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高一数学培优训练题三


高一数学培优训练题三
一、选择题 1.在四面体 ABCD 中,设 AB=1,CD= 3 ,直线 AB 与直线 CD 的距 离为 2,夹角为 。则四面体 ABCD 的体积等于( A.
3 2

? 3



B.

1 3

C.

1 2

D.

3 3

2.有 10 个不同的球,其中,2 个红球、5 个黄球、3 个白球。若取 到一个红球得 5 分,取到一个白球得 2 分,取到一个黄球得 1 分, 那么,从中取出 5 个球,使得总分大于 10 分且小于 15 分的取法 种数为( A.90 ) B.100 C.110 D.120

3.已知 f(x)=3x2-x+4, f(g(x))=3x4+18x3+50x2+69x+48.那么,整系 数多项式函数 g(x)的各项系数和为( A.8 B.9 C.10 D.11 ) )

4.设 a,b>0,且 a2008+b2008=a2006+b2006。则 a2+b2 的最大值是( A.1 B.2 C.2006 D.2008
1 3

5.设在 xOy 平面上,0<y≤x2,0≤x≤1 所围成图形的面积为 。则集 合 M={(x,y)|x≤|y|}, N={(x,y)|x≥y2|的交集 M∩N 所表示的图形 面积为( A.
2 3

) B.
1 3

C.1

D.

1 6

二、填空题

6.已知方程组

?

y x log 225 ? log64 ? 4,

log 225 ?log64 ?1, x y

的解为

?

x ? x1 , y ? y1 , 和

?

x ? x2 , y ? y2 , 则

log ?301 2 1

x x y y2 ?

?

.

7.已知集合 A ? ?1, 2,?,10? , f 是 A ? A 的映射,当 a,b ? A,a ? b 时,
f ? a ? ? f ?b ? , 且对于任意一个 i ? A , 都有 f ? i ? ? i .

则这样的映射 f



个.

8.若关于 x 的方程 x3 ? ax2 ? 2ax ? a2 ?1 ? 0 恰有一个实数根,则实数 a 的取值范围是 .

9.已知两点 A(-3,4)和 B(3,2),过点 P(2,-1)的直线与线段 AB 有公 共点,则该直线的倾斜角的取值范围是__________. 10.
4 2 函数 f(x)= x ? 3 x ? 6 x ? 13 ?

x 4 ? x 2 ? 1 的最大值为__________.

11.设 f(x)是定义在(-∞,+∞)上以 2 为周期的函数,对 k∈Z, 用 Ik 表示区间(2k-1, 2k+1],已知当 x∈I0 时,f(x)=x2,求 f(x)在 Ik 上的解析式__________. 12.已知 f(x)是定义在 R 上的函数,f(1)=1,且对任意 x∈R 都有 f(x+5)≥f(x)+5, f(x+1) ≤f(x)+1。若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2002)= ________. 13.已知 a>0,f(x)=ax2+bx+c,对任意 x∈R 有 f(x+2)=f(2-x),若 f(1-2x2)<f(1+2x-x2),则 x 的取值范围为__________. 14. 若 cos x ? 0 , 且 cos( x ? z ) ? , z ? 0 ,则满足上述条件的 z 的最小 值为 .
1 2

三、解答题

15. 将集合 S ? ?1, 2,?,36? 分拆为 k 个互不相交的非空子集 A1 , A2 ,?, Ak 的并, 若对于每一个 Ai ? i ? 1, 2,?, k ? , 其中任意两个不同的元素之和都 不是完全平方数,求 k 的最小值

16.设 f(x)是定义在 R 上的以 2 为周期的函数,且是偶函数,在区 间[2,3]上,f(x)=-2(x-3)2+4。矩形 ABCD 的两个顶点 A,B 在 x 轴上,C,D 在函数 y=f(x) (0≤x≤2)的图象上。求矩形 ABCI 面积的最大值。

17.已知 a, b, c∈R, f(x)=ax2+bx+c, g(x)=ax+b, 当|x|≤1 时,

|f(x)|≤1, (1)求证:|c|≤1; (2)求证:当|x|≤1 时,|g(x)|≤2; (3)当 a>0 且|x|≤1 时,g(x)最大值为 2,求 f(x).

参考答案 1.C. 过点 D 作 DF // AB,过点 A 作 AE // BC,联结 CE,EF,AF,DF,将棱锥补成棱柱。

1 1 1 CE?CDsin∠ECD?h= . 3 2 2 2.C. 符合要求的取球情况共有四种: 红红白黄黄,红红黄黄黄,红白白白黄,红白白黄黄。
故所求棱锥面积为 ?
1 3 1 3 1 1 故不同的取法数为 C3 C52 ? C5 ? C 2 C3 C5 ? C 2 C32 C52 ? 110 .

3.A. 设 g(x)的各项系数和为 s,则 f(g(1))=3s2-s+4=188. 23 解得 s=8 或 s ? ? (舍去) 。 3 4.B. 因为 a2008+b2008≥a2006b2+b2006a2, 又(a2006+b2006)(a2+b2)=a2008+b2008+a2006b2+b2006a2≤2(a2008+b2008), 且 a2008+b2008=a2006+b2006, 所以 a2+b2≤2.
5.B. M∩Nd xOy 平面上的图形关于 x 轴对称,由此,M∩N 的图形面积只要算出在第一 象限的图形面积乘以 2 即可。由题意知 M∩N 的图形在第一象限的面积为 6.12 7. 945 8. a ?

1 1 1 ? ? . 2 3 6

4 3

15、3. 提示:考虑 6、19、30 或 1、15、10、6 等即知 k ? 3 只需令

A1 ? 4k ? 1 k ? 9, k ? N * ? ?4,8,16, 24,36? A2
*

? ? ? ?4k ? 3 k ? 9, k ? N ? ? ?6,14,18, 26,34?
2

A3 ? ?2,10,12, 20, 22, 28,30,32?
16.当 0≤x≤1 时,有 f(x)=f(x+2)=-2(x-1) +4; 2 当-1≤x≤0 时,有 f(x)=f(-x)=-2(-x-1) +4; 2 2 当 1≤x≤2 时,有 f(x)=f(x-2)=-2[-(x-2)-1] +4=-2(x-1) +4. 设 D(x,t), C(2-x,t). 2 则 t=-2(x-1) +4,易知 S 矩形 ABCD=|AB|?|BC|=(2-2x)t= (8 ? 2t )t ? t ?

? (8 ? 2t ) ? t ? t ? ? ? 3 ? ?

3

?

16 6 . 9 6 16 6 8 . ,即 x ? 1 ? 时,矩形 ABCD 面积最大值 3 9 3

当且仅当 t ?


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