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2011学年浙江省第二次五校联考数学(文科)试题卷2012.4


2011 学年浙江省第二次五校联考

数学(文科) 数学(文科)试题卷
本试卷分为选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部分 3 至 4 页.满分 150 分,考试时间 120 分种. 请考生按规定用笔将所有试题的答案标号涂、写在答题纸上.

选择题部分( 选择题部分(共 50 分)
注意事项: 注意事项: 1、答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 2、每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应试题的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其他答案标号.不能答在试题卷上. 参考公式: 参考公式: 如果事件 A, B 互斥,那么 P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) 球的表面积公式: S = 4π R 2 (其中 R 表示球的半径)

4 π R3 (其中 R 表示球的半径) 3 1 锥体的体积公式: V = Sh (其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高) 3 柱体的体积公式 V = Sh (其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高)
球的体积公式: V = 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 选择题: 是符合题目要求的. 是符合题目要求的. 1.在复 平面内,复数 A.第一象限

1+ i ( i 为虚数单位)对应的点位于( 2?i
B.第二象限 C.第三象限 )

) D.第四象限

2.若集合 ?1, a, ? = 0, a 2 , a + b ,则 a ? b 的值为( A.0 B.1 C.-1

? ?

b? a?

{

}

D. ±1 )

3.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为(

侧侧

A.

B.

C.

D.

4.若“ 0 < x < 1 ”是“ ( x ? a )[ x ? ( a + 2)] ≤ 0 ”的充分而不必要条件,则实数 a 的取值范围是( A. [ ?1,0] B. ( ?1,0)



C. ( ?∞,0] U [1, +∞ )

D. ( ?∞, ?1) U (0, +∞ ) )

5.已知直线 l , m 与平面 α,β ,γ 满足 β I γ = l,l // α,m ? α 和 m ⊥ γ ,则有( A. α ⊥ γ 且 l ⊥ m C. m // β 且 l ⊥ m

B. α ⊥ γ 且 m // β D. α // β 且 α ⊥ γ π 6. 若函数 f ( x ) = a sin x + b cos x (ab ≠ 0) 的图象向左平移 个单位后得到的图象对应的函数是奇 3 函数,则 直线 ax ? by + c = 0 的倾斜角为( )
A . 30o

B. 60o
2

C. 120o

D. 150o

7. 已知数列 {an } , an = ?2n + λ n ,若该数列是递减数列,则实数 λ 的取值范围是( A.



( ?∞,3]

B.

( ?∞, 4]

C.

( ?∞,5)

D.

( ?∞, 6 )

8. 过双曲线

x2 y 2 ? = 1 ( a > 0, b > 0) 的右焦点 F2 作斜率为 ?1 的直线, 该直线与双曲线的两条渐近线 a 2 b2 uuur uuu r 的交点分别为 A, B .若 F2 A = AB ,则双曲线的渐近线方程为( )

A. 3 x ± y = 0 B. x ± 3 y = 0 C. 2 x ± 3 y = 0 uuu r uuu r uuu r uuu uuu r r 9. 若 AB = 1 , CA = 2 CB ,则 CA ? CB 的最大值为( )

D. 3 x ± 2 y = 0

A.

2 3

B.2

C.

8+5 2 9

D.3

1 ? ?| x + x |,| x |≥ 1 , g ( x) 是二次函数,若 f [ g ( x )] 的值域是 [0, +∞ ) ,则 10.设函数 f ( x) = ? π ?2sin x,| x |< 1 ? 2 ( ) g ( x ) 的值域是 A. ( ?∞, ?1] ∪ [1, +∞ ) B. ( ?∞, ?1] C. [0, +∞ ) D. [1, +∞ )
非选择题部分( 非选择题部分(共 100 分)
小题, 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 填空题:
11. 为了分析某同学在班级中的数学学习情况,统计了该同学在 6 次月考
开开
i=1,S=0 i=i+1 S=S+i2

中数学名次,用茎叶图表示如图所示:

1 3589 ,则该组数据的中 2 12

S=S-i2 是

位数为

.


12.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为
2 2

.
i<4?

i是是是?
是 否

13. C : x + y ?4 x ? 2 y = 0 关于直线 l : x + y + 1 = 0 对称的圆 C ′ 的方 圆

输输S

结结

程为

.

14.平面内与直线平行的非零向量称为直线的方向向量;与直线的方向向量垂直的非零向量称为 直线的法向量.在平面直角坐标系中,利用求动点的轨迹方程的方法,可以求
r 出 过 点 A(2,1) 且 法 向 量 为 n = ( ?1,2)的直线 ( 点 法 式 ) 方 程 为

第 12 题

?( x ? 2) + 2( y ? 1) = 0 ,化简后得 x ? 2 y = 0 .类比以上求法,在空间直角坐标系中,经过点 A(2,1,3) ,

且法向量为 n = ( ?1,2,1) 的平面(点法式)方程为_______________(请写出化简后的结果).

r

15 . 椭 圆

x2 y2 + = 1( a > b > 0 ) , F1 , F2 分 别 是 其 左 、 右 焦 点 , 若 椭 圆 上 存 在 点 P 满 足 a2 b2

PF1 = 2 PF2 ,
则该椭圆离心率的取值范围是_____________. 16 . 若 AB = ( x, y ) , x, y ∈ {?2, ?1, 0,1, 2} , a = (1, ?1) , 则 AB 与 a 的 夹 角 为 锐 角 的 概 率 是 .

uuu r

r

uuu r

r

? ? ?x ≥ 1 ? ? ? 17 . 已 知 集 合 A = ?( x, y ) | ? y ≤ 1 ? , 集 合 B = {( x, y ) | x cos α + y sin α ? 1 = 0,α ∈ [0,2π )} , 若 ? ? ? ?x ? y ≤ 2 ? ?

A ∩ B ≠ ? ,则 α 的取值范围是____________.

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 18. (本题满分 14 分)设△ABC 的三内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,已知 a、b、c 成等 比数列,且 sin A sin C = . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 x ∈ [0,π ) ,求函数 f ( x ) = sin( x ? B ) + sin x 的值域.
3 4
[来源:学#科#网]

19. (本题满分 14 分)设公比为正数的等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a3 = 8, S2 = 48 ,数 列 {bn } 满足 bn = 4log 2 an .
[来源

(Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求正整数 m 的值,使得

bm ? bm+1 是数列 {bn } 中的项. bm+2

D

20. (本题满分 14 分) 如图, DC ⊥ 平面 ABC , ∠BAC = 90° ,
AC = 1 3 BC = CD ,点 E 在 BD 上,且 BE = 3ED .[来源 2 2
B

E

(Ⅰ)求证: AE ⊥ BC ; (Ⅱ)求二面角 B ? AE ? C 的余弦值.

C

A

(第 20 题)

21. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x ) = x ? 2 x + 1, g ( x ) = ln x .
3

(Ⅰ)求 F ( x ) = f ( x) ? g ( x) 的单调区间和极值; (Ⅱ)是否存在实常数 k 和 m ,使得 x > 0 时, f ( x ) ≥ kx + m 且 g ( x ) ≤ kx + m ? 若存在,求出 k 和 m 的值;若不存在,说明理由.

22. (本题满分 15 分)已知抛物线 x 2 = 4 y . (Ⅰ)过抛物线焦点 F ,作直线交抛物线于 M , N 两点,求 MN 最小值; 过 (Ⅱ) 如图,P 是抛物线上的动点, P 作圆 C : x + ( y + 1) = 1 的切线交直线 y = ?2 于 A, B 两
2 2

点,当 PB 恰好切抛物线于点 P 时,求此时 ?PAB 的面积.

y

P

O x A C B

2011 学年浙江省第一次五校联考

数学(文科) 数学(文科)答案
一、选择题: 选择题: 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 A 5 A 6 D 7 D 8 A 9 B 10 C

二、填空题: 填空题: 11. 18.5 13. ( x + 2) 2 + ( y + 3) 2 = 5 12.-6 14. x ? 2 y ? z + 3 = 0

?1 ? ? ,1 ? 15. ? 3 ?
17. ? 0, ? ∪ ? , 2π ? ? 2? ? 4 ?

16.

8 25

? π?

? 7π

?

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 18.解:(Ⅰ)因为 a、b、c 成等比数列,则 b2 = ac .由正弦定理得 sin 2 B = sin A sin C . . 又 sin A sin C = ,所以 sin 2 B = 因为 B∈(0,π),所以 B=
3 4 3 3 .因为 sinB>0,则 sin B = . 4 2
2π . 3 π . 3

π

3

又 b2 = ac ,则 b ≤ a 或 b ≤ c ,即 b 不是△ABC 的最大边,故 B = 分 (Ⅱ)因为 B =

LLLL 6

π π π π , 则 f ( x ) = sin( x ? ) + sin x = sin x cos ? cos x sin + sin x 3 3 3 3

3 3 π = sin x ? cos x = 3 sin( x ? ) . 2 2 6

LLLL 1 0 分
x ∈ [0,π ) ,则 ?

π
6

≤ x?

π
6

<

5π π 1 ,所以 sin( x ? ) ∈ [ ? ,1] . 6 6 2 3 , 3] . 2

故函数 f ( x ) 的值域是 [ ?

LLLL 1 4 分
? a1 ? q2 = 8 1 1 19. 解: (Ⅰ)设 {an } 的公比为 q ,则有 ? ? q = 或 q = ? (舍) 。 . 2 2 ? a1 + a1q = 28

则 a1 =

8 1 = 32 , an = 32 ? ( )n ?1 = 2 6? n , 2 q 2

LLLL 4 分 LLLL 6 分

bn = 4 log 2 an = 4log 2 26 ? n = ?4 n + 24 。
即数列 {an } 和 {bn } 的通项公式为 an = 32 ? ( )

1 2

n ?1

= 2 6? n , bn = ?4 n + 24 。

(Ⅱ)

bm ? bm+1 (24 ? 4 m)(20 ? 4 m) 4(6 ? m)(5 ? m) = = ,令 t = 4 ? m(t ≤ 3, t ∈ Z ) ,所以 bm+2 (16 ? 4 m) (4 ? m)

bm ? bm+1 4(6 ? m)(5 ? m) 4(2 + t )(1 + t ) 2 = = = 4(t + 3 + ) , bm+2 (4 ? m) t t

LLLL 1 0 分

如果

bm ? bm+1 2 2 是数列 {bn } 中的项,设为第 m0 项,则有 4(t + 3 + ) = 4(6 ? m0 ) ,那么 t + 3 + 为 bm+2 t t

小于等于 5 的整数,所以 t ∈ {?2, ?1,1,2} . 当 t = 1 或 t = 2 时, t + 3 +

2 = 6 ,不合题意; t 2 当 t = ?1 或 t = ?2 时, t + 3 + = 0 ,符合题意. t bm ? bm+1 是数列 {bn } 中的项. LLLL 1 4 分 bm+2
E

所以,当 t = ?1 或 t = ?2 时,即 m = 5 或 m = 6 时,

D

20. (1)面 BCD 中,作 EH⊥B C 于 H,因 CD⊥BC,故 EH||CD 因 DC ⊥面 ABC ,故 EH⊥面 ABC 连 AH,取 BC 中点 M,可得正△ACM,H 是 MC 中点,得 AH⊥B C BC⊥面 AHE ? BC ⊥ AE ………6 分 B (2)作 BO⊥AE 于 O,连 CO 由(1)得 AE⊥面 BCO, ? ∠BOC 就是 B ? AE ? C 的平面角………10 分 令 AC=1, ?ACE 中, EC = AC = 1, AE =

C

6 10 ? O 是 AE 中点 ? CO = 2 4

A

Rt ?BOA 中可得 BO =

42 4

?BOC 中, BO =

42 10 6 105 , CM = , BC = 2 ? cos BOC = ? =? ………14 分 4 4 35 420
3

21. 解 : (1) F ( x ) = x ? 2 x + 1 ? ln x ( x > 0 ) ,求导数得 F ′ ( x ) = .

( x ? 1)( 3x + 1)
x

( x > 0)

∴ F (x ) 在(0,1)单调递减,在(1,+ ∞ )单调递增,从而 F (x ) 的极小值为 F (1) = 0 。
………6 分 (2)因 f ( x ) 与 g ( x ) 有一个公共点(1,0),而函数 g ( x ) 在点(1,0)的切线方程为 y = x ? 1 。…9 分 下面验证 ?

? f ( x) ≥ x ?1 ? 都成立即可。 ?g ( x) ≤ x ?1 ?
3 3

设 h ( x ) = x ? 2 x + 1 ? ( x ? 1) = x ? 3 x + 2 ( x > 0 ) 求导数得 h′ ( x ) = 3 x ? 3 = 3 ( x + 1)( x ? 1)( x > 0 )
2

∴ h( x ) 在(0,1)上单调递减, (1,+∞) 上单调递增,所以 h ( x ) = x3 ? 2 x + 1 ? ( x ? 1)( x > 0 ) 的最 在
小值为 h(1) = 0 , 所以 f ( x ) ≥ x ? 1 恒成立。 12 分 设 k ( x ) = ln x ? ( x ? 1) ? k ′ ( x ) = ………………

1? x ( x > 0) x

k ( x ) 在(0,1)上单调递增, (1,+∞) 上单调递减, 在 所以 k ( x ) = ln x ? ( x ? 1) 的最大值为 k (1) = 0
所以 k ( x ) ≤ x ? 1 恒成立。 故存在这样的实常数 k 和 m ,且 k = 1 且 m = ?1 。 22. .
y

……………………15 分

P

O x A C B

[解] (Ⅰ)F(0,1) 设 PF:y=kx+1 代入 x 2 = 4 y 得 x ? 4kx ? 4 = 0
2

PQ = y1 + y2 + 2 = k ( x1 + x2 ) + 4 = 4k 2 + 4 ≥ 4

故当 k=0 时, PQ (2)设 P ? a,

min

=4

……………………5 分

? ?

a2 ? x2 x a a2 a a2 ,y= ? y′ = ? 抛物线在点 P 处切线: y = ( x ? a ) + = x? ? 4 ? 4 2 2 4 2 4
a2 1? 4 a +1 4
2

圆心 C 到该切线距离=1 ?

= 1 ? a 2 = 12

由对称性,不妨设 P 2 3,3

(

)

……………………9 分

显然过 P 作圆 C 的两条切线斜率都存在,设 y ? 3 = k x ? 2 3 ? kx ? y + 3 ? 2 3k = 0

(

)

4 ? 2 3k
因相切,故

k +1
2

= 1 ? 11k 2 ? 16 3k + 15 = 0 ? k = 3or
?5 +2 3 k

5 3 11
………………13 分

y ? 3 = k x ? 2 3 中,令 y=-2,得 x= ? AB =

(

)

?5 ?5 1 ? = 2 3 ? S ?PAB = AB ( yP + 2 ) = 5 3 2 3 5 3 11

……………15 分


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