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2.4.1等比数列的定义通项和性质


一、温故知新:
1、等差数列定义: an-an-1=d(d为常数)
2、等差数列单调性:d>0单调递增
d<0单调递减 d=0常数列

3、等差数列的通项公式 :an ? a1 ? (n ? 1)d

用什么方法推出的呢?图像怎样?

例: 一种计算机病毒可以查找计算机中的地
址本,通过邮件进行传播。如果把病毒制造 者发送病毒称为第一轮,邮件接收者发送 病毒称为第二轮,依此类推。假设每一轮 每一台计算机都感染20台计算机,那么在 不重复的情况下,这种病毒每一轮感染的 计算机数构成的数列是:

1, 20,202 , 203, …

探究 2 3 20 , 20 , 20 , … 1,

这个数列的特点是,从第2项起,每一项 与它前一项的比等于同一个常数20,这个数列 应该叫什么数列?

等差数列定义 如果一个数列从第 二项起,每一项与它 的前一项的差等于同 一个常数,那么这个数 列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数 列的公差

1.等比数列定义:

如果一个数列从第 二 __项起,每一项与它 比 _ 的前一项的 _等于 同 一个常数,那么这个 数列就叫做 这个常数叫做等 比 数 公比 列的 _____ 公比通常用字母q表示

公差通常用字母d表示

等差数列
由于等差数列是 作差 故a 1 d 没 有要求

等比数列

由于等比数列的每一 项都有可能作分母, 故a 1 ≠0 且 q ≠0

练一练1
判别下列数列是否为等比数列?
2 1 (1) 2 , 1, , ,… 2 2



q=

2 2

(2)1.2, 2.4 , -4.8 , -9.6 … 不是 (3) 2, 2, 2, 2, … 是
(4) 2, -2, 2, -2, 2 ,…

q= 1
既是等差数列又



q=-1

(5) 1, 0, 1, 0 …
(6) a, a, a, a, a …

不是
不一定

q≠0 且an≠0 为非零常数列

是等比数列的

等差数列通项公式推导:
设公差为 d 的 等差数列{ a n },则有:
a 2 -a 1 = d a 3 -a 2 = d a 4 -a 3 = d

等比数列通项公式推导:
设公比为 q的等比数列{ a n} ,则有:

q a2 ? __ _ a1 a3 q ? __ _ a2 ×) q an ? ___ a n ?1 …

n-1个

n-1个
累加法

……
+ ) a n -a
n -1 = d

累乘法

a n - a 1 = ( n- 1 ) d

(n≥2)

an ? q n?1 (n≥2) a1
首项为 a 1,公比为 q 的等比数 列的通项公式:

等差数列 { a n } 的首项为 a 1, 公差为 d 的通项公式为 a n = a 1 + ( n-1 ) d,n ∈N + ________________

a n= a 1 q n-1
(a 1 ≠0 且 q ≠0 n ∈N +)

等差数列
等差数列通项公式:
首项为 a 1,公差为 d 的通项公式为
a n = a 1 + ( n-1 ) d,n ∈N +

等比数列
等比数列通项公式: 首项为 a 1,公比为 q 的 的通项公式:
a n= a 1 q n - 1
(a 1 ≠0 且 q ≠0,n ∈N +)

________________

常数列都是等差数列

但常数列却不一定 是等比数列,

如0,0,0,0,……

写出数列通项 练一练2: (1) 2,4,8,16,… a n =2n

a n ?1 ?2 an
an ?1 ?3 an

(2) -1, -3, -9, -27 … a n= ? 3
(3)
1 1, ? 2

n ?1

1 1 1 n ?1 , , ? , … a n= (? ) 4 8 2

a n ?1 1 ? (? ) an 2

(4) 5, 5, 5, 5, …

a n=5

a n ?1 ?1 an

哪些是递增数列?哪些是递 减数列????

等差数列性质

等比数列性质
n-m an=amq

an ? am ? ? n ? m? d
若m ? n ? p ? q 则am ? an ? a p ? aq

若m ? n ? p ? q 则am an ? a p aq

练一练3 已知等比数列 {an },则
D 下列说法正确的是()

A、a1 ? a5 ? a2 ? a4 B、a1 ? a2 ? a4 ? a5 C、a1a2 ? a4 a5 D、a1a5 ? a2 a4

判定等差数列 (1)定义法; (2)等差中项法; (3)通项法; (4)前n项和法.

判定等比数列 (1)定义法; (2)等比中项法; (3)通项法; (4)前n项和法.

练一练4 若等比数列 {an } ,则下 面说法依然为等比数列的个数____

1、数列{a n }; 2、数列{a2 n }; 1 3、数列{ }; an 4、数列{lg | an |};

2

1、2、3

若数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则用通项公式 an=2 n-1 __ 表示是:____ an 1 n 8 · a ? ? 2 n 上式还可以写成 2 7
可见,表示这个等比数列
6

的各点都在函数 y

? ?2
1 2

x

5 4

的图象上,如右图所示。

·

3

?an ?的图象是其对应的 · 结论: 等比数列
1

2

·
2

函数的图象上一些孤立 的点

0

1

3

4

n

如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,
那么G叫做a与b的 项有就一定有两个。

等比中项。a,b必须同号,且等比中

G ? ? ab

即G ? ab
2

观察如下的两个数之间,插入一个什么数后三个数就会成为 一个等比数列: (1)1,±3 , 9 (3)-12, ±6 ,-3 (2)-1, ±2 ,-4 (4)1,±1 ,1

例1.已知?a n ? 为正数等比数列,若 a1 ? a 2 +a 3 ? 7,a1a 2a 3 ? 8,求通项 公式a n .
?1? a n ? 2 或an ? 4 ? ? ? ?2?
n ?1 n ?1

.? n ? N ? ?

例2:有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个 数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和为16, 第二个数与第三个数的和为12,求这四个数.
a?d? ? 解:依题意,设这四个数依次为a ? d , a, a ? d , a
2

.

?2a ? d ? 12 ????????????? ① ? 2 则? 由①得d=12-2a,代人②并整理得: a?d? ? ? 16.② ?a ? d ? a ? ?a ? 4 ?a=9 2 a ? 13a ? 36 ? 0,? a ? 4或a ? 9,? ? 或? ?d ? 4 ?d=-6. 所以这四个数依次为0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1.

1.数列?an ?的通项为a n =-2n+10,设sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an , 求sn . 2 2.求等差数列200, 199 , ? 100的后400项的绝对值之和. 3 3.已知数列?an ?中,Sn是它前n项和,若S2 ? 16,S4 ? 24,求 数列? an ?的前n项和. 项和. 4.在等差数列?an ?中,a1 ? ?60,a17 ? ?12,求数列? an ?的前n


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