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第十章排列组合和概率(第15课)二项式定理(4)




题:

10. 二项式定理( 10.4 二项式定理(四)

教学目的: 教学目的: 1 掌握二项式定理和二项式系数的性质, 2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学重点: 教学重点:如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学难点: 教学难点:如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型: 授课类型:新授课 课时安排: 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 教学过程 复习引入: 一、复习引入: 1.二项式定理及其特例:
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(1) ( a + b) = Cn a + Cn a b + L + Cn a
n 0 n 1 n r n 1 r r

n?r

n b r + L + Cn b n ( n ∈ N ? ) ,

(2) (1 + x) = 1 + Cn x + L + Cn x + L + x .
n

2.二项展开式的通项公式: Tr +1 = Cn a
r

n?r

br

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3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对 r 的限制;求 有理项时要注意到指数及项数的整数性 4 二项式系数表(杨辉三角)
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(a + b) n 展开式的二项式系数,当 n 依次取 1, 2,3 …时,二
项式系数表,表中每行两端都是1 ,除1 以外的每一个数都等 于它肩上两个数的和 5.二项式系数的性质:
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0 1 (a + b) n 展开式的二项式系数是 Cn ,Cn ,Cn2 , Cnn .Cnr …,

可以看成以 r 为自变量的函数 f ( r ) ,定义域是 {0,1, 2,L , n} ,例当 n = 6 时, 其图象是 7 个孤立的点(如图) (1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵ Cn = Cn
m n?m

) .

直线 r =

n 是图象的对称轴. 2
n 2 n

(2)增减性与最大值:当 n 是偶数时,中间一项 C 取得最大值;当 n 是奇数

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n ?1

n +1

时,中间两项 Cn 2 , Cn 2 取得最大值. (3)各二项式系数和:
1 r ∵ (1 + x ) n = 1 + Cn x + L + Cn x r + L + x n ,

令 x = 1 ,则 2 = Cn + Cn + Cn + L + Cn + L + Cn
n 0 1 2 r

n
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二、讲解范例: 讲解范例:
2 n 例 1. 设 (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) +L+ (1 + x ) = a0 + a1 x + a2 x + L + an x ,

2

3

n

当 a0 + a1 + a2 + L + an = 254 时,求 n 的值 解:令 x = 1 得:

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a0 + a1 + a2 + L + an = 2 + 22 + 23 + L + 2n =
n ∴ 2 = 128, n = 7 ,

2(2n ? 1) = 254 , 2 ?1

点评: 对于 f ( x ) = a0 ( x ? a ) n + a1 ( x ? a ) n ?1 + L + an ,令 x ? a = 1, 即 x = a + 1 可得各项系数的和 a0 + a1 + a2 + L + an 的值;令 x ? a = ?1, 即 x = a ? 1 ,可得 奇数项系数和与偶数项和的关系
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1 2 3 n n ?1 例 2.求证: Cn + 2Cn + 3Cn + L + nCn = n ? 2 . 1 2 3 n 证(法一)倒序相加:设 S = Cn + 2Cn + 3Cn + L + nCn n n n 2 1 又∵ S = nCn + ( n ? 1)Cn ?1 + ( n ? 2)Cn ? 2 + L + 2Cn + Cn r n 0 n 1 n ∵ Cn = Cn ? r ,∴ Cn = Cn , Cn = Cn ?1 ,L ,

① ②

0 1 2 n 由①+②得: 2 S = n Cn + Cn + Cn + L + Cn ,

(

)

∴S =

1 1 3 n ? n ? 2 n = n ? 2n ?1 ,即 Cn + 2Cn2 + 3Cn + L + nCn = n ? 2n ?1 . 2 n! n ? ( n ? 1)! r ?1 = = nCn ?1 , r !( n ? r )! ( r ? 1)!( n ? r )!
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(法二) :左边各组合数的通项为

rCnr = r ?

1 2 3 n 0 1 2 n ?1 ∴ Cn + 2Cn + 3Cn + L + nCn = n Cn ?1 + Cn ?1 + Cn ? 2 + L + Cn ?1 = n ? 2

(

)

n ?1



例 3.已知:( x 3 + 3 x ) 的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大 992 .
2 n

2

(1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项 解:令 x = 1 ,则展开式中各项系数和为 (1 + 3) = 2 ,
n 2n n 又展开式中二项式系数和为 2 ,

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∴2

2n

? 2n = 992 , n = 5 .
2 2 22

(1)∵ n = 5 ,展开式共 6 项,二项式系数最大的项为第三、四两项, ∴ T3 = C5 ( x 3 ) (3 x ) = 90 x , T4 = C5 ( x 3 ) (3 x ) = 270 x 3 ,
2 3 2 2 6 3 2 2 3

(2)设展开式中第 r + 1 项系数最大,则 Tr +1 = C ( x )
r 5

2 3 5? r

(3 x ) = 3 C x
2 r r r 5

10 + 4 r 3



∴?

?3r C5r ≥ 3r ?1 C5r ?1 7 9 ? ? ≤ r ≤ ,∴ r = 4 , r r r +1 r +1 2 2 ?3 C5 ≥ 3 C5 ?
2 26 4 2 4

即展开式中第 5 项系数最大, T5 = C5 ( x 3 )(3 x ) = 405 x 3 . 例 4.已知 S n = 2 + C n 2
n 1 n ?1 2 n + C n 2 n ? 2 + L + C n ?1 ? 2 + 1(n ∈ N + ) ,

求证:当 n 为偶数时, S n ? 4n ? 1 能被 64 整除

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分析:由二项式定理的逆用化简 S n ,再把 S n ? 4n ? 1 变形,化为含有因数 64 的多项式
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∵ S n = 2 + Cn 2
n 1

n ?1

2 + Cn 2 n ? 2 + L + Cnn ?1 ? 2 + 1 = (2 + 1) n = 3n , *

∴ S n ? 4n ? 1 = 3 ? 4n ? 1 ,∵ n 为偶数,∴设 n = 2k ( k ∈ N ) ,
n

∴ S n ? 4n ? 1 = 3

2k

? 8k ? 1 = (8 + 1) k ? 8k ? 1

1 = Ck0 8k + Ck 8k ?1 + L + Ckk ?1 8 + 1 ? 8k ? 1 1 = (Ck0 8k + C8 8k ?1 + L + Ck2 )82 ( ? ) ,

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当 k = 1 时, S n ? 4n ? 1 = 0 显然能被 64 整除, 当 k ≥ 2 时, ? )式能被 64 整除, ( 所以,当 n 为偶数时, S n ? 4n ? 1 能被 64 整除 三、课堂练习: 课堂练习 1.
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(

x +1

) ( x ? 1) 展开式中 x 的系数为
4 5
4

,各项系数之和为
3 3 n n



2. 多项式 f ( x ) = Cn ( x ? 1) + Cn ( x ? 1) + Cn ( x ? 1) + L + Cn ( x ? 1) ( n > 6 )
1 2 2

的展开式中, x 的系数为 3.若二项式 (3 x ?
2

6

1 n ) ( n ∈ N ? )的展开式中含有常数项,则 n 的最小值 2 x3

为( ) A.4 B.5 C.6 D.8 4.某企业欲实现在今后 10 年内年产值翻一番的目标,那么该企业年产值的年 平均增长率最低应 ( ) A.低于 5% B.在 5%~6%之间 C.在 6%~8%之间 D.在 8%以上 5.在 (1 + x ) n 的展开式中,奇数项之和为 p ,偶数项之和为 q ,则 (1 ? x 2 ) n 等 于( ) A.0 B. pq C. p 2 + q 2 D. p 2 ? q 2

6.求和:

n +1 1 ? a 0 1 ? a 2 1 1 ? a3 2 1 ? a 4 3 n 1? a n Cn ? Cn + Cn ? Cn + L + ( ?1) Cn . 1? a 1? a 1? a 1? a 1? a

7.求证:当 n ∈ N 且 n ≥ 2 时, 3 > 2
n
10

?

n ?1

( n + 2) .
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8.求 ( 2 + x ) 的展开式中系数最大的项 答案:1. 45, 0 3. B 7. (略) 4. C 2. 5. D

0 .提示: f ( x ) = x ? 1( n > 6 )
n

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6. ? a (1 ? a )
3

n ?1

8. T3+1 = 15360 x

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四、小结 :二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项 式系数等方面的内在联系,涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题,只需 运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破,对于与组合数有关的 和的问题,赋值法是常用且重要的方法,同时注意二项式定理的逆用 课后作业: 五、课后作业
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? 16 2 1 ? x + 1.已知 ( a + 1) 展开式中的各项系数的和等于 ? ? 的展开式的常数 x? ? 5
2 n

5

项,而 ( a + 1)
2

n

展开式的系数的最大的项等于 54 ,求 a 的值 ( a ∈ R )

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答案: a = ± 3 2.设 (1 ? x )
5

(3 + 2x )

9

= a0 ( x + 1) + a1 ( x + 1) + L + a13 ( x + 1) + a14
14 13

求:① a0 + a1 + L + a14 答案:① 3 = 19683 ;
9

② a1 + a3 + L + a13 .



(3

9

+ 35 )

2

= 9963

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0 1 3 5 6 7 8 9 3.求值: 2C9 ? C9 + 2C92 ? C9 + 2C94 ? C9 + 2C9 ? C9 + 2C9 ? C9 .

答案: 2 = 256
8

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4.设 f ( x) = ( x 2 + x ? 1)9 (2 x + 1) 6 ,试求 f ( x ) 的展开式中: (1)所有项的系数和; (2)所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和 答案: (1) 3 = 729 ;
6

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36 ? 1 (2)所有偶次项的系数和为 = 364 ; 2
所有奇次项的系数和为 六、板书设计(略) 板书设计 七、课后记: 课后记:
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36 + 1 = 365 2

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