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【创新方案】(浙江专版)2014届高考数学一轮复习 2.9 函数模型及其应用限时集训 理


限时集训(十一)

函数模型及其应用

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系图, 若用黑点 表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是( )

2.(2013·济南模拟)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为

L1=5.06x-0.15x2 和 L2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆
车,则能获得的最大利润为( A.45.606 万元 C.45.56 万元 ) B.45.6 万元 D.45.51 万元
2

3.某地 2011 年底人口为 500 万,人均住房面积为 6 m ,如果该城市人口平均每年增长 率为 1%.问为使 2021 年底该城市人均住房面积增加到 7 m ,平均每年新增住房面积至少为 (1.01 ≈1.104 6)( A.90 万 m C.85 万 m
2 10 2

) B.87 万 m D.80 万 m
2

2

2

4.某产品的总成本 y(单位:万元)与产量 x(单位:台)之间的函数关系式是 y=3 000 +20x-0.1x (0<x<240,x∈N ).若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本时(销售收 入不小于总成本)的最低产量是( A.100 台 C.150 台 ) B.120 台 D.180 台
2 *

5.某商店按每件 80 元的成本购进某商品 1 000 件,根据市场预测,销售价为每件 100 元时可全部售完,定价每提高 1 元时销售量就减少 5 件.若要获得最大利润,则销售价应定 为每件( ) B.110 元 D.190 元

A.100 元 C.150 元

6.某文具店出售羽毛球拍和羽毛球,球拍每副定价 20 元,羽毛球每个定价 5 元,该店 制定了两种优惠方法:①买一副球拍赠送一个羽毛球;②按总价的 92%付款.现某人计划购 买 4 副球拍和 30 个羽毛球,两种方法中,更省钱的一种是( )

1

A.不能确定 C.②省钱

B.①②同样省钱 D.①省钱

7.图形 M(如图所示)是由底为 1,高为 1 的等腰三角形及高为 2 和 3 的两个矩形所构成,函数 S=S(a)(a≥0)是图形 M 介于平行线 y=0 及 y=a 之间的那一部分面积,则函数 S(a)的图象大致是( )

8.某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为 60°(如图),考 虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面面积为 9 3平方 米,且高度不低于 3米.记防洪堤横断面的腰长为 x 米,外周长(梯形 的上底线段 BC 与两腰长的和)为 y 米.要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米,则其腰 长 x 的范围为( A.[2,4] ) B.[3,4] C.[2,5] D.[3,5]

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.(2013·郑州模拟)一高为 H,满缸水量为 V 的鱼缸截面如图所示,其底 部破了一个小洞 ,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为 h 时的水的体积为 v,则 函数 v=f(h)的大致图象可能是图中的________.

10. (2013·江南十校联考)某公司购买一批机器投入生产, 据市场分析每台机器生产的 产品可获得的总利润 y(单位:万元)与机器运转时间 x(单位:年)的关系为 y=-x +18x- 25(x∈N ).则当每台机器运转________年时,年平均利润最大,最大值是______万元.
* 2

11.有一批材料可以建成 200 m 长的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩
2

形场地,中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示),则围成场地的最大面积为 ________(围墙厚度不计). 12.一块形状为直角三角形的铁皮,两直角边长分别为 40 cm、60 cm,现要将它剪成 一个矩形,并以此三角形的直角为矩形的一个角,则矩形的最大面积是________ cm . 13.某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠,商场规定: ①如一次购物不超过 200 元,不予以折扣; ②如一次购物超过 200 元,但不超过 500 元,按标价予以九折优惠; ③如一次购物超过 500 元的, 其中 500 元给予九折优惠, 超过 500 元的给予八五折优惠; 某人两次去购物,分别付款 176 元和 432 元,如果他只去一次购买同样的商品,则应付 款________元. 14.某人用 10 万元买了一辆小汽车用来跑出租,已知这辆汽车从启用的第一年起连续 使用,第 n 年的保养维修费为 2 000 (n-1)元,使用它直到“报废最合算”(所谓“报废最 合算”是指使用的这辆汽车的年平均耗资最少)为止,则最佳报废时间为________年. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15. (2013·嘉兴模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品, 其生产的总成 本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 y= -48x+8 000, 已知此 5 生产线年产量最大为 210 吨. (1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元, 那么当年产量为多少吨时, 可以获得最大利润? 最大利润是多少?
2

x2

16.据气象中心观察和预测:发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移 动,其移动速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示,过线段 OC 上 一点 T(t,0)作横轴的垂线 l, 梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h) 内沙尘暴所经过的路程 s(km). (1)当 t=4 时,求 s 的值; (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若 N 城位于 M 地正南方向, 且距 M 地 650 km, 试判断这场沙尘暴是否会侵袭到 N 城. 如 果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城?如果不会,请说明理由.

3

17.某公司生产一种产品,每年需投入固定成本 0.5 万元,此外每生产 100 件这样的产 品,还需增加投入 0.25 万元,经市场调查知这种产品年需求量为 500 件,产品销售数量为

t 件时,销售所得的收入为?0.05t-

? ?

1 t2?万元. 20 000 ? ?

(1)该公司这种产品的年生产量为 x 件,生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产 量 x 的函数为 f(x),求 f(x); (2)当该公司的年产量为多少件时,当年所获得的利润最大?





[限时集训(十一)] 1.C 2.B 3.B 4.C 5.C 6.D 7.C 8.B 9.解析:当 h=0 时,v=0 可排除①、③;由于鱼缸中间粗两头细,∴当 h 在 附近时, 2 体积变化较快;h 小于 时,增加越来越快;h 大于 时,增加越来越慢. 2 2
4

H

H

H

答案:②

y y ? 25? 而 10. 解析: 由题意知每台机器运转 x 年的年平均利润为 =18-?x+ ?, x>0, ≤18 故 x

?

x?

x

-2

25=18-10=8. 当且仅当 x=5 时,年平均利润最大,最大值为 8 万元. 答案:5 8

11.解析:设矩形的宽为 x m, 则矩形的长为 200-4x m(0<x<50), 面积 S=x(200-4x) =-4(x-25) +2 500. 故当 x=25 时,
2

S 取得最大值 2 500 (m2).
答案:2 500 m
2

40-x 12.解析:设直角边为 40 cm 和 60 cm 上的矩形边长分别为 x cm、y cm,则 = 40 3 ,解得 y=60- x.矩形的面积 60 2

y

? ? S=xy=x?60- x? ?
3 2 ? 3 2 =- (x-20) +600, 2 当 x=20 时矩形的面积最大,此时 S=600. 答案:600 10 13.解析:由题意知付款 432 元,实际标价为 432× =480 元,如果一次购买标价 176 9 +480=656 元的商品应付款 500×0.9+156×0.85=582.6 元. 答案:582.6 14.解析:由题意知汽车在这 n 年的平均耗资为

f(n)=

10+0.2[1+2+?+?

n-1? ]

n n? n-1?
2

10+0.2× = =

n n 10 n 10 + -0.1,由基本不等式可得 f(n)= + -0.1≥2 10 n 10 n n
10 10 × -0.1=1.9,当

n

n 10 且仅当 = ,即 n=10 时取得最小值. 10 n
5

答案:10 15.解:(1)每吨平均成本为 (万元).

y x

y x 8 000 则 = + -48 x 5 x
≥2

x 8 000 · -48=32, 5 x

x 8 000 当且仅当 = ,即 x=200 时取等号. 5 x
∴年产量为 200 吨时,每吨平均成本最低为 32 万元. (2)设年获得总利润为 R(x)万元, 则 R(x)=40x-y =40x- +48x-8 000 5 =- +88x-8 000 5 1 2 =- (x-220) +1 680 5 (0≤x≤210). ∵R(x)在[0,210]上是增函数, ∴x=210 时,R(x)有最大值为

x2

x2

R(210)=- (210-220)2+1 680=1 660(万元).
∴年产量为 210 吨时,可获得最大利润 1 660 万元. 16.解:(1)由图象可知: 当 t=4 时,v=3×4=12, 1 ∴s= ×4×12=24. 2 (2)当 0≤t≤10 时,

1 5

s= ·t·3t= t2;
当 10<t≤20 时,

1 2

3 2

s= ×10×30+30(t-10)
=30t-150; 1 1 当 20<t≤35 时,s= ×10×30+10×30+(t-20)×30- ×(t-20)×2(t-20) 2 2

1 2

6

=-t +70t-550. 综上可知, 3 t∈[0,10], ?2t , ? s=? 30t-150, t∈? 10,20], ?-t +70t-550, t∈? 20,35]. ?
2 2

2

3 2 (3)∵t∈[0,10]时,smax= ×10 =150<650, 2

t∈(10,20]时,smax=30×20-150=450<650,
∴当 t∈(20,35]时, 令-t +70t-550=650, 解得 t1=30,t2=40. ∵20<t≤35, ∴t=30,即沙尘暴发生 30 h 后将侵袭到 N 城. 17.解:(1)当 0<x≤500 时,
2

f(x)=0.05x-

1 x2- 20 000

?0.25× x +0.5? ? ? 100 ? ?
x 19 1 =- + x- , 20 000 400 2
当 x>500 时,
2

f(x)=0.05×500-

1 2 ×500 - 20 000

?0.25× x +0.5? ? ? 100 ? ?
=12- 1 x,故 f(x)= 400
2

19 ?-20 1000x +400x-1,0<x≤500, ? 2 ? 1 ?12-400x,x>500. ? (2)当 0<x≤500 时,

f(x)=-

19 1 + x- 20 000 400 2

x2

1 345 2 =- (x-475) + , 20 000 32
7

345 故当 x=475 时,f(x)max= . 32 当 x>500 时,f(x)=12- 1 5 344 345 x<12- = < , 400 4 32 32

故当该公司的年产量为 475 件时,当年获得的利润最大.

8


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