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2013高考数学(理)一轮复习教案:第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第7讲 函数图象


幻灯片 1 第 7 讲 函数图象 幻灯片 2

【2013年高考会这样考】 1.考查函数图象的识辨. 2.考查函数图象的变换. 3.利用函数图象研究函数性质或求两函数的图象的交点个数. 【复习指导】 函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具,是数形结 合的基础,是高考考查的热点,复习时,应重点掌握几种基本初 等函数的图象,并在审题、识图上多下功夫,学会分析“数”与 “形”的结合点,把几种常见题型的解法技巧理解透彻.
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基础梳理

1.图象变换法 (1)平移变换 ①水平平移:y=f(x± a)(a>0)的图象,可由y=f(x)的图象向 (+)或向 (-)平移 单位而得到.

②竖直平移:y=f(x)± b(b>0)的图象,可由y=f(x)的图象向 (+)或向
左 右 a个 上 下

(-)平移

单位而得到.

b个 幻灯片 4

(2)对称变换 ①y=f(-x)与y=f(x)的图象关于 ②y=-f(x)与y=f(x)的图象关于 ③y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于 对称. 对称. 对称.

由对称变换可利用y=f(x)的图象得到y=|f(x)|与y=f(|x|)的图 象.

y轴 x轴 原点 幻灯片 5

①作出y=f(x)的图象,将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称 轴翻折到上方,其余部分不变,得到y=|f(x)|的图象; ②作出y=f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分,并作y轴右边的 图象关于y轴对称的图象,即得y=f(|x|)的图象. ①作出y=f(x)的图象,将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称 轴翻折到上方,其余部分不变,得到y=|f(x)|的图象; ②作出y=f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分,并作y轴右边的 图象关于y轴对称的图象,即得y=f(|x|)的图象.

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(3)伸缩变换 ①y=af(x)(a>0)的图象,可将y=f(x)图象上每点的纵坐标伸(a >1时)或缩(a<1时)到原来的a倍,横坐标不变. ②y=f(ax)(a>0)的图象,可将y=f(x)的图象上每点的横坐标伸 1 (a<1时)或缩(a>1时)到原来的 倍,纵坐标不变. a (4)翻折变换 ①作为y=f(x)的图象,将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称 轴翻折到上方,其余部分不变,得到y=|f(x)|的图象; ②作为y=f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分,并作y轴右边的 图象关于y轴对称的图象,即得y=f(|x|)的图象.

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2.等价变换 例如:作出函数y= 1-x2的图象,可对解析式等价变形 ?y≥0 ? 2 2 y= 1-x ? ?1-x ≥0 ?y2=1-x2 ?
?y≥0 ? ?? 2 ?y =1-x2 ?

?x2+y2=1(y≥0),可

看出函数的图象为半圆.此过程可归纳为:(1)写出函数解析 式的等价组;(2)化简等价组;(3)作图.
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3.描点法作图 方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3) 讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化 趋势);(4)描点连线,画出函数的图象.
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一条主线 数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线,也是高考考 查的热点.作函数图象首先要明确函数图象的形状和位置,而 取值、列表、描点、连线只是作函数图象的辅助手段,不可本 末倒置.
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两个区别 (1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点 对称不同,前者是自身对称,且为奇函数,后者是两个不同的 函数对称. (2)一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称 也不同,前者也是自身对称,且为偶函数,后者也是两个不同 函数的对称关系.

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三种途径 明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径. (1)图象变换:平移变换、伸缩变换、对称变换. (2)函数解析式的等价变换. (3)研究函数的性质.
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双基自测 x+3 1.(人教A版教材习题改编)为了得到函数y=lg 10 的图象,只 需把函数y=lg x的图象上所有的点( ).

A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 解析 y=lg x+3 =lg(x+3)-1可由y=lg x的图象向左平移3个 10

单位长度,向下平移1个单位长度而得到. 答案 C

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2.(2011· 安徽)若点(a,b)在y=lg x图象上,a≠1,则下列点也 在此图象上的是(
?1 ? A.?a,b? ? ? ?10 ? C.? a ,b+1? ? ?

). B.(10a,1-b) D.(a2,2b)

解析 本题主要考查对数运算法则及对数函数图象,属于简单 题.当x=a2时,y=lg a2=2lg a=2b,所以点(a2,2b)在函数y= lg x图象上. 答案 D

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1 3.函数y=1- 的图象是( x-1

).

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解析 将y=

-1 的图象向右平移1个单位,再向上平移一个单 x

1 位,即可得到函数y=1- 的图象. x-1 答案 B

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1 4.(2011· 陕西)函数y=x3的图象是(

).

解析 该题考查幂函数的图象与性质,解决此类问题首先是考虑 函数的性质,尤其是奇偶性和单调性,再与函数y=x比较即可. 1 1 1 由(-x) 3 =-x 3 知函数是奇函数.同时由当0<x<1时,x 3 >x, 1 当x>1时,x <x,知只有B选项符合. 3 答案 B

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5.已知图①中的图象对应的函数为y=f(x),则图②的图象对 应的函数为( ).

A.y=f(|x|) C.y=f(-|x|) 解析
?f?-x?,x≥0, ? y=f(-|x|)=? ?f?x?,x<0. ?

B.y=|f(x)| D.y=-f(|x|)

答案 C

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考向一 作函数图象 【例1】?分别画出下列函数的图象: (1)y=|lg x|; (2)y=2x+2; (3)y=x2-2|x|-1; (4)y= x+2 . x-1 根据函数性质通过平移,对称等变换作出函数图

[审题视点] 象.
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?lg x ? (1)y=? ?-lg ?

?x≥1?, 图象如图①. x ?0<x<1?.

(2)将y=2x的图象向左平移2个单位.图象如图②.
?x2-2x-1 ? (3)y=? 2 ?x +2x-1 ?

?x≥0? .图象如图③. ?x<0?

(4)因y=1+

3 3 ,先作出y= 的图象,将其图象向右平移1个 x x-1

x+2 单位,再向上平移1个单位,即得y= 的图象,如图④. x-1

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(1)熟练掌握几种基本函数的图象,如二次函数、反 1 比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y=x+ x 的函 数;(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周 期变换等常用的方法技巧,来帮助我们简化作图过程.

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【训练1】 作出下列函数的图象: (1)y=2x 1-1; (2)y=sin|x|; (3)y=|log2(x+1)|. 解 (1)y=2x 1-1的图象可由y=2x的图象向左平移1个单位,
+ +

得y=2x+1的图象,再向下平移一个单位得到y=2x+1-1的图 象,如图①所示.

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(2)当x≥0时,y=sin|x|与y=sin

x的图象完全相同,又y=sin|x|

为偶函数,其图象关于y轴对称,如图②所示. (3)首先作出y=log2x的图象c1,然后将c1向左平移1个单位,得 到y=log2(x+1)的图象c2,再把c2在x轴下方的图象翻折到x轴 上方,即为所求图象c3:y=|log2(x+1)|.如图③所示(实线部 分).

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考向二

函数图象的识辨

【例2】?函数f(x)=1+log2x与g(x)=21-x在同一直角坐标系下 的图象大致是( ).

[审题视点]

在同一个坐标系中判断两个函数的图象,可根据

函数图象上的特征点以及函数的单调性来判断.

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解析

f(x)=1+log2x的图象由函数f(x)=log2x的图象向上平移

一个单位而得到,所以函数图象经过(1,1)点,且为单调增函 数,显然,A项中单调递增的函数经过点(1,0),而不是(1,1), 故不满足;
?1? 函数g(x)=21-x=2× ?2? x,其图象经过(0,2)点,且为单调减函 ? ?

数,B项中单调递减的函数与y轴的交点坐标为(0,1),故不满 足;D项中两个函数都是单调递增的,故也不满足. 综上所述,排除A,B,D.故选C. 答案 C

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函数图象的识辨可从以下方面入手: (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域, 判断图象的上下位置; (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的周期性,判断图象的循环往复. 利用上述方法,排除、筛选错误与正确的选项.

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【训练2】 (2010· 山东)函数y=2x-x2的图象大致是(

).

解析

当x>0时,2x=x2有两根x=2,4;当x<0时,根据图象

法易得到y=2x与y=x2有一个交点,则y=2x-x2在R上有3个零 点,故排除B、C;当x→-∞时,2x→0.而x2→+∞,故y=2x -x2<0,故选A. 答案 A

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考向三

函数图象的应用

【例3】?已知函数f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合M={m|使方程f(x)=m有四个不相等的实根}. [审题视点] 作出函数图象,由图象观察.
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??x-2?2-1, x∈?-∞,1]∪[3,+∞?, ? f(x)=? ?-?x-2?2+1, x∈?1,3?, ?

作出图象如图所示. (1)递增区间为[1,2]和[3,+∞), 递减区间为(-∞,1]和[2,3]. (2)由图象可知,y=f(x)与y =m图象, 有四个不同的交点,则0<m<1, ∴集合M={m|0<m<1}.

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(1)从图象的左右分布,分析函数的定义域;从图象 的上下分布,分析函数的值域;从图象的最高点、最低点,分 析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性; 从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等. (2)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题,比如判 断方程是否有解,有多少个解?数形结合是常用的思想方法.

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【训练3】 (2010· 湖北)若直线y=x+b与曲线y=3- 4x-x2 有 公共点,则b的取值范围是( A.[-1,1+2 2] C.[1-2 2,3] ). B.[1-2 2,1+2 2] D.[1- 2,3]

解析 在同一坐标系下画出曲线y=3- 4x-x2 (注:该曲线是 以点C(2,3)为圆心、2为半径的圆不在直线y=3上方的部分)与

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直线y=x的图象,平移该直线,结合图形分析可知,当直线沿 y轴正方向平移到点(0,3)的过程中的任何位置相应的直线与曲 线y=3- 4x-x2都有公共点;注意到与y=x平行且过点(0,3) 的直线的方程是y=x+3;当直线y=x+b与以点C(2,3)为圆 心、2为半径的圆相切时(圆不在直线y=3上方的部分),有 |2-3+b| =2,b=1-2 2.结合图形可知,满足题意的只有C选 2 项. 答案 C

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难点突破 5——高考中函数图象的考查题型

涉及函数图象的知识点在高考中的考查形式主要有三种类型: 一、由解析式选配图象 解决时需要从定义域、值域、奇偶性、单调性等方面综合考查, 有时也可以根据特殊情况(如特殊点、特殊位置)进行分析.

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x 【示例】? (2011· 山东)函数y=2-2sin x的图象大致是(

).

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二、图象平移问题 一般地,平移按“左加右减,上正下负”进行函数式的变换. 【示例】? (2011· 郑州模拟)若函数f(x)=kax-a x(a>0且a≠1)


在(-∞,+∞)上既是奇函数又是增函数,则g(x)=loga(x+k) 的图象是( ).

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三、图象对称问题 【示例】? (2011· 厦门质检)函数y=log2|x|的图象大致是( ).

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