讲解 - 高一上期中大题汇总 1.已知二次函数 f(x)满足 f(0)=2 和 f(x+1)﹣f(x)=2x﹣1 对任意实数 x 都成立. (1)求...
高一函数经典例题
第一段 一.课题:函数的解析式及定义域 二.教学目标:掌握求函数解析式的三种常用方法:待定系数法、配凑法、换元法,能将一些简单实际问 题中的函数的解析式表示...
1.高一数学函数经典试题(含答案)
1.高一数学函数经典试题(含答案) - 高一数学函数测试题 一、选择题: 1.函数 y ? 2 x ? 1 ? 3 ? 4 x 的定义域为( A ) D 1 3 (? , ) 2 4 ...
综合题:高一数学函数经典习题及答案
综合题:高一数学函数经典习题及答案_数学_高中教育_教育专区。函数练习题一、 ...(??,0) 时 f ( x) =___ _ f ( x) 在 R 上的解析式为 5 、设...
更多相关标签: