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江苏省名校2014届高三12月月考数学试题分类汇编8:数列


江苏省名校 2014 届高三 12 月月考数学试题分类汇编 数列
一、填空题 1、(江苏省扬州中学 2014 届高三上学期 12 月月考)在等差数列 {an } 中,若 a7 ? a8 ? a9 ? 3 ,则 该数列的前 15 项的和为 ▲ 答案:15 .

2、 (江苏省南京市第一中学 2014 届高三 12 月月考) 等差数列 ?an ? 中, 其前 n 项和 S n , 若 S 7 ? 21, 则 a4 的值为 答案:3 3、(江苏省诚贤中学 2014 届高三 12 月月考)在等比数列{ an }中,若 a7 ? a9 ? 4, a4 ? 1 ,则 a12 的 值是 ▲ 答案:4 . .

4、 (江苏省东海县第二中学 2014 届高三第三次学情调研)已知数列 ?an ? 满足:an?1 ? an (1 ? an?1 ) ,

a1 ? 1 ,数列 ?bn ? 满足, bn ? an .an?1 ,则数列 ?bn ? 的前 10 项的和 s10 ?
答案:



.

10 11

5、(江苏省东海县第二中学 2014 届高三第三次学情调研)在等差数列 {an } 中,若 的前 n 项和 Sn 有最大值,那么当 Sn 取最小正数时 n 的值为 答案:39 ▲ .

a21 ? ?1 ,且它 a20

6、(江苏省阜宁中学 2014 届高三第三次调研)设 ?an ? 为递减的等比数列,其中 q 为公比,前 n 项 和 Sn ,且 ?a1 , a2 , a3? ? ??4, ?3, ?2,0,1,2,3,4? ,则 答案: 33

S10 = 1 ? q5



.

4

7 、 ( 江 苏 省 诚 贤 中 学 2014 届 高 三 12 月 月 考 ) 已 知 等 比 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n , 若
a 2 a 8 ? 2a 3 a 6 , S 5 ? ?62 ,则 a1 的值是



答案:-2 8 、 ( 江 苏 省 粱 丰 高 级 中 学 2014 届 高 三 12 月 第 三 次 月 考 ) 设 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为
Sn , Sm ?1 ? ?2, Sm ? 0, Sm ?1 ? 3 ,则公差 d ?





答案:1

9 、(江苏省如东县掘港高级中学 2014 届高三第三次调研考试)在 数 列

{an } 中 , a1 ? 1 ,

an ? 2 ? (?1) n an ? 2 , 记 Sn 是 数 列 {an } 的 前 n 项 和 , 则 S100 =
答案:2550 10、 (江苏省睢宁县菁华高级中学 2014 届高三 12 月学情调研)已知数列 {an } 成等差数列,其前 n 项 和为 Sn ,若 a1 ? a7 ? a13 ? ?? ,则 S13 的余弦值为 答案: ▲ .

1 2

11、(江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三 12 月月考)数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列,且

a2 ? a6 ? a8 ,则

S5 ? 3. a5

答案:3 二、解答题 1、(江苏省扬州中学 2014 届高三上学期 12 月月考)
2

已知函数 f ? x ? ? x ?1 ,设曲线 y ? f ? x ? 在点 ? xn , yn ? 处的切线与 x 轴的交点为 ? xn?1 ,0? ,其

中 x1 为正实数. (1)用 xn 表示 xn ?1 ; (2) x1 ? 2 ,若 an ? lg

n ? n ? 1? ,记数列 {an ? bn } 的前 n 项和 Tn ,求 Tn .. 2 解:(1)由题可得 f ? ? x ? ? 2x ,所以在曲线上点 ? xn , f ? xn ? ? 处的切线方程为
(3)若数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ?
2 ? 1? ? 2 xn ? x ? xn ? y ? f ? xn ? ? f ? ? xn ?? x ? xn ? ,即 y ? ? xn

xn ? 1 ,试证明数列 ?an ? 为等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; xn ? 1

2 2 令 y ? 0 ,得 ? xn ? 1 ? 2 xn ? xn ?1 ? xn ? ,即 xn ? 1 ? 2xn xn?1

?

?

由题意得 xn ? 0 ,所以 xn ?1 ?

2 xn ?1 ………………5′ 2 xn

2 xn ?1 ?1 2 2 xn ? 1 xn ?1 ? 1 2 xn xn ? 2 xn ? 1 (2)因为 xn ?1 ? ,所以 an ?1 ? lg ? lg 2 ? lg 2 xn ? 1 2 xn xn ?1 ? 1 xn ? 2 xn ? 1 ?1 2 xn

? x ? 1? ? lg n 2 ? xn ? 1?

2

? 2lg

xn ? 1 ? 2an 即 an?1 ? 2an , xn ? 1

所以数列 ?an ? 为等比数列故 an ? a1 2n ?1 ? lg

x1 ? 1 n?1 ? 2 ? 2n?1 lg 3 ………10′ x1 ? 1

(3)当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 1



当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn ?1 ?

n ? n ? 1? n ? n ? 1? ? ?n 2 2

所以数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? n ,故数列 ?an bn ? 的通项公式为 an bn ? n ? 2n?1 lg3

?Tn ? ?1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ?

? n ? 2 n ?1 ? lg 3

① ②

2 ①?2 的 2Tn ? 1? 2 ? 3 ? 2 ?

?

? n ? 2n ? lg 3

2 ①? ② 得 ?Tn ? 1 ? 2 ? 2 ?

n n 故 Tn ? n ? 2 ? 2 ? 1 lg 3 ………………16′

?

?

?

? 2n ?1 ? n ? 2n ? lg 3

2、(江苏省诚贤中学 2014 届高三 12 月 学科网月考) 已知 a 为实数,数列 ?an ? 满足 a1 ? a ,当 n ? 2 时, an ? ? (Ⅰ) 当a ? 100 时,求数列?an ?的前 100项的和S100 ;(5 分) (Ⅱ)证明:对于数列 ?an ? ,一定存在 k ? N ,使 0 ? ak ? 3 ;(5 分)
*

?an?1 ? 3 ?4 ? an ?1

(an?1 ? 3) (an ?1 ? 3)



(Ⅲ)令 bn ?

n an 20 ? a 2 ? a ? 3 ,当 时,求证: bi ? . (6 分) ? n n 2 ? (?1) 12 i ?1

解:(Ⅰ)当a ? 100 时, 由题意知数列 ?an ? 的前 34 项成首项为 100,公差为-3 的等差数列,从第 35 项开始,奇数项均为 3,偶数项均为 1,从而 S100 = =

(100+97+94+ ??? +4+1) +(3+1+ ??? +3+1) 共34项 共66项

(3 分)

(100 ? 1) ? 34 66 ? (3 ? 1) ? ? 1717 ? 132 ? 1849 . ??????(5 分) 2 2

(Ⅱ)证明:①若 0 ? a1 ? 3 ,则题意成立?????????????????(6 分) ②若 a1 ? 3 ,此时数列 ?an ? 的前若干项满足 an ? an?1 ? 3 ,即 an ? a1 ? 3(n ?1) . 设 a1 ? ?3k,3k ? 3?,(k ? 1, k ? N ) ,则当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? a1 ? 3k ? ? 0,3? .
*

从而此时命题成立????????????????????(8 分) ③若 a1 ? 0 ,由题意得 a2 ? 4 ? a1 ? 3 ,则由②的结论知此时命题也成立. 综上所述,原命题成立???????????????????(10 分)

(Ⅲ)当 2 ? a ? 3 时,因为 an ? ?

? a (n为奇数) , ?4 ? a(n为偶数)
(n为奇数)
???????(11 分)

a ? n n ? an ? 2 ? (?1) 所以 bn ? n =? 2 ? ( ?1) n ? 4 ? a n n ? ? 2 ? (?1)

(n为偶数)

因为 bn >0,所以只要证明当 n ? 3 时不等式成立即可. 而 b2 k ?1 ? b2 k ?

4 ? a a ? 22k ?1 ? 22 k ?1 ? (4 ? 2a) ? 22k ?1 ? 1 22 k ? 1 (22 k ?1 ? 1)(22 k ? 1) a ?

?

a ? 22 k ?1 ? 22 k ?1 a ? 22 k ?1 ? 22 k ?1 a ? 4 ? ? 2 k ?????????????(13 分) 24 k ?1 ? 22 k ?1 ? 1 24 k ?1 2
*

①当 n ? 2k (k ? N 且k ? 2) 时,

?b ? b ? b ? ?b ? 3 ?
i ?1 i 1 2 i ?3 i

2k

2k

a 4?a a?4 a?4 a?4 ? ( 2?2 ? 2?3 ????? 2?k ) 3 2 2 2

1 1 1 (1 ? ( )k ?1 ) (a ? 4) ? (1 ? ( )k ?1 ) 4 4 4 4 a ? 4 20 ? a 4 4 ? . ? (15 分) ? ? (a ? 4) ? 2 ? ? ? ? 1 12 3 3 12 3 12 1? 4
②当 n ? 2k ?1(k ? N 且k ? 2) 时,由于 bn >0,所以
*
2 k ?1 i ?1

? b ? ?b <
i i ?1 i

2k

20 ? a . 12

综上所述,原不等式成立??????????????????????(16 分) 3、(江苏省东海县第二中学 2014 届高三第三次学情调研) 已知数列 {an } 、 {bn } 满足 bn ? an?1 ? an (n ? N ? ) (1)若 a1 ? 1, bn ? n ,求数列 {an } 的通项公式。 (2)若 bn?1bn?1 ? bn (n ? 1) ,且 b1 ? 1, b2 ? 2 ,记 cn ? a6n?1 (n ? 1, n ? N ? ) ,求证数列 {cn } 为等差数 列。 解:(1)因为 bn ? an?1 ? an (n ? N ) ,且 a1 ? 1, bn ? n
?

n2 n ? ? 1 ??7 分 所以 an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ??? ? (an ? an?1 ) =1+2+3+?+ n = 2 2
(2)因为对任意的 n ? N ,有 bn ? 6 ?
?

bn ?5 b 1 ? ? n ?1 ? bn bn? 4 bn?3 bn? 2

又 b1 ? 1, b2 ? 2 所以 b3 ?

b b 1 b2 b 1 ? 2, b4 ? 3 ? 1, b5 ? 4 ? , b6 ? 5 ? , b1 b2 b3 2 b4 2

所以, cn?1 ? cn ? a6n?5 ? a6n?1 ? a6n ? a6n?1 ? (a6n?1 ? a6n ) ? (a6n?2 ? a6n?1 ) + (a6n?3 ? a6n?2 ) +

(a6n?4 ? a6n?3 )

+

(a6n?5 ? a6n?4 )

=

b6n?1 ? b6n ? b6n?1 ? b6n?2 ? b6n?3 ? b6n?4

=

b5 ? b6 ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ?

7 ,所以数列 {cn } 为等差数列??????????16 分 2

4、(江苏省东海县第二中学 2014 届高三第三次 学科网学情调研) 已知数列 {an } 满足: an ? ?1, a1 ?

1 2 2 , 3(1 ? an ?1 ) ? 2(1 ? an ) , 2

2 2 2 ? , cn ? an bn ? 1 ? an ?1 ? an (n ? N ) ,

(1)证明数列 {bn } 是的等比数列,并求数列 {bn } 、 {cn } 的通项公式。 (2)是否存在数列 {cn } 的不同项 ci , c j , ck (i ? j ? k ) 使之成为的等差数列?若存在,请求出这样不 同项 ci , c j , ck (i ? j ? k ) ;若不存在,请说明理由。 (3)是否存在最小的自然数 M,对一切 n ? N 都有 (n ? 2)cn ? M 恒成立?若存在,求出 M 的值, 若不存在,说明理由。 解:(1)因为 an ? ?1, a1 ?
?

1 2 2 2 , 3(1 ? an ?1 ) ? 2(1 ? an ) , bn ? 1 ? an , 2

2 3 2 3 bn?1 1 ? an 2 ?1 所以 ? ? (n ? N ? ) , b1 ? 1 ? a12 ? ,所以 {bn } 是以 为首项, 为公比的等比数 2 4 3 4 bn 1 ? an 3

列 ,所以 bn ?

3 2 n ?1 3 2 2 ? ( ) (n ? N ? ) ,所以 an ? 1 ? bn ? 1 ? ? ( ) n ?1 ( n ? N ? ) 4 3 4 3 3 2 2 2 n ?1 ? 所以 cn ? an ?1 ? an ? ? ( ) (n ? N ) ?????????? 6 分 4 3

(2)假设存在 ci , c j , ck (i ? j ? k ) 满足题意,则有 2c j ? ci ? ck 代入得

1 2 1 2 1 2 2 ? ? ( ) j ?1 ? ? ( )i ?1 ? ? ( ) k ?1 化简得 2 j ?i ?1 ? 3 j ?1 ? 2k ? j ?i , 4 3 4 3 4 3

即2 j ?i ?1 ? 2k ? j ?i ? 3 j ?1 ,左边为偶数,右边为奇数不可能等。
所以假设不存在,这样的三项不存在。 ??????????12 分

(n ? 2)cn ? (n ? 1)cn ?1 ? (3)

1 2 n ?1 n ? 4 ?( ) ? 4 3 3


(1 ? 2)c1 ? (2 ? 2)c2 ? (3 ? 2)c3 ? (4 ? 2)c4

(4 ? 2)c4 ? (5 ? 2)c5 , (5 ? 2)c5 ? (6 ? 2)c6 ? (7 ? 2)c7 ? ???
(n ? 2)cn ? 2 ? 即在数列 {(n ? 2)cn } 中, 第 4 项和第 5 项是最大项, 当n ? 4时
所以存在最小自然数 M=1 符合题意。 ??????????16 分 5、(江苏省阜宁中学 2014 届高三第三次调研)
2 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 数 列 an

1 2 3 4 ?( ) ? , 4 3 27

? ? 的前 n 项和为 T

n

,且

? Sn ? 2 ?

2

?3 Tn ? 4n, ? N ? .
?

⑴证明:数列 ?an ? 是等比数列,并写出通项公式;
2 ⑵若 Sn ? ?Tn ? 0 对 n ? N 恒成立,求 ? 的最小值;

⑶若 an , 2x an?1 , 2 y an?2 成等差数列,求正整数 x , y 的值. 解:(1)当 n=1 时, a1 ? 1 ;当 n=2 时, a2 ? 1
2

2
2

当 n ? 3 时,有 ? Sn?1 ? 2 ? ? 3Tn?1 ? ?? Sn ? 2 ? ? 3Tn ? ? 0 得:

?

?

化简得: Sn?1 ? Sn ? 4 ? 3an?1 ? 0 又

????3 分 ∴ 2an?1 ? an

Sn ? Sn-1 ? 4 ? 3an ? 0

∴ ?an ? 是 1 为首项, 1 为公比的等比数列

2

an ? 1 , n ? N? 2n?1
n n ? ? ? ? (2) Sn =4 ?1 ? 1 ? , Tn ? 4 ?1 ? 1 ? 2 ? 3? 4 ? ? 2

??????6 分

??

2

??

Sn 2 ? 3 ? n6 ∴? ? Tn 2 ?1

∴? ? 3

??????11 分

x y ?2 x, y ? N ? (3)若三项成等差,则有 2 ? 1 ? 2

?

?

y ? 2 ,右边为大于 2 的奇数,左边为偶数或 1,不成立
∴ x ? 1, y ? 2
* 已知 p ? 0 ,数列 {an } 满足: a1 ? 2, an?1 ? pan ? 1 ? p(n ? N )

??????16 分

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2) bn ? 2 ? q
n?1

(n ? N * ) ,当 n ? 2 时, p, q 都在区间(0,1)内变化,且满足 p2n?2 ? q2n?2 ? 1

时,求所有点 (an , bn ) 所构成图形的面积;

(3)当 p ? 1 时,证明:

a n a1 a2 n ?1 ? ? ? ... ? n ? (n ? N * ). p a2 a3 an?1 p

解:(1)∵ an?1 ? pan ? 1 ? p(n ? N * ) ∴ an?1 ? 1 ? p(an ? 1) ∴ {an ? 1} 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,p 为公比的等比数列 因此 an ?1 ? pn?1 ,即 an ? 1 ? pn?1 (2)∵当 n ? 2 时, an ? 1 ? pn?1 , bn ? 2 ? qn?1 由 0 ? p, q ? 1,得 1 ? an ? 2,1 ? bn ? 2 ∵ p 2 n?2 ? q 2 n?2 ? 1 又∵ (an ?1)2 ? ( pn?1 )2 ? p2n?2 ,(bn ?1)2 ? q2n?2 而 p 2 n?2 ? q 2 n?2 ? 1 ∴ (an ?1)2 ? (bn ? 1)2 ? 1 ????????6 分 ????????4 分 ????????2 分

?1 ? x ? 2 ? 即对满足题设的所有点 (an , bn ) 在区域 ? : ?1 ? y ? 2 内????????8 分 ?( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ?
而对区域 ? 内的任一点 ( x, y ) , 取 p ? n?1 x ?1 ? (0,1), q ? n?1 2 ? y ? (0,1) , 则 an ? 1 ? pn?1 , bn ? 2 ? qn?1

y ?? ) , ( x, y ) 都 是 (an b 即 ?p, q ? (0,1) , 使 得 ?( x , ,n
( n ? N , n ? 2 )中的点 综上可知,点 (an , bn ) 构成的图形是如图所示的 (3)∵

)

1 ? 圆,其面积为 4 4

???????10 分

ak 1 ? p k ?1 1 ? p k ?1 1 ? p k ?1 1 ? ? ? ? , k ? 1, 2,..., n, k k ?1 1 ak ?1 1 ? p p( ? p k ?1 ) p(1 ? p ) p p



a a1 a2 n ? ? ... ? n ? . a2 a3 an ?1 p

???????12 分

?

1 p ?1 1 ? ? , k ? 1, 2,..., n, p p pk

???????14 分

1 1 (1 ? ( ) n ) a a a n p ?1 1 1 1 n p ?1 p p ? 1 ? 2 ? ... ? n ? ? ( ? 2 ? ... ? n ) ? ? ? 1 a2 a3 an ?1 p p p p p p p 1? p n 1 1 n ?1 ? ? (1 ? ( ) n ) ? p p p p


a n a1 a2 n ?1 ? ? ? ... ? n ? (n ? N * ). p a2 a3 an?1 p

???????16 分

7、(江苏省粱丰高级中学 2014 届高三 12 月第三次月考) 数列 {an } 、 {bn } (n ? 1, 2,3, ???) 由下列条件确定:① a1 ? 0 , b1 ? 0 ; ②当 k ? 2, k ? N * , a k 与 bk 满足如下条件: a ?b a ?b a ?b a ?b 当 k ?1 k ?1 ? 0 时, ak ? ak ?1 , bk ? k ?1 k ?1 ;当 k ?1 k ?1 ? 0 时, ak ? k ?1 k ?1 , bk ? bk ?1 . 2 2 2 2 (I)如果 a1 ? ?5 , b1 ? 9 ,试求 a 2 , b2 , a 3 , b3 ; (II)证明:数列 {bn ? an } 为等比数列; (III)设 n ( n ? 2 )是满足 b1 ? b2 ? b3 ? … ? bn 的最大整数,证明: n ? log 2 (I)∵
a1 ? b1 . a1

a1 ? b1 a ?b ? 2 ? 0 ,∴a2 ? a1 ? ?5 , b2 ? 1 1 ? 2 , 2 2 a ?b a ?b 3 3 ∵ 2 2 ? ? ? 0 ,∴a3 ? 2 2 ? ? , b3 ? b2 ? 2 . ……………2 分 2 2 2 2

(II)证明:当 k ? 2, k ? N * 时,

ak ?1 ? bk ?1 a ?b b ?a ? 0 时, bk ? ak ? k ?1 k ?1 ? ak ?1 ? k ?1 k ?1 ; 2 2 2 a ?b a ?b b ?a ② 当 k ?1 k ?1 ? 0 时, bk ? ak ? bk ?1 ? k ?1 k ?1 ? k ?1 k ?1 .……………6 分 2 2 2 b ?a ∴ 当 k ? 2, k ? N * 时,都有 bk ? ak ? k ?1 k ?1 , 2
① 当 ∴ 数列 {bn ? an } 是以 b1 ? a1 为首项,

1 为公比的等比数列 ……………8 分 2

1 (III)证明:由(2)可得 bn ? an ? (b1 ? a1 )( )n?1 , 2
∵b1 ? b2 ? b3 ? ? ? ? ? bn (n ? 2) ,∴bk ? bk ?1 ( 2 ? k ? n ), ∴

ak ?1 ? bk ?1 a ?b 对于 2 ? k ? n ,都有 ak ? ak ?1 , bk ? k ?1 k ?1 ,……………10 分 ? 0 ,∴ 2 2

1 ∴a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ,∴bn ? a1 ? (b1 ? a1 )( )n?1 2

an ? bn 1 1 1 ? {a1 ? [a1 ? (b1 ? a1 )( )n?1 ]} ? a1 ? (b1 ? a1 )( )n .……………12 分 2 2 2 2 a ?b a ?b 若 n n ? 0 ,则 bn?1 ? n n , 2 2 1 1 1 ∴bn?1 ? bn ? [a1 ? (b1 ? a1 )( )n ] ? [a1 ? (b1 ? a1 )( )n?1 ] ? ?(b1 ? a1 )( )n ? 0 , 2 2 2
∴bn ? bn ?1 ,与 n 是满足 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? ? ? bn ( n ? 2 )的最大整数相矛盾,

an ? bn ? 0 的最小整数.……………14 分 2 b ?a a ?b 1 ∴a1 ? (b1 ? a1 )( ) n ? 0 ? 1 1 ? 2n ? log 2 1 1 ? n ,结论成立. ……………16 分 2 ?a1 a1
∴n 是满足 8、(江苏省如东县掘港高级中学 2014 届高三第三次调研考试)
n ?1 已知等差数列 {an } 满足: a1 ? 8, a5 ? 0 。数列 {bn } 的前 n 项和 S n ? 2 ?

1 (n ? N * ) (1)求 2

数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2) 令 cn ? 2an , 试问: 是否存在正整数 n, 使不等式 bn cn ? 1 ? bn ? cn 成立?若存在,求出相应 n 的值;若不存在,请说明理由。 解:(1)设数列 ?an ? 的公差为 d , 由 a5 ? a1 ? 4d1 ,得 d1 ? ?2 ,得 an ? ?2n ? 10 .?2 分 由数列 ?bn ? 的前 n 和为 Sn ? 2n?1 ?
1 1 n ? N ? ? 可知,当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? , ? 2 2 1 , 2

当 n ≥ 2 时, bn ? Sn ? Sn ?1 ? 2n?2 , bn ? 2n?2 当 n ? 1 时,得 b1 ?

故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ?2n ? 10 , ?bn ? 的通项公式为 bn ? 2n?2 .??????5 分 (2)假设存在正整数 n 使不等式 bn cn ? 1 ? bn ? cn 成立,即要满足 (cn ? 1)(bn ? 1) ? 0 , 由 cn ? 2
an

? 210?2n ? 45?n , bn ? 2n?2 ,

所以数列 ?cn ? 单调减,数列 ?bn ? 单调增,?????????6 分 ①当正整数 n ? 1, 2 时, 2n ? 2 ? 1 ≤ 0 ,所以 bn cn ? 1 ? bn ? cn 不成立;?????7 分
4 时, cn ? 1 ? 0, bn ? 1 ? 0 ,所以 bn cn ? 1 ? bn ? cn 成立;?????8 分 ②当正整数 n ? 3,

③当正整数 n ≥ 5 时, cn ? 1 ? 0, bn ? 1 ≤ 0 , 所以 bn cn ? 1 ? bn ? cn 不成立.
4 时,使不等式 bn cn ? 1 ? bn ? cn 成立.??????10 分 综上所述,存在正整数 n ? 3,

9、(江苏省睢宁县菁华高级中学 2014 届高三 12 月学情调研) 已 知 数 列 ?an ? 是 等 差 数 列 , 数 列 ?bn ? 是 等 比 数 列 , 且 对 任 意 的
n?3 . a1b 1? a b ???? 2 ? 2a b 3 3 ? anbn ? n ? 2

n ? N*

,都有

(1)若 ?bn ? 的首项为 4,公比为 2,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn ; (2)若 a1 ? 8 . ①求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; ②试探究:数列 {bn } 中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它 r (r ? N , r ? 2) 项的和? 若存在,请求出该项;若不存在,请说明理由. 解 : (1) 因 为
n?3 a1b ?1a b ? 2 ab 2 ???? ? a 3nbn ? 3 n? 2

,







n?2



,

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ????? an?1bn?1 ? (n ?1) ? 2n?2 ,
两式相减,得 anbn ? n ? 2n?3 ? (n ?1) ? 2n?2 ? (n ?1) ? 2n?2 (n ? 2) , 而当 n ? 1 时, a1b1 ? 16 ,适合上式,从而 anbn ? (n ? 1) ? 2n?2 (n ? N * ) ?????3 分 又因为 ?bn ? 是首项为 4,公比为 2 的等比数列,即 bn ? 2n?1 ,所以 an ? 2n ? 2 ????4 分

n(4 ? 2n ? 2) 4(1 ? 2n ) ? ? 2n? 2 ? n2 ? 3n ? 4 ??6 分 从而数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn ? 2 1? 2
(2)①设 an ? kn ? b ,则 bn ? 设 ?bn ? 的公比为 q ,则
2

n ? 1 n?2 n ? 2 (n ? N * ) ,所以 bn ?1 ? ? 2n ?1 ( n ? 2) , kn ? b kn ? k ? b

bn n ? 1 kn ? k ? b ? ? ? 2 ? q 对任意的 n ? 2 恒成立 ???8 分 bn?1 kn ? b n

即 k (2 ? q)n ? b(2 ? q)n ? 2(b ? k ) ? 0 对任意的 n ? 2 恒成立, 又 a1 ? 8 ,故 q ? 2, b ? k ? 4 ,且 b1 ? 2 ????????????????10 分 从而 an ? 4n ? 4, bn ? 2 ????????????????????11 分
n

② 假 设 数 列 {bn } 中 第 k

项 可 以 表 示 为 该 数 列 中 其 它 r (r ? N , r ? 2) 项

bt1 , bt2 , ???, btr (t1 ? t2 ? ??? ? tr )
的和,即 bk ? bt1 ? bt2 ???? ? btr ,从而 2 ? 2 1 ? 2 2 ? ??? ? 2 r ,易知 k ? tr ? 1
k t t t

(*)13 分

又 2 ? 2 1 ? 2 2 ? ??? ? 2 r ? 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 r ?
k t t t 1 2 3 t

tr ?1 tr ?1 2(1 ? 2tr ) ? 2 ?2? 2 , 1? 2

所以 k ? tr ? 1 ,此与(*)矛盾,从而这样的项不存在?????????????16 分 10 、 ( 江 苏 省 无 锡 市 洛 社 高 级 中 学 等 三 校 2014 届 高 三 12 月 联 考 ) 已 知 数 列 ?an ? 有

a1 ? a, a2 ? p( p为常数) ,对任意的 n ? N ,有 S n ?
(1)求 a 的值;

n(an ? a1 ) . 2

(2)判断数列 ?an ? 是否为等差数列;
*

(3)对于数列 ?bn ? ,假如常数 b 满足对任意的 n ? N 都有 bn ? b 成立,则称 b 为数列 ?bn ? 的“上 界”.令 pn ?

S n ? 2 S n ?1 ? ,求证:3 是数列 ? p1 ? p2 ? S n ?1 S n ? 2

? pn ? 2n? 的“上界”.

解:(1) S1 ? a1 ?

a1 ? a1 ? 0 ,即 a ? 0 ; ???????????????2 分 2

(2)当 n=1 时, a1

? 0;

???????????????3 分

11、(江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三 12 月月考) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3, 前 n 和 Sn ? ①求证:数列 ?an ? 是等差数列 ②求数列 ?an ? 的通项公式

1 (n ? 1)( a n ? 1) ? 1 2

? ? ③设数列 ? 1 ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在实数 M ,使得 Tn ? M 对一切正整数 n 都成立? ? an an?1 ?
若存在,求 M 的最小值,若不存在,试说明理由。 解:①∵ S n ?

1 (n ? 1)( a n ? 1) ? 1 2

1 1 ? Sn?1 ? (n ? 2)(an?1 ? 1) ? 1? an?1 ? Sn?1 ? Sn ? ? (n ? 2)(an ?1 ? 1) ? (n ? 1)(an ? 1)? 2 2 整理得,nan ?1 ? (n ? 1)an ? 1 ? (n ? 1)an? 2 ? (n ? 2)an?1 ? 1 ? (n ? 1)an ? 2 ? nan ?1 ? (n ? 2)an ?1 ? (n ? 1)an

?2(n ? 1)an?1 ? (n ? 1)(an?2 ? an ) ?2an?1 ? an?2 ? an

∴数列 ?an ? 为等差数列。 ② a1 ? 3,nan?1 ? (n ? 1)an ? 1? a2 ? 2a1 ?1 ? 5? a2 ? a1 ? 2 即公差为 2

?an ? a1 ? (n ?1)d ? 3 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ? 1
③?

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? an an?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 ? 2 n ? 1 2 n ?3? ?
1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? 2 3 5 5 7 ? 1 1 1 1 1 1 ? )? ( ? )又当n ? N ?时,Tn ? 2n ? 1 2n ? 3 2 3 2n ? 3 6

?Tn ?

要使得 Tn ? M 对一切正整数 n 恒成立,只要 M ≥

1 , 6

所以存在实数 M 使得 Tn ? M 对一切正整数 n 都成立, M 的最小值为 12、(江苏省张家港市后塍高中 2014 届高三 12 月月考)

1 。 6

1 1 1 , an ? an ?1 ? n ? n ? 2 ? ,数列 ?bn ? 满足 bn ? 2 n a n . 2 2 2 ⑴ 求证数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式;
已知数列 ?an ? 中, a1 ? ⑵ 求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; ⑶ 设数列 ?cn ? 满足 a n (c n ? 3 n ) ? (?1) n ?1 ?n( ? 为非零常数,n ? N * ),问是否存在整数 ? , 使得对任意 n ? N * ,都有 c n ?1 ? c n . 解:(1)由 an ?

1 1 an ?1 ? n ? n ? 2 ? ,则 2 n a n ? 2 n ?1 a n ?1 ? 1 . 2 2

∵ bn ? 2 n a n ,∴ bn ? bn ?1 ? 1 ,即当 n ? 2 时, bn ? bn ?1 ? 1 .??????3 分 又 b1 ? 2a1 ? 1 ,∴数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是 bn ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 2 n a n ,∴ a n ? (2)由(1)得 a n ?

n .??????5 分 2n
? n? 1 ①, 2n

1 1 n ,所以 S n ? 1? ? 2 ? 2 ? n 2 2 2 ? n? ?

1 1 1 ? S n ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? 2 2 2
由①-②得

1 ②,??????7 分 2n ?1 1 1 1 1 ? n ? n ?1 ? 1 ? n ? n ? n ?1 , n 2 2 2 2

1 1 1 Sn ? ? 2 ? 2 2 2

? Sn ? 2 ?

2?n .??????9 分 2n

(3)∵ cn ? 3 ?
n

n ?1 ? ?1? ? ? n ? 3n ?

an

n ?1 ? ?1? ? ? 2n ,

∴ c n ?1 ? c n ? [3 n ?1 ? (?1) n ? ? 2 n ?1 ] ? [3 n ? (?1) n ?1 ? ? 2 n ]

? 2 ? 3 n ? 3? (?1) n ?1 ? 2 n ? 0
∴ (?1) n ?1 ? ? ? ? ?

?3? ?2?

n ?1

①??????11 分

当 n=2k-1,k=1,2,3,??时,①式即为 ? ? ? ?

?3? ?2?

2k ?2



依题意,②式对 k=1,2,3??都成立,∴ ? ? 1 ??????13 分

?3? 当 n=2k,k=1,2,3,??时,①式即为 ? ? ?? ? ?2?
依题意,③式对 k=1,2,3??都成立, ∴? ? ?

2 k ?1



3 2

∴?

3 ? ? ? 1 ,又 ? ? 0 ??????15 分 2

∴存在整数 ? ? ?1 ,使得对任意 n ? N * 有 cn ?1 ? cn .??????16 分


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