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第一章小结(导学案)(no key)


蒲县高级中学导学案
科 目: 数 学 编写教师: 编 号: 王 楠

使用日期: 课 题:

第一章 三角函数 (知识小结与习题练习) 学生自主学习内容及练习 教师/学生备注

学习目标:
1、加深对本章知识点的识记; 2、通过习题学会举一反三; 3、在学习过程中锻炼归纳总结的学习方法。

重点难点:
重点:本章基本知识点的识记跟理解。 难点:由知识点及相关例题,举一反三,变式。

自主学习内容: (基础知识重现)
一、任意角的概念与弧度制 (一)角的概念的推广 1、角概念的推广: 在平面内,一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向,旋转多 少度角就是多少度角。按不同方向旋转的角可分为 和 ,其 中 旋转的角叫做正角, 的角叫做 ;当射线没 有旋转时,我们把它叫做 。习惯上将平面直角坐标系 x 轴正半轴 作为角的起始边,叫做角的 。射线旋转停止时对应的边叫角 的 。 2、终边在 x 轴上的角的集合: ;终边在 y 轴上的 角的集合: 终边相同的角:与 ? 终边相同的 角 ;终边在第一象限上的角的集合: ;终 边在第二象限上的角的集合: ;终边在第三象限上 的角的集合 ;终边在第四象限上的角的集 合: ;以过原点的直线为终边的角的集 合 .(其中 ? 的终边在过原点的直线上) 注:(1)角的集合表示形式不唯一. (2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同. (二)弧度制

1、弧度制的定义:



2、角度与弧度的换算公式: 360°= = ? 1°= =0.01745 1= =57°18′。 3、扇形弧长及面积公式 弧度制: 弧长: 面积: 角度制: 弧长: 面积: 注: (1)正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧 度数为零.(2)一个式子中不能角度,弧度混用. 二 任意角三角函数 (一)三角函数的定义 在直角坐标系中,由任意角 ? 的终边与单位圆交点坐标 P(x,y) 定义任意角的三角函数: 正弦 ,余弦 ,正切 . (二)三角函数在各象限内符号
Y Y Y

+
O X O

+
X O

+
X

y ? sin ?

y ? cos ?

y ? tan ?

(三)单位圆与三角函数线 如图(1)PM 表示 ? 角的正弦值,叫做 。OM 表示 ? 角的余弦 值,叫做 。如图(2)AT 表示 ? 角的正切值,叫做 。 注:线段长度表示三角函数值大小,线段方向表示三角函数值正 负

(四)同角三角函数的基本关系式 1、商数关系: 2、 平方关系: 三 三角函数的诱导公式
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

sin(2k? ? x) ? cos(2k? ? x) ? tan(2k? ? x) ?

sin(? x) ? cos(? x) ? t an( ? x) ?

sin(? ? x) ? cos(? ? x) ? tan( ? ? x) ?

sin(? ? x) ? cos(? ? x) ? tan( ? ? x) ?

sin( ? x) ? 2 cos( ? x) ? 2

?

?

sin( ? x) ? 2 cos( ? x) ? 2

?

?

注:利用“奇变偶不变,符号看象限”的方法记忆诱导公式。 四 三角函数的图像与性质 (一)基本图像: 1、正弦函数

正弦函数用 “五点法” 画出其简图, 其中五点为:最高点: ( , 最低点: ( , )图像与 X 轴交点( , ) ; ( , ) ; ( , ) 2、余弦函数





余弦函数用 “五点法” 画出其简图, 其中五点为:最高点: ( , ) , )最低点: ( , )图像与 X 轴交点( , ) ; ( , ) 。 3、正切函数



正切函数可用“三点两线法”画出其简图,其中三点为: ( , ) ( , ) ;两线为: x ? ,x? (虚线) 。 (二) 、函数图像的性质 1、周期函数:对于函数 f ( x) 如果存在一个

,



,使得当 x 取 ,那么函数 f ( x) 就叫 。

定义域内的 做

,都有 。非零常数 T 叫做这个函数的

2、最小正周期:如果周期函数 f ( x) 的所有周期中存在一个最小的 正数,那么这个最小正数就叫做 f ( x) 的 。

3、正弦、余弦、正切函数的图象的性质:
y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

定义域 值域 周期 奇偶

单调

对称中心: 对称 对称轴:

对称中心:

对称中心:

对称轴:

对称轴:

五 函数

y ? A sin(? x ? ? ) 的图象

1、 (1)函数 y ? sin( x ? ? ) (其中? ? 0) 的图像,可以看作将函数

y ? sin x 的图像上所有的点
平移

(当 ? ? 0 ) 或

(当 ? ? 0 )

个单位长度而得到; (2)函数 y ? sin(? x ? ? ) ( ? ? 0 )的

图象可以看作将函数 y ? sin( x ? ? ) 的图象上所有的点的横坐标 或 到原来的 倍(纵坐标不变)而得到; ( 3 )函数

y ? Asin(? x ? ? ) ( ? ? 0, A ? 0 ) 的 图 象 可 以 看 作 将 函 数

y ? sin(? x ? ? ) 的图象上所有点的纵坐标
的 倍(横坐标不变)而得到。



到原来

2、由 y ? sin x 图像通过图像变换得到 y ? Asin(? x ? ? ) 的图象? 方法 1: y ? sin x
y ? sin( x ? ? )

y ? sin( x ? ? ) y ? sin(? x ? ? )

y ? sin(? x ? ? ) y ? Asin(? x ? ? ) y ? sin ? x y ? sin(? x ? ? ) y ? Asin(? x ? ? )

方法 2: y ? sin x
y ? sin ? x y ? sin(? x ? ? )

注:由 y ? sin x 图像得到 y ? Asin(? x ? ? ) 的图象需经历三步变 换,要考虑变换顺。 3、函数

y ? A sin(? x ? ? ) 中各参数的物理意义
就是 A; (2) 简谐运动的周期 ;(4) ?x ? ? 称为 ; ; (5)

(1) 简谐运动的 (3)简谐运动的频率 f ?

x ? 0 时的 称为初相位。 六 三角函数模型的简单应用 注:解答三角函数应用题的基本步骤可按如下四步进行:审题→ 建模→解模→还原评价。

自主练习:
一、选择题: 1.已知 A={第一象限角},B={锐角},C={小于 90°的角},那么 A、 B、C 关系是( A.B=A∩C 2 A
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) B.B∪C=C (
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C .A C ) C
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D.A=B=C
3 2
1 2

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sin 2 1200 等于 3 B ? 2
sin ? ? 2 cos ? 3sin ? ? 5 cos ?

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?

D )

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3.已知 A.-2

? ?5, 那么tan? 的值为



B.2

C. (

23 16

D.- )

23 16

4.函数 y ? 2 sin( 2 x ? A.关于原点对称

?
3

) 的图象

? ,0)对称 6 ? C.关于 y 轴对称 D.关于直线 x= 对称 6 0 5 若角 600 的终边上有一点 ?? 4, a ?,则 a 的值是(
B.关于点(-
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C ?4 3 D ?4 3 3 x ? x 6. 要得到函数 y=cos( ? )的图象,只需将 y=sin 的图象( ) 2 4 2 ? ? A.向左平移 个单位 B.同右平移 个单位 2 2 ? ? C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 4 4 7.若函数 y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标伸长 ? 到原来的 2 倍,再将整个图象沿 x 轴向左平移 个单位,沿 y 轴向下 2 1 平移 1 个单位,得到函数 y= sinx 的图象 则 y=f(x)是 ( ) 2 1 ? 1 ? A.y= sin( 2 x ? ) ? 1 B.y= sin( 2 x ? ) ? 1 2 2 2 2 1 ? 1 ? C.y= sin( 2 x ? ) ? 1 D. sin( 2 x ? ) ? 1 2 4 2 4 5? 8.函数 y=sin(2x+ )的图像的一条对轴方程是( ) 2 ? ? ? 5? A.x=B. x=C .x= D.x= 4 2 4 8 ? 9.函数 y ? sin( x ? ), x ? R 是 ( ) 2 ? ? A. [ ? , ] 上是增函数 B. [0, ? ] 上是减函数 2 2 A
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4 3

B

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C. [?? ,0] 上是减函数 10 函数 y ? 2cos x ? 1 的定义域是
? ?? ? A . ? 2 k? ? , 2 k? ? ? ( k ? Z ) 3 3? ?

D. [?? , ? ] 上是减函数 ( )

? ?? ? B . ? 2 k? ? , 2 k? ? ? ( k ? Z ) 6 6? ?
2? 2? ? ? D. ? 2k? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) 3 3 ? ?

? 2? ? ? C. ? 2k? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) 3 3 ? ?

二、填空题:

? ? 2 11. 函数 y ? cos( x ? )( x ? [ , ? ]) 的最小值是 8 6 3
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.

? ? ? 12 若集合 A ? ? x | k? ? ? x ? k? ? ? , k ? Z ? , B ? ?x | ?2 ? x ? 2? , 3 ? ?
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则 A? B= 三、解答题:

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13.已知 sin x ? cos x ? 值.

1 ,且 0 ? x ? ? .求 sinx、cosx、tanx 的 5

15

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2 1 已知 tan x ? 2 ,求 sin 2 x ? cos 2 x 的值 3 4

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16. 已知α是第三角限的角,化简

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

17.已知曲线上最高点为(2, 2 ) ,由此最高点到相邻的最低点 间曲线与 x 轴交于一点(6,0) ,求函数解析式,并求函数取最小值 x 的值及单调区间
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A 级:
一、选择题: 1.若角 ? 的终边过点(-3,-2),则 ( ) A.sin ? tan ? >0 B.cos ? tan ? >0 C.sin ? cos ? >0 D.sin ? cot ? >0 ? 2.要得到 y ? 3 sin( 2 x ? ) 的图象只需将 y=3sin2x 的图象( ) 4 ? ? A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 4 4 ? ? C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 8 8 二、填空题 3.函数 y ? tan 2x 的定义域是 ? 4. y ? 3 sin( ?2 x ? ) 的振幅为 初相为 3 ? ? 5.把函数 y ? sin( 2 x ? ) 先向右平移 个单位,然后向下平移 2 3 2 个单位后所得的函数解析式为

B 级:
一、选择题:

1.已知 sin ? ? 0, tan? ? 0 ,则 1 ? sin 2 ? 化简的结果为( A. cos ? 2 A
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B. ? cos ?

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已知 tan? ? 3 , ? ? ? ?
? 1? 3 2

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B

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x ? 3.函数 y ? ? cos( ? ) 的单调递增区间是( 2 3

3? ,那么 cos ? ? sin ? 的值是( ) 2 ?1? 3 1? 3 1? 3 C D 2 2 2
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C. ? cos ?

D. 以上都不对

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3 ?

A. ?2k? ? 4 ? ,2k? ? 2 ? ?(k ? Z )
? ? 3 3 ? ?

B. ?4k? ? 4 ? ,4k? ? 2 ? ?(k ? Z ) ? ?
? 3

C. ?2k? ? 2 ? ,2k? ? 8 ? ?(k ? Z )
? ? 3 3 ? ?

D. ?4k? ? 2 ? ,4k? ? 8 ? ?(k ? Z ) ? ?
? 3 3 ?

二、解答题:
4. 如下图为函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? c( A ? 0, ? ? 0, ? ? 0) 图像的一部分

(1)求此函数的周期及最大值和最小值 (2)求与这个函数图像关于直线 x ? 2 对称的函数解析式

C 级:
一、选择题: 1.函数 y ? cos( 2 x ?
2 二、解答题

?
2

) 的图象的一条对称轴方程是





A. x ? ?

?

B. x ? ?

?
4

C. x ?

?
8

D. x ? ?

2

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1 已知 tan ? , 是关于 x 的方程 x2 ? kx ? k 2 ? 3 ? 0 的两个实 tan ?
7 ? ,求 cos ? ? sin? 的值 2
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根,且 3? ? ? ?

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