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江苏省无锡市2015届高三上学期期末考试第一次模拟考试数学试题 含答案


江苏省无锡市 2015 届高三上学期期末考试第一次模拟考试

数学试题
一、填空题 1.已知复数 z 满足 ?1 ? i ? z ? 1 ? i ,则 z 的模为 .

2.已知集合 A ? ?x | x ? 2k ?1, k ? Z? , B ? ?x | ?1 ? x ? 3? ,则 A 3.已知角 ? 的终边经过点 P ? x, ?6? ,且 tan ? ? ?

B?
.

.

3 ,则 x 的值为 5

4.根据如图所示的流程图,则输出的结果为 . 5.将 2 本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行, 则 2 本数学书 相邻的概率为 . 6. 若一组样本数据 8, x,10,11,9 的平均数为 10 ,则该组样本数据的方差 为 .

7.已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y ? ? 离心率为 .

1 x ,则该双曲线的 3

8.三棱锥 P ? ABC 中,D, E 分别为 PB, PC 的中点, 记三棱锥 D ? ABE 的体积为 V1 , P ? ABC 的体积为 V2 ,则 9.将函数 y ? 3 cos x ? sin x ? x ?

V1 ? V2

.

? 的图像向左平移个 m ? m ? 0? 单位
.

长度后,所得的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是

10. 已 知 菱 形 ABCD 的 边 长 为 2 , ?BAD ? 120 , 点 E , F 分 别 在 边 B C, D C上 ,

B E? ? B C , CF ??

.若 C D AE ? BF ? ?1 ,则 ? ?
2 2

. .

11.已知正实数 a , b 满足 9a ? b ? 1 ,则

ab 的最大值为 3a ? b

12.已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,且满足 2an ?1 ? S n ? 2 n ?

?

*

? ,则满足

1001 S2 n 11 ? ? 的 n 的最大值为 1000 Sn 10
2 2

.

13.已知点 A? 0,2? 位圆 M : x ? y ? 2ax ? 2ay ? 0 ? a ? 0? 外一点,圆 M 上存在点 T 使得

?MAT ? 45 ,则实数 a 的取值范围是

.

14.已知函数 y ? f ? x ? 是定义域为

? 1 2 ?- 4 x , 0 ? x ? 2 ? 的偶函数, 当 x ? 0 时,f ? x ? ? ? ,若 x ?? ? 1 ? ? 3 , x ? 2 ? ? ? ? ?2? 4
有且仅有 8 个不同实数根,则实数 a 的取值

关于 x 的方程 ? ? f ? x ?? ? ? af ( x) ? 16 ? 0, a ?
2

7a

范围是 . 二、解答题 15.(本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1) . (1)当 时,求 tan( x ?

3 4

?
4

) 的值;

(2)设函数 f ? x ? ? 2(a ? b) ? b ,当 x ? ?0, 16. (本小题满分 14 分)

? ?? 时,求 f ? x ? 的值域. ? 2? ?

P 和下底面的对 如图,过四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 形木块上底面内的一点
角线 BD 将木块锯开,得到截面 BDEF . (1)请在木块的上表面作出过 P 的锯线 EF ,并说明理由; (2) 若该四棱柱的底面为菱形,四边形时矩形 BB1D1D ,试证明:平面

BDEF ? 平面 AC1CA1 .
17. (本小题满分 14 分) 某公司生产的某批产品的销售量 P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用 x 万元满足

x?2 1 (其中 0 ? x ? a, a 为正常数) .已知生产该批产品还要投入成本 6( P ? ) 万元 (不 4 P 20 ) 元/件. 包含促销费用) ,产品的销售价格定为 (4 ? P (1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数; P?
(2)当促销费用投入多少万元时,该公司的利润最大? 18. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的上顶点为 A , 直线 l : y ? kx ? m 交椭圆于 4 2

P, Q 两点,设直线 AP, AQ 的斜率分别为 k1 , k2 .
(1)若 m ? 0 时,求 k1 ? k2 的值; (2)若 k1 ? k2 ? ?1 时,证明直线 l : y ? kx ? m 过定点.

19. (本小题满分 16 分) 在数列 ?an ?、 ?bn ? 中,已知 a1 ? 0 , a2 ? 1 , b1 ? 1 , b2 ?

1 ,数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 2

数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且满足 Sn ? Sn?1 ? n2 , 2Tn?2 ? 3Tn?1 ? Tn ,其中 n 为正整数. (1)求数列 ?an ?、 ?bn ? 的通项公式; (2)问是否存在正整数 m , n ,使

Tn ?1 ? m ? 1 ? bm? 2 成立?若存在,求出所有符合条件的有 Tn ? m

序实数对 ? m, n ? ,若不存在,请说明理由. 20. (本小题满分 16 分) 设函数 f ? x ? ? x2 ln x-ax2 +b 在点 x0, f ? x0 ? 处的切线方程为 y ? ? x ? b . (1)求实数 a 及 x0 的值; (2)求证:对任意实数 ,函数 f ? x ? 有且仅有两个零点.

?

?

附加题
21、A(10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E, 且 CB=CE。 (1)证明:∠D=∠E; (2)设 AD 不是圆 O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ ADE 为等边 三角形。

21、B(10 分)选修 4-2,矩阵与变换 已知矩阵 M= ,试求
1

(I)矩阵 M 的逆矩阵 M- ; 1 (II)直线 y=2x 在矩阵 M- 对应的变换作用下的曲线方程。

21、C(10 分)选修 4-4,坐标系与参数方程 已知半圆 C 的参数方程为 (I)在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 求半圆 C 的极坐标方程; (II)在(I)的条件下,设 T 是半圆 C 上的一点,且 OT= 3 ,试写出 T 点的极坐标。 21、D(10 分)选修 4-5,不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-1|+|x-a|、 (I)当 a=2 时,解不等式 f(x)≥4; (II)若不等式 f(x)≥a 恒成立,求实数 a 的取值范围。

22、如图,抛物线关于 y 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(2,1) , 在抛物线上。 (I)求抛物线的方程; (II)若∠APB 的平分线垂直于 y 轴,证明直线 AB 的斜率为定值。



23 、 已 知 整 数 设

,集合

的所有含有 3 个元素的子集记为

中所有元素之和为


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